Теория автоматического управления

 

Задание на курсовую работу.

W₃=;

W₄ =;;

W₅ = 10(10s+1).

1. Получить передаточную функция разомкнутой системы W_p(s)
2. Исследовать устойчивость разомкнутой системы от буквенного параметра методами Гурвица и Михайлова.
3. Получить передаточную функцию W₃(s) системы, замкнутой единичной отрицательной обратной связью
4. Исследовать устойчивость замкнутой системы от буквенного параметра методами Гурвица и Рауса. Получить области устойчивых и неустойчивых значений параметра в классе вещественных чисел.
5. Для каждого значения параметра из набора построить частотные характеристики, необходимые для исследования зависимости устойчивости замкнутой системы от параметра по критериям Найквиста и Михайлова.
6. Выбрать из набора параметров значение, при котором разомкнутая система устойчива, получить числовую передаточную функцию системы с этим параметром и построить каноническую схему моделирования разомкнутой системы на операционных усилителях.
7. Рассчитать реакцию разомкнутой системы на нетиповое входное воздействие при нулевых начальных условиях. Построить графики входного и выходного сигналов.
8. Методом соответствующим табл. П7, рассчитать передаточную функцию последовательного регулятора, доставляющего замкнутой системе желаемые показатели качества:

• Астатизм первого порядка с коэффициентом статической ошибки с₁ минимум в 10 раз меньшим этого коэффициента в замкнутой системе без регулятора;

• Время установления t_y минимум в 10 раз меньше, чем в разомкнутой системе;
• Перерегулирование s не более 20%
• Запасы устойчивости L₃>= 6 дБ .

9. Рассчитать переходную характеристику замкнутой системы и сравнить ее статические и динамические показатели качества с желаемыми значениями.

10. Исследовать влияние коэффициентов усиления пропорционально К_п и дифференциального К_д каналов последовательного ПИД – регулятора на устойчивость и показатели качества t_y и s переходной характеристики замкнутой системы. Оптимизировать системы управления с ПИД – регулятором.

 

1. Получение передаточной функции разомкнутой системы W_р(s)

Необходимо упростить схему, получить общую передаточную функцию W_р(s). Исходная схема имеет вид:

Разбиваем элемент сравнения (2) на элемент равнения и сумматор, переносим сумматор за звено W₅:

Меняем местами первый и второй элементы сравнения.

Переносим узел обратной связи  звена W₅ за звено W₄.

Сворачиваем звенья мв эквивалентный блок W₆, избавляемся от обратной связи звена W₄.

W₆ = ,

W₇ = ,

 

Объединяем звенья W₅ и W₇:

W₈ =

Преобразуем обратную связь  звена W8:

W₉ =

 

Объединяем блоки 1+W₆  и W₉  и получаем окончательную передаточную функцию W_р(s):

W_р(s) =

Исследуем разомкнутую систему  на устойчивость методами Гурвица и  Михайлова.

Метод Гурвица:

Выписываем знаменатель  передаточной функции:

D(s) = 100Ts³ + (11T+100)s² + 12s, составляем матрицу и считаем определитель. При, а₀=100Т, а₁=11Т+100, а₂=12, а₃=0 получаем:

а₀=100Т>0, следовательно Т>0;

D₁ = а₁=11Т+100>0, следовательно Т> - 9,091;

D₂ =>0, следовательно Т> - 9,091;

D₃ = а₃D₂ =0.

Определитель D₃ равен нулю, а следовательно система находится на границе устойчивости при Т>- 9,091.

Примем T=10.

Знаменатель передаточной функции  примет вид: D(s) = 1000s³ + 210s² + 12s.

 

Метод Михайлова:

Для расчета по этому методу воспользуемся знаменателем передаточной функции при Т=10: D(s) = 1000s³ + 210s² + 12s

Производим замену s=jw.

D(jw) = 1000(jw)³ + 210(jw)² + 12jw  = -210w² + (12w – 1000w³)j.  Выделяем действительную и мнимую части:

U = – 210w²

V = 12w – 1000w³

Строим годограф Михайлова.

w	0	1	2
U	0	-210	-420
V	0	-988	-1986

 

Из таблицы видно, что годограф выходит из точки (0;0), что подтверждает нахождение системы на границе устойчивости.

В Mathcad строим график. Из рисунка 1 видно, что кривая уходит в бесконечность в третьем квадрате. На рисунке 2 представлены окрестности точки (0;0).

Рисунок 1 – годограф Михайлова

2. Получение замкнутой системы

Для получения замкнутой  системы необходимо воспользоваться  формулой:

 

W_з(s) =

Найдем значения Т, в которых система устойчива, методом Гурвица и Рауса.

