Теория игры

Тео́рия игр — математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках.[1]

Теория игр — это  раздел прикладной математики, точнее — исследования операций. Чаще всего  методы теории игр находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках — социологии, политологии, психологии, этике и других. Начиная с 1970-х годов её взяли на вооружение биологи для исследования поведения животных и теории эволюции. Очень важное значение она имеет для искусственного интеллекта и кибернетики, особенно с проявлением интереса к интеллектуальным агентам.

Игры представляют собой  строго определённые математические объекты. Игра образуется игроками, набором  стратегий для каждого игрока и указания выигрышей, или платежей, игроков для каждой комбинации стратегий. Большинство кооперативных игр  описываются характеристической функцией, в то время как для остальных  видов чаще используют нормальную или  экстенсивную форму. Характеризующие  признаки игры как математической модели ситуации:

наличие нескольких участников;

неопределенность поведения  участников, связанная с наличием у каждого из них нескольких вариантов  действий;

различие (несовпадение) интересов  участников;

взаимосвязанность поведения  участников, поскольку результат, получаемый каждым из них, зависит от поведения  всех участников;

наличие правил поведения, известных  всем участникам.

Применение теории игр

 

Теория игр, как один из подходов в прикладной математике, применяется для изучения поведения  человека и животных в различных  ситуациях. Первоначально теория игр  начала развиваться в рамках экономической  науки, позволив понять и объяснить  поведение экономических агентов  в различных ситуациях. Позднее  область применения теории игр была расширена на другие социальные науки; в настоящее время теория игр  используется для объяснения поведения  людей в политологии, социологии и психологии. Теоретико-игровой  анализ был впервые использован  для описания поведения животных Рональдом Фишером в 30-х годах XX века (хотя даже Чарльз Дарвин использовал  идеи теории игр без формального  обоснования). В работе Рональда Фишера не появляется термин «теория игр». Тем не менее, работа по существу выполнена  в русле теоретико-игрового анализа. Разработки, сделанные в экономике, были применены Джоном Майнардом Смитом в книге «Эволюция и теория игр». Теория игр используется не только для предсказания и объяснения поведения; были предприняты попытки использовать теорию игр для разработки теорий этичного или эталонного поведения. Экономисты и философы применяли теорию игр для лучшего понимания хорошего (достойного) поведения. Вообще говоря, первые теоретико-игровые аргументы, объясняющие правильное поведения, высказывались ещё Платоном.

[править] Описание и моделирование

 

Первоначально теория игр  использовалась для описания и моделирования  поведения человеческих популяций. Некоторые исследователи считают, что с помощью определения  равновесия в соответствующих играх  они могут предсказать поведение  человеческих популяций в ситуации реальной конфронтации. Такой подход к теории игр в последнее время  подвергается критике по нескольким причинам. Во-первых, предположения, используемые при моделировании, зачастую нарушаются в реальной жизни. Исследователи могут предполагать, что игроки выбирают поведения, максимизирующее их суммарную выгоду (модель экономического человека), однако на практике человеческое поведение часто не соответствует этой предпосылке. Существует множество объяснений этого феномена — нерациональность, моделирование обсуждения, и даже различные мотивы игроков (включая альтруизм). Авторы теоретико-игровых моделей возражают на это, говоря, что их предположения аналогичны подобным предположениям в физике. Поэтому даже если их предположения не всегда выполняются, теория игр может использовать как разумная идеальная модель, по аналогии с такими же моделями в физике. Однако, на теорию игр обрушился новый вал критики, когда в результате экспериментов было выявлено, что люди не следуют равновесным стратегиям на практике. Например, в играх «Сороконожка», «Диктатор» участники часто не используют профиль стратегий, составляющий равновесие по Нэшу. Продолжаются споры о значении подобных экспериментов. Согласно другой точке зрения, равновесие по Нэшу не является предсказанием ожидаемого поведения, но лишь объясняет, почему популяции, уже находящиеся в равновесии по Нэшу, остаются в этом состоянии. Однако вопрос о том, как эти популяции приходят к равновесию Нэша, остается открытым. Некоторые исследователи в поисках ответа на этот вопрос переключились на изучение эволюционной теории игр. Модели эволюционной теории игр предполагают ограниченную рациональность или нерациональность игроков. Несмотря на название, эволюционная теория игр занимается не только и не столько вопросами естественного отбора биологических видов. Этот раздел теории игр изучает модели биологической и культурной эволюции, а также модели процесса обучения.

