Системы счисления

      1. Системы счисления

1.1 Основные понятия и определения 

    Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами. Системы счисления подразделяют на: позиционные и непозиционные. 

    Непозиционными системами являются такие системы счисления, в которых каждый символ сохраняет свое значение независимо от места его положения в числе. Примером непозиционной системы счисления является римская система. К недостаткам таких систем относятся наличие большого количества знаков при записи чисел и сложность выполнения арифметических операций. 

    Система счисления называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, определяющееся позицией цифры в последовательности цифр, изображающей число. Это значение меняется в однозначной зависимости от позиции, занимаемой цифрой, по некоторому закону. Наиболее известным примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая в повседневной жизни. 

    Количество p различных цифр, употребляемых в позиционной системе, определяет название системы счисления и называется основанием системы счисления p. Например, в десятичной системе используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; и эта система имеет основанием число десять. 

    Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде полинома (многочлена) от основания p:

    N = a_npⁿ+a_n-1p^n-1+ ... +a₁p+a₀+a_-1p^-1+a_-2p^-2+ ...

здесь N - число, a_j - коэффициенты (цифры числа), p - основание системы счисления (p>1). Принято записывать числа в виде последовательности цифр:   

N = a_na_n-1 ... a₁a₀ . a_-1a_-2 ...

В этой последовательности точка отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при положительных  степенях, включая нуль, от коэффициентов  при отрицательных степенях). Точка опускается, если нет отрицательных степеней (число целое). 

    В компьютерной технике (КТ) в основном применяются позиционные системы счисления с недесятичным основанием: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная. 

    Аппаратное  обеспечение (hardware) базируется на использовании двухпозиционных элементов, которые могут находиться только в двух устойчивых состояниях (одно из них ассоциируется с 0, а другое – с 1). Итак, основной системой счисления применяемой в компьютерной технике является двоичная система. 

    Двоичная  система счисления. Используется две цифры: 0 и 1. В двоичной системе любое число может быть представлено в виде:

    N = b_nb_n-1 ... b₁b₀ . b_-1b_-2 ...

где b_j либо 0, либо 1. 

    Восьмеричная  система счисления. Используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Употребляется в КТ как вспомогательная система счисления для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда (триада) (Таблица 1). 

    Шестнадцатеричная система счисления. Для изображения чисел употребляются 16 цифр. Первые десять цифр этой системы обозначаются цифрами от 0 до 9, а старшие шесть цифр - латинскими буквами: 10-A, 11-B, 12-C, 13-D, 14-E, 15-F. Шестнадцатеричная система также используется для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры шестнадцатеричной системы счисления используется четыре двоичных разряда (тетрада) (Таблица 1).

    Таблица 1. Наиболее важные системы счисления.

1.2 Перевод чисел  из одной системы счисления в другую 

    Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы. 

Примеры.

а) Перевести 10101101.101₂ "10" с.с.

Здесь и в дальнейшем при одновременном  использовании нескольких различных систем счисления основание  системы, к которой  относится число, будем указывать  в виде нижнего  индекса.

 

10101101.101₂ = 1 2⁷+ 0 2⁶+ 1 2⁵+ 0 2⁴+ 1 2³+ 1 2²+ 0 2¹+ 1 2⁰+ 1 2^-1+ 0 2^-2+ 1 2^-3 =  173.625₁₀  

б) Перевести 703.04₈ "10" с.с.

703.04₈ = 7 8²+ 0 8¹+ 3 8⁰+ 0 8^-1+ 4 8^-2 = 451.0625₁₀  

в) Перевести B2E.4₁₆ "10" с.с.

B2E.4₁₆ =  11 16²+ 2 16¹+ 14 16⁰+ 4 16^-1 = 2862.25₁₀  

    Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего. 

Примеры.

а) Перевести 181₁₀ "8" с.с.   

Результат: 181₁₀ = 265₈ 

б) Перевести 622₁₀ "16" с.с.   

Результат: 622₁₀ = 26E₁₆

    Перевод правильных дробей из десятичной системы  счисления в недесятичную. Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого. 

Пример.

Перевести 0.3125₁₀ "8" с.с.    

Результат: 0.3125₁₀ = 0.24₈ 

Замечание. Конечной десятичной дроби в другой системе счисления может соответствовать бесконечная (иногда периодическая) дробь. В этом случае количество знаков в представлении дроби в новой системе берется в зависимости от требуемой точности. 

Пример.

Перевести 0.65₁₀ "2" с.с. Точность 6 знаков.    

Результат: 0.65₁₀   0.10(1001)₂ 

    Для перевода неправильной десятичной дроби  в систему счисления  с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную. 

Пример.

Перевести 23.125₁₀ "2" с.с.

 
Итак:  23₁₀ = 10111₂; 0.125₁₀ = 0.001₂.  Результат:  23.125₁₀ = 10111.001₂.

 

Замечание. Необходимо отметить, что целые числа остаются целыми, а правильные дроби - дробями в любой системе счисления. 

    Для перевода восьмеричного  или шестнадцатеричного числа в двоичную форму достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехразрядным двоичным числом (триадой) (Таблица 1) или четырехразрядным двоичным числом (тетрадой) (Таблица 1), при этом отбрасывают ненужные нули в старших и младших разрядах. 

Примеры. 

а) Перевести 305.4₈ "2" с.с.

 

б) Перевести 7B2.E₁₆ "2" с.с.

 

    Для перехода от двоичной к восьмеричной (шестнадцатеричной) системе поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя (при необходимости) нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду (тетраду) заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатерич–ной) цифрой. 

Примеры.

а) Перевести 1101111001.1101₂ "8" с.с.

б) Перевести 11111111011.100111₂ "16" с.с.

    Перевод из восьмеричной в  шестнадцатеричную  систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад. 

Пример.

Перевести 175.24₈ "16" с.с.

Результат: 175.24₈ = 7D.5₁₆.