Метод Гурвица:

Используем знаменатель D(s) = 100Тs³ + (11Т+200)s² + 22s + 120. Составляем матрицу и считаем определитель. При, а₀=100Т, а₁=11Т+200, а₂=22, а₃=120 получаем:

а₀=100Т>0, следовательно Т>0;

D₁ = а₁=11Т+200>0, следовательно Т>- 18,18;

D₂ =>0, следовательно Т<0.37;

3. Частотные характеристики замкнутой системы

W_з(s) =

Выделим мнимую (V(w)) и действительную (U(w)) части передаточной функции. Для этого необходимо произвести замену s=jw, раскрыть скобки и привести подобные:

W_з(jw) =

 

 

 

U(w) = ;

V(w) = .

 

В Mathcad строим все частотные характеристики:

w = 0, 0.01..1000

j(w) =

Рисунок 2 – график ФЧХ.

A(w) =

Рисунок 3 – график АЧХ.

ЛАЧХ:

L(w) = 20lg(A(w)) = 20lg()

1

АФЧХ представляет собой зависимость V(w) от U(w)

 

Рисунок 5 – график АФЧХ.

 

4. Реакция разомкнутой системы на нетиповое воздействие

В этом пункте необходимо построить  графики входного и выходного  воздействия полученной разомкнутой  системы. Для выполнения всех расчетов и построения графиков воспользуемся  программой МВТУ 3.7 (рисунок 6).

Рисунок 6 – Реакция на нетиповое воздействие

 

5. Построение желаемой ЛАЧХ и нахождение передаточной функции корректирующего устройства

Построим график переходного процесса разомкнутой системы (рисунок 7) для определения времени установления.

Рисунок 7 – Переходной процесс

Из графика видно, что  время установления (t) равно 85 секунд. Соответственно желаемое значение будет равно 8,5 с. Коэффициент статической ошибки С₁ находим по формуле:

 

где K = 120. Тогда С₁ = 0.008. Соответственно желаемое значение С₁ равно 0.0008.

Перерегулирование s ≤ 20%, а запас устойчивости L = 6 дБ.

Из номограммы для определения  Р_max найдем частоту положительности:

 

 

Рисунок 8 – Номограмма для определения Р_max

Тогда частота среза относительно частоты положительности составляет:

 

Примем частоту среза  равной 0,07.

По номограмме, по величине определим запас устойчивости по амплитуде (L):

 

 

 

Для нахождения передаточной функции корректирующего устройства необходимо поднять вверх по оси  ЛАЧХ исходной системы.

Рисунок 9 – Построение ЛАЧХ корректирующего устройства.

Вычитаем из желаемой ЛАЧХ (L_ж) исходную (L_исх.) и получаем ЛАЧХ корректирующего устройства(L_к.у.). По полученному графику находим звенья корректирующего устройства. В результате получаем передаточную функцию корректирующего устройства:

 

Определим численные значения W_к.у.:

1. находим К из уравнения

20lgK = 34;

lgK = 1.7;

K = 50;

2. находим постоянные времени

а) апериодическое звено

 

б) форсирующее звено второго порядка

 

в) колебательное звено

.

г) форсирующее звено второго порядка

 

Подставляем численные значения в формулу и получаем:

 

На рисунке 10 показан переходной процесс  . Сравним полученный переходной процесс с переходным процессом исходной замкнутой системы (рисунок 11).

Рисунок 10 – Переходной  процесс .

Рисунок 11 – Переходной процесс  исходной замкнутой системы.

По графикам видно, что  время установления уменьшилось  примерно в 10 раз, чего мы и добивались.

6. Оптимизация системы управления с ПИД – регулятором.

В ПК МВТУ строим схему замкнутой  системы с ПИД – регулятором (рисунок 12). Устанавливаем время установления (на схеме оно обозначено как «tpp») и значение перерегулирования «Yмах» (рисунок 13).  Эти значения берем из пункта 5, где приведен расчет корректирующего устройства.

Рисунок 12 – Схема системы с ПИД – регулятором.

Рисунок 13 – Задание времени установления и

значения перерегулирования.

После установления параметров устанавливаем метод (рисунок 14).

Рисунок 14 – Выбор метода оптимизации.

После ввода необходимых  параметров производим расчет и получаем значение коэффициентов регулирования  К_п и К_д (рисунок 15).

Рисунок 15 – значение К_п и К_д.

Устанавливаем получившиеся значения как исходные и производим расчет переходного процесса. Сравниваем его с исходным (рисунок 16).

 

Рисунок 16 – сравнение переходных процессов.

Из графиков видно, после  использования ПИД – регулятора колебательность уменьшается, соответственно уменьшается перерегулирование; время  установления также уменьшается.