Решение оптимизационной задачи линейного программирования

Переменные задачи.

В данной задачи искомые величины явно не указаны, но сказано, что должен быть выполнен ежемесячный план по пошиву 90 изделий. Для пошива 90 изделий в месяц требуется раскроить строго определённое количество деталей. Крой производится из отрезков ткани по 10м² двумя различными способами, которые позволяют получить различное число деталей. Поскольку заранее не известно, сколько ткани будет раскраиваться первым способом и сколько – вторым, то в качестве искомых величин можно задать количество отрезов ткани по 10м².раскроенных каждым из способов:

Х₁-количество отрезов ткани по 10м², раскроенных первым способом в течении месяца,[отрез./мес.];

Х₂-количество отрезов ткани по 10м²,раскроенных вторым способом в течении месяца[отрез./мес.].

Целевая функция.

Целью решения задачи является выполнение плана при минимальном количестве отходов. Поскольку количество изделий  строго запланировано (90шт./мес.), то этот параметр не описывает Ц.Ф., относится  к ограничению, не выполнение которого означает, что задача не решена. А  критерием эффективности выполнения плана служит параметр «количество  отходов», который необходимо свести к минимуму. Поскольку при раскрое одного отреза (10м²) ткани по 1-му варианту получается 0,5м² отходов, а по 2-му варианту-0,35м²(см.табл.1.3),то общее количество отходов при крое (Ц.Ф.) имеет вид

L(X)=0,5x₁+0,35x₂                 min,

 

 

Ограничения.

Количество раскроев ткани различными способами ограничивается следующими условиями 

Должен быть выполнен план по пошиву изделий, другими  словами, общее количество выкроенных деталей должно быть таким, чтобы  из него можно было пошить 90 изделий  в месяц, а именно: деталей 1-го вида должно быть как минимум 90 и деталей  остальных видов – как минимум  по 180 (см.комплектность в табл. 1.3).

• расход ткани не должен превышать месячного запаса его на складе;
• количество отрезов раскроенной ткани не может быть отрицательным.

Ограничения по плану пошива пальто имеют следующую  содержательную форму записи

 ;

 

 

 

;

 

…

;

 

 

Математически эти ограничения записываются в  виде

60x₁+80x_{2 90;}

35x₂ 180;

90x₁+20x₂ 180;

40x₁+78x₂ 180;

70x₁+15x₂ 180;

90x₁ 180;

 

Ограничение по расходу ткани имеет следующие  формы записи:

Содержательную

 

 

 

и математическую

x₁+x₂ ,

 

Неотрицательность количества раскроенных отрезов  задается в виде

X_10,

X_20.

Таким образом, математическая модель задачи №1.03 имеет вид

 

L (x) = 0,5x₁+0,35x₂  min [м² отх./мес.],

 

 

 

                                                       Заключение

 

Специалисты различных направлений  часто сталкиваются с необходимостью решения оптимизационных задач. На практике встречаются разнообразные  в содержательном смысле задачи оптимизации.

Например:

1. в экономике:           

при управлении банком:  задача вложения денежных средств в различные проекты с целью получения максимальной прибыли с минимальным риском.

2)  в технике:

расчет оптимальной  траектории полета ракеты;

как управлять  полетом ракеты добиваясь минимального расхода топлива.

3) в социологии:

как распределить ограниченные ресурсы в государстве  с целью уменьшения социальной напряженности  в обществе.

Можно привести еще много примеров оптимизационных  задач. Следует отметить, что важность и актуальность решения оптимизационных  задач, возникающих в экономике, науке, технике и  социологии, вызвали  в последние четыре десятилетия  интенсивные разработки моделей  и методов оптимизации. Этому  способствовало и бурное развитие средств  вычислительной техники.

Задача  линейного программирования состоит  в оптимизации линейной функции  на многогранном множестве .

Развитие  моделей и методов оптимизации  стимулировалось также значительным увеличением размерности и сложности  оптимизационных задач, вызванных  технологическим подъемом последних  десятилетий. Инженеры и руководители организаций оказались вынужденными учитывать все существенные факторы  и взаимосвязи, влияющие на качество принимаемых решений.

 

 

 

 

Список  используемой литературы

1. Смородинский С.С., Батин Н.В. Методы и алгоритмы для решения оптимизационных задач линейного программирования. Ч.1. - Мн.: БГУИР, 2003.

2. Смородинский С.С., Батин Н.В. Методы и алгоритмы для решения оптимизационных задач линейного программирования. Ч.2. - Мн.: БГУИР, 2005.

3. Смородинский С.С., Батин Н.В. Анализ и оптимизация систем на основе аналитических моделей. - Мн.: БГУИР, 2005.

4. Дегтярев  Ю.И. Исследование операций. - М.: Высшая  школа, 2009.

5. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. Пер. с англ. Н.М. Митрофановой [и др.] Под ред. А.А. Первозванского. М., "Наука", 1965. 458 с.

6. Гатаулин А.М., Гаврилов Г.В., Сорокина Т.M. и др. Математическое моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве. - М.,Агропромиздат,1990. 432 c.

7. Канторович Л.В., Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике. М.,"Наука",1972. 232 c.

8. Кравченко Р.Г., Попов И.В., Толпекин С.З. Экономико-математические методы в организации и планировании сельскохозяйственного производства. М., "Колос", 1973. 528с