Основные положения синтеза электрических цепей

     Содержание 

Введение………………………………………………………………………..3

Понятие о синтезе  электрических цепей……………………………………..4

Условия физической реализуемости передаточных функций……………...4

Этапы решения  задачи синтеза ЭЦ…………………………………………...7

Методы аппроксимации  заданных характеристик…………………………..9

Литература…………………………………………………………………….16 

 

      Понятие о синтезе электрических цепей 

     Приближенное  описание требуемых свойств с  помощью математических уравнений, функций, алгоритмов и т.д. в дальнейшем будем называть математической моделью.

     Если  по ней можно построить электрическую  схему, то такую модель называют удовлетворяющей  условиям физической реализуемости (УФР) или осуществимости (УФО).

     Отметим также тот факт, что одной и  той же математической моделью, удовлетворяющей  УФР, могут быть поставлены в точное соответствие не одна, а множество схем.

     Очевидно, что формулирования УФР для той  или иной математической модели не представляются возможным без знания свойств функций линейных электрических  цепей. В задачах анализа и  синтеза ЛРТУ чаще других используются физически осуществимые математические модели в виде:

• операторных передаточных функций [Т(p),Z(p),Y(p)];
• комплексных передаточных функций [T(jω), АЧХ, ФЧХ];
• временных характеристик [h(t), g(t)].

     Рассмотрим  свойства лишь некоторых из них, которые в наибольшей мере используются в задачах синтеза ТЭЦ. 

     Условия физической реализуемости передаточных функций 

     а) Свойства операторных  передаточных функций.

     Перечислим  основные свойства операторных передаточных функций и квадрата АЧХ пассивных  цепей :

1. Передаточная функция является дробно-рациональной функцией с вещественными коэффициентами. Вещественность коэффициентов объясняется тем, что они определяются элементами схемы.
2. Полюсы передаточных функций располагаются в левой полуплоскости комплексной переменной . На расположение нулей ограничений нет. Докажем это свойство на примере передаточной функции . Выберем входное воздействие или в операторной форме . Изображение выходного напряжения в этом случае численно равно , т.е.

 

      , 

     где W(p)-полином числителя передаточной функции; А₁, А₂,… А_m-коэффициенты разложения дробно-рациональной функции на сумму простых дробей. Перейдем от изображения к оригиналу : 

      (1)  

     где в общем случае .

     В пассивных и устойчивых активных четырёхполюсниках колебания на выходе четырёхполюсника после прекращения воздействия должны иметь затухающий характер. Это означает, что вещественные части полюсов должны быть отрицательными, т.е. полюсы должны находиться в левой полуплоскости переменной p.

     3. Степени полиномов числителей передаточной функции и квадрата АЧХ не превышают степеней полиномов знаменателей , т.е. . Если бы это свойство не выполнялось, то на бесконечно больших частотах АЧХ принимало бы бесконечно большое значение (т.к. числитель рос бы с увеличением частоты быстрее знаменателя), т.е. цепь обладала бесконечным усилением, что противоречит физическому смыслу.

     Итак, будем считать, что ОПФ соответствует УФР, если Т(р) имеет:

     - дробно-рациональную математическую конструкцию ( );

     - вещественные коэффициенты ;

     - полином знаменателя – полином Гурвица V(p). 

     б) свойства комплексных  передаточных функций.

     Из  формулы (1) при Р=jω получаем

 

       

     где – чётные части полинома, есть функции вещественные;

       – нечётные части полинома являются функциями мнимыми.

     Из  полученного выражения находим 

      ; 

      ;

 

      Таким образом, АЧХ является иррациональной четной функцией частоты ω,а ФЧХ  – нечётной, трансцендентной функцией.

     Для математического моделирования более удобной является функция 

       

     поскольку она во всех случаях есть чётная дробно-рациональная функция.

     Её  свойства вытекают непосредственно  из свойств КПФ и АЧХ и позволяют  в простом виде выразить УФР соответствующих  математических моделей. Итак, для {АЧХ}² эти условия имеют следующий вид:

• дробно-рациональные математические конструкции;
• вещественность коэффициентов;
• чётность функций числителя и знаменателя;
• {АЧХ}² 0 для всех ω Є(0, ).

     Свойства временных характеристик реальных цепей предлагается изучить самостоятельно. 

     Этапы решения задачи синтеза  ЭЦ 

     Суть  задачи синтеза в наиболее общем  виде заключается в отыскании  цепи, обладающей требуемыми характеристиками или свойствами и имеющей в  своём составе элементы только заранее определенных разновидностей, которые в дальнейшем будем именовать элементным базисом.

     Предположим, простоты ради, что синтезируемая цепь должна воспроизводить только одну характеристику ξ (х), под которой может подразумеваться АЧХ, характеристика затухания, временные характеристики и т.д.

     В качестве аргумента с «х» чаще всего выступают частота или  время.

     Как правило ξ (х) задаётся либо в виде графика, либо таблицы и, несколько  реже ξ в виде аналитического выражения.

     Требуемая функция f (х) всегда задаётся в некотором интервале х Є(х_а, х_b), который принято называть рабочим интервалом.

     Проектируемая цепь на этом интервале в идеальном  случае должна иметь соответствующую  функцию f (х) точно совпадающей с ξ (х).

