Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Милна

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Витебский государственный университет имени П.М.Машерова »

Физический факультет

РЕФЕРАТ

По курсу: Программирование и математическое моделирование

Тема: Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом  Милна

Выполнила: студентка ФФ,

2Н16-ой группы, ДО

Грекова Н.В.

Проверила: Алейникова Т.Г.

ВИТЕБСК 2010

 

Оглавление

Введение 3

1.Приближенное  вычисление обыкновенных дифференциальных  уравнений 4

2.Метод Милна 5

Заключение 7

Список используемых источников 8

 

 

Введение

Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений используют множество различных методов. Целью  моего реферата является изучить  решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Милна. 

1.Приближенное вычисление  обыкновенных дифференциальных  уравнений

 

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется равенство

,  (1.1)

в котором x - независимая переменная, изменяющаяся в некотором отрезке , а y - неизвестная функция от x, которую и надо найти. Различают два типа обыкновенных дифференциальных уравнений - уравнения без начальных условий и уравнения с начальными условиями. Уравнение с начальными условиями - это записанное выше уравнение относительно функции y, но в котором требуется найти лишь такую функцию y, которая удовлетворяет при некотором следующим условиям:

,  (1.2)

т.е. в точке c функция y и ее первые n-1 производных принимают наперед заданные значения. В этой ситуации число n называется порядком уравнения.

 

2.Метод Милна

Пусть на отрезке  требуется найти численное решение дифференциального уравнения с начальным условием

 (2.1)

Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей точками

 (2.2)

Где

  (2.3)

шаг интегрирования. Используя  начальные данные, находим каким-либо способом последовательные значения

 (2.4)

искомой функции y(x). Таким образом, становится известны Приближения и для следующих значений последовательно находятся по формулам Милна

 (2.5)

где .

Абсолютная погрешность  значения приближенно равна

. (2.6)

Пример.

Дано дифференциальное уравнение  удовлетворяющие начальному условию

Вычислить с точность до 0,01 значение решения этого уравнения  при x=1,5.

Решение.

Выберем начальный шаг  вычисления. Из условия h⁴<0,01 получим h=0,25 Составим таблицу

i	xi	yi	y’i=f(xi, yi)=yi-xi		y'i=f(xi,yi)= yi-xi
0 1 2 3 4 5 6	0 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50	1,5000 1,8920 2,3243 2,8084	1,5000 1,6420 1,8243 2,0584	3,3588 3,9947 4,7402	2,3588 2,7447 3,2402	3,3590 3,9950 4,7406	7*10-5 10-5 1,4*10-5

 

Получаем ответ y=(1,5)=4,74. 

Заключение

Изучив решения дифференциальных уравнений методом Милна, я пришла к выводу, что Метод Милна не обладает устойчивостью, поэтому его рекомендуют использовать, когда предполагаемое число шагов не велико.   

Список используемых источников

1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. Наука, 1970.
2. Минкова Р.М., Вайсбурд Р.А. Методы вычислительной математики. УПИ, 1981.
3. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. Высшая школа, 1990.
4. Кацман Ю.Я. Прикладная математика. Численные методы. ТПУ, 2000.