Нормативный анализ (выявление  наилучшего поведения)

С другой стороны, многие исследователи  рассматривают теорию игр не как  инструмент предсказания поведения, но как инструмент анализа ситуаций с целью выявления наилучшего поведения для рационального  игрока. Поскольку равновесие Нэша включает стратегии, являющиеся наилучшим откликом на поведение другого игрока, использование концепции равновесия Нэша для выбора поведения выглядит вполне обоснованным. Однако, и такое использование теоретико-игровых моделей подверглось критике. Во-первых, в некоторых случаях игроку выгодно выбрать стратегию, не входящую в равновесие, если он ожидает, что другие игроки также не будут следовать равновесным стратегиям. Во-вторых, знаменитая игра «Дилемма заключенного» позволяет привести ещё один контрпример. В «Дилемме заключенного» следование личным интересам приводит к тому, что оба игрока оказываются в худшей ситуации в сравнении с той, в которой они пожертвовали бы личными интересами.

Типы игр

Кооперативные и некооперативные

Основные статьи: Кооперативная  игра (математика), Некооперативная  игра

Игра называется кооперативной, или коалиционной, если игроки могут  объединяться в группы, взяв на себя некоторые обязательства перед  другими игроками и координируя  свои действия. Этим она отличается от некооперативных игр, в которых  каждый обязан играть за себя. Развлекательные  игры редко являются кооперативными, однако такие механизмы нередки  в повседневной жизни.

Часто предполагают, что кооперативные  игры отличаются именно возможностью общения игроков друг с другом. В общем случае это неверно. Существуют игры, где коммуникация разрешена, но игроки преследуют личные цели, и наоборот.

Из двух типов игр, некооперативные  описывают ситуации в мельчайших деталях и выдают более точные результаты. Кооперативные рассматривают  процесс игры в целом. Попытки  объединить два подхода дали немалые  результаты. Так называемая программа  Нэша уже нашла решения некоторых кооперативных игр как ситуации равновесия некооперативных игр.

Гибридные игры включают в  себя элементы кооперативных и некооперативных  игр. Например, игроки могут образовывать группы, но игра будет вестись в  некооперативном стиле. Это значит, что каждый игрок будет преследовать интересы своей группы, вместе с  тем стараясь достичь личной выгоды.

[править] Симметричные  и несимметричные А Б

А 1, 2 0, 0

Б 0, 0 1, 2

Несимметричная игра

Основная статья: Симметричная игра

Игра будет симметричной тогда, когда соответствующие стратегии у игроков будут равны, то есть иметь одинаковые платежи. Иначе говоря, если игроки могут поменяться местами и при этом их выигрыши за одни и те же ходы не изменятся. Многие изучаемые игры для двух игроков — симметричные. В частности, таковыми являются: «Дилемма заключённого», «Охота на оленя», «Ястребы и голуби».[8] В качестве несимметричных игр можно привести «Ультиматум» или «Диктатор».

В примере справа игра на первый взгляд может показаться симметричной из-за похожих стратегий, но это не так — ведь выигрыш второго  игрока при профилях стратегий (А, А) и (Б, Б) будет больше, чем у первого.

[править] С нулевой  суммой и с ненулевой суммой А Б

А −1, 1 3, −3

Б 0, 0 −2, 2

Игра с нулевой суммой

Основная статья: Игра с  нулевой суммой

Игры с нулевой суммой — особая разновидность игр с  постоянной суммой, то есть таких, где  игроки не могут увеличить или  уменьшить имеющиеся ресурсы, или  фонд игры. В этом случае сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей при любом ходе. Посмотрите направо  — числа означают платежи игрокам  — и их сумма в каждой клетке равна нулю. Примерами таких игр  может служить покер, где один выигрывает все ставки других; реверси, где захватываются фишки противника; либо банальное воровство.