     Однако  этого добиться практически невозможно, да и нет в этом необходимости. Важно, чтобы цепью конечной сложности обеспечивалась необходимая точность совпадений функций f (х) и ξ (х).

     Математическое  расстояние ρ{ξ(x),f(x)} как характеристика близости функций конструируется таким образом, чтобы это было одно единственное положительное число. В теории синтеза ЭЦ обычно используется Чебышевская оценка точности совпадения функций ξ (х) и f (х). (ЧОТС)

     При этом математическое расстояние между  ξ (х) и f (х) определяется следующим выражением  

       

     Геометрический  смысл чебышевской оценки точности иллюстрируется графиками (рисунок 1).

     В общем случае, при синтезе (проектировании) электрических цепей можно выделить два существенных этапа, которые будут рассмотрены в дальнейшем:

1. Нахождение такой f (х), удовлетворяющей УФР, чтобы в рабочем интервале , где - заданная точность воспроизведения. Назовём это этапом аппроксимации.
2. Конструирование по найденной f (х) электрической цепи. Назовём это этапом реализации.

 

     

     Рисунок 1. 

     Методы  аппроксимации заданных характеристик 

     В общем случае задача аппроксимации состоит в конструировании функций , удовлетворяющей УФР в заданном элементном базисе и воспроизводящей с требуемой точностью в рабочем интервале заданную графически (либо таблицей, либо аналитически) зависимость ξ(х), a– варьируемые коэффициенты, значения которых и должны быть найдены в результате решения задачи аппроксимации.

     Из-за недостатка времени не представляется возможным осветить все известные  методы решения этой задачи. Поэтому  остановимся с одной стороны  на простейшей из них, имеющих достаточно большую историю их практического  применения, а с другой стороны – с современными численными методами, являющимися не только универсальными, но и самыми эффективными при отыскании оптимальных решений с помощью ЭВМ.

     а) Интерполирование функций

     При интерполировании коэффициенты аппроксимирующей функции выбираются такими, чтобы значения заданной функции ξ(х) совпадали бы в некотором числе заранее выбранных точек х₁, х₂,.....,х_n, называемыми точками или узлами интерполирования.

     Ясно, что указанное условие позволяет  составить систему из N уравнений с N неизвестными 

       

     Её  решение позволяет определить все  варьируемые параметры  .

     Преимущества  метода:

• ξ (х) может быть задана в любой форме;
• простота решения.

     Наряду  с преимуществами, метод интерполирования обладает двумя существенными недостатками:

• в ходе решения задачи аппроксимации не контролируется точность приближения функций d;
• полученная аппроксимирующая функция f (x) может не удовлетворять УФР. В этом случае выбираются новые узлы интерполирования, хотя и в этом случае нет гарантии выполнения УФР.

     б) Аппроксимация по Тейлору.

     Этот  вид аппроксимации требует задания  функции ξ (х) в виде аналитического выражения. При этом функции f (x) и ξ (х) должны допускать разложение в ряд Тейлора в некоторой точке x=х₀.

     Если  N – число варьируемых коэффициентов функции f (х), то в точке x=х₀ должны быть равны значения функций f (х) и ξ (х), а также N-1 их производных младших порядков, т.е. 

       

     Решив систему уравнений, найдём значения параметров (коэффициенты уравнения f (х)).

     Хотя  такой аппроксимации присущи  как и при интерполировании недостатки, однако на практике она находит широкое  применение.

     в) Аппроксимация по Чебышеву.

     Аппроксимация по Чебышеву, или равномерная наилучшая  аппроксимация, формулируется как задача отыскания таких коэффициентов аппроксимирующей функции f (х), при которых наибольшее отклонение функции f (х) от заданной аналитически ξ (х) в интервале аппроксимации было бы минимальным, то есть находится 

       

     Задача  равномерного наилучшего приближения  функций была впервые сформулирована великим русским математиком  П.Л. Чебышевым (1821-1894), а указанные  им общие методы её решения заложили основы теории приближения функций, развитой в работах наших соотечественников Е.И. Золотарёва, А.А, Макарова, С.Н. Бернштейна и др.

     Простейшим  и наиболее полно изученным случаем  чебышевской аппроксимации является задача полиномиального приближения.

     Будем полагать, что функция ξ (х) непрерывна на заданном интервале. Тогда оказывается справедливой следующая теорема Чебышева:

     Для того, чтобы полином f(х) степени n наименее отклонялся от заданной функции ξ(х) в интервале х_а<х<х_b. необходимо и достаточно, чтобы в этом интервале разность достигала своих наибольших по абсолютной величине значений не менее чем n+2 раза, причём знаки этих наибольших отклонений должны чередоваться.

     На  рисунке 2 показан результат чебышевской  аппроксимации некоторой функции  ξ (х) алгебраическим полиномом 3-ей степени (n=3).

     

     Рисунок 2. 

     Здесь число наибольших отклонений в интервале  равно n+2=5, знаки отклонений чередуются, а по величине отклонения равны.

     Отметим, что отыскание полиномов f(х), отвечающим указанным требованиям, является весьма трудоемкой задачей.

     В случаях, когда функция ξ(х) задана в табличной или графической  форме или задача равномерного наилучшего приближения не имеет аналитического решения, используются в настоящее  время численные методы математического  программирования.