Многие изучаемые математиками игры, в том числе уже упоминавшаяся  «Дилемма заключённого», иного рода: в играх с ненулевой суммой выигрыш какого-то игрока не обязательно  означает проигрыш другого, и наоборот. Исход такой игры может быть меньше или больше нуля. Такие игры могут  быть преобразованы к нулевой  сумме — это делается введением  фиктивного игрока, который «присваивает себе» излишек или восполняет недостаток средств.[9]

Ещё игрой с отличной от нуля суммой является торговля, где  каждый участник извлекает выгоду. Сюда также относятся го, шашки и шахматы; в двух последних игрок может превратить свою рядовую фигуру в более сильную, получив преимущество. Во всех этих случаях сумма игры увеличивается. Широко известным примером, где она уменьшается, является война.

Параллельные и последовательные

Основная статья: Последовательная игра

В параллельных играх игроки ходят одновременно, или, по крайней  мере, они не осведомлены о выборе других до тех пор, пока все не сделают  свой ход. В последовательных, или  динамических, играх участники могут  делать ходы в заранее установленном  либо случайном порядке, но при этом они получают некоторую информацию о предшествующих действиях других. Эта информация может быть даже не совсем полной, например, игрок может узнать, что его противник из десяти своих стратегий точно не выбрал пятую, ничего не узнав о других.

Различия в представлении  параллельных и последовательных игр  рассматривались выше. Первые обычно представляют в нормальной форме, а  вторые — в экстенсивной.

С полной или неполной информацией

Основная статья: Игра с  полной информацией

Важное подмножество последовательных игр составляют игры с полной информацией. В такой игре участники знают  все ходы, сделанные до текущего момента, равно как и возможные  стратегии противников, что позволяет  им в некоторой степени предсказать  последующее развитие игры. Полная информация не доступна в параллельных играх, так как в них неизвестны текущие ходы противников. Большинство  изучаемых в математике игр —  с неполной информацией. Например, вся  «соль» Дилеммы заключённого или  Сравнения монеток заключается  в их неполноте.

В то же время есть интересные примеры игр с полной информацией: «Ультиматум», «Многоножка». Сюда же относятся  шахматы, шашки, го, манкала и другие.

Часто понятие полной информации путают с похожим — совершенной информации. Для последнего достаточно лишь знание всех доступных противникам стратегий, знание всех их ходов необязательно.

Игры с бесконечным  числом шагов

Основная статья: Детерминированность (теория игр)

Игры в реальном мире или  изучаемые в экономике игры, как  правило, длятся конечное число ходов. Математика не так ограничена, и  в частности, в теории множеств рассматриваются  игры, способные продолжаться бесконечно долго. Причём победитель и его выигрыш не определены до окончания всех ходов.

Задача, которая обычно ставится в этом случае, состоит не в поиске оптимального решения, а в поиске хотя бы выигрышной стратегии. Используя  аксиому выбора, можно доказать, что иногда даже для игр с полной информацией и двумя исходами — «выиграл» или «проиграл» —  ни один из игроков не имеет такой  стратегии. Существование выигрышных стратегий для некоторых особенным  образом сконструированных игр  имеет важную роль в дескриптивной теории множеств.

Дискретные и непрерывные  игры

Основная статья: Дифференциальные игры

Большинство изучаемых игр  дискретны: в них конечное число  игроков, ходов, событий, исходов и  т. п. Однако эти составляющие могут  быть расширены на множество вещественных чисел. Игры, включающие такие элементы, часто называются дифференциальными. Они связаны с какой-то вещественной шкалой (обычно — шкалой времени), хотя происходящие в них события могут  быть дискретными по природе. Дифференциальные игры также рассматриваются в  теории оптимизации, находят своё применение в технике и технологиях, физике.

Метаигры

Это такие игры, результатом  которых является набор правил для  другой игры (называемой целевой или  игрой-объектом). Цель метаигр — увеличить полезность выдаваемого набора правил. Теория метаигр связана с теорией оптимальных механизмов (англ.).