Реалізація програмного додатку для аналізу процесів RC-колах в середовищі Borland Delphi

Керівники підприємств, що планують виділення засобів на придбання програмних продуктів, повинні  бути упевнені в тім, що плановані інвестиції окупляться. Тому одним з оцінюваних факторів повинний бути питання ¾ а чи легко знайти фахівця з Delphi і скільки буде коштувати його навчання, скільки часу фахівець затратить на оволодіння продуктом. Відповідь тут одержати дуже просто ¾ будь-який програміст на Паскалі здатний практично відразу професійно освоїти Delphi. Фахівцю, що раніше використовував інші програмні продукти, прийдеться сутужніше, однак найперший працюючий додаток він зможе написати протягом першої ж години роботи на Delphi. І, звичайно ж, відкрита технологія Delphi є могутнім гарантом того, що інвестиції, зроблені в Delphi, будуть збережені протягом багатьох літ.

 

 

2.  ПРОЦЕСИ В RC-КОЛАХ

 Електричне коло — сукупність сполучених між собою провідниками резисторів, конденсаторів, котушок індуктивності, джерел струму й напруги, перемикачів тощо, через яку може проходити електричний струм[5].

Електричне коло може включати в себе як лінійні так  і нелінійні елементи. Для розрахунку електричних кіл з лінійними елементами використовуються правила Кірхгофа та закон Ома[5].

Одними з найпростіших ланок, які використовуються в радіоелектроніці, є RC і RL ланки. Вони складаються з послідовно з’єднаних резистора і конденсатора або котушки індуктивності. На рисунку 6 зображено чотири варіанти цих ланок[2].

Рис. 6. Схеми RC і RL ланок.

 

Ці ланки часто використовуються наступним чином:

• Як найпростіші фільтри високих (ФВЧ) та низьких (ФНЧ) частот.
• Для повороту фази сигналу у межах від нуля до .
• Для інтегрування чи диференціювання вхідного сигналу.

Здатність таких ланок  змінювати параметри вхідного сигналу  базується на залежності їхнього  коефіцієнта передачі від частоти.

В загальному випадку, коефіцієнт передачі довільної ланки, представленої  у вигляді чотириполюсника можна  записати:

, (1)

де  - напруга на виході ланки, - напруга на вході ланки, - залежність модуля коефіцієнта передачі від частоти яку прийнято називати амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ) електричного кола, - залежність зсуву фаз між вихідною та вхідною напругою яку прийнято називати фазочастотною характеристикою (ФЧХ) кола.

Розглянемо АЧХ та ФЧХ ланки приведеної на рисунку 6,а, для випадку коли на вхід включене ідеальне джерело напруги, а опір навантаження нескінченно великий (режим холостого ходу).

Використовуючи закони Кірхгофа, які формулюються так:

І. Алгебраїчна сума миттєвих значень струмів віток, які підходять до вузла електричного кола, дорівнює нулеві;

ІІ. Алгебраїчна сума спадів напруг на всіх елементах замкненого контуру дорівнює алгебраїчній сумі електрорушійних сил цього самого контуру,

легко записати залежність коефіцієнта передачі RC ланки (рис.6а) від частоти:

    (2)

Отже АЧХ та ФЧХ RC ланки будуть визначатися залежностями:

           (3),

                              (4).

Графіки цих залежностей  показані на рисунку 7.

Рис. 7.АЧХ(а) та ФЧХ(б) RC ланки.

 

АЧХ ідеального фільтра  низьких частот (ФНЧ) показана на рисунку 8, де - частота зрізу фільтра. Порівнюючи АЧХ ідеального ФНЧ із АЧХ RC ланки (рисунок 7а) можна зробити висновок, що дана ланка може бути використана в якості ФНЧ.

 

Рис. 8. АЧХ ідеального фільтра низьких частот.

 

Для реальних фільтрів частоту  зрізу визначають, як частоту при  якій коефіцієнт передачі ланки рівний , вважаючи що ланки пропускає сигнал коли коефіцієнт передачі більший за і не пропускає коли він менший за .

Виходячи з аналітичного виразу для коефіцієнта передачі ланки (1) можна записати: , звідси . Очевидно, що RC ланка є далеко не ідеальним фільтром низьких частот. Основними недоліками такого найпростішого фільтра є відмінність коефіцієнта передачі ланки в смузі пропускання (від до ) від одиниці та невелика крутизна АЧХ

( ) в області частоти зрізу.

1.  Опис RC-ланки з використанням диференційних рівнянь

Диференційне рівняння – це рівняння, у яких взаємопов’язані похідні від шуканої функції, сама шукана функція та незалежна змінна[5].

Розв’язком диференційного рівняння називають функцію, що має  необхідну ступінь гладкості, і  яка, за умови підставлення її у диференційне рівняння,  перетворює його в тотожність. Процес визначення розв’язку диференційного рівняння називають його інтегрування.

Розглянемо перехідний процес в електричному колі, яке складається з джереа постійної електрорушійної сили Е, резистора з опором R і  конденсатора з ємністю С[2] (рис. 9).   

Рис. 9. Схема кола для дослідження перехідних процесів 

Величини E, R, C можна задати самостійно. Початкове значення   напруги на конденсаторі u(0) є рівним 0. Нам необхідно визначити  напругу u(t) і струм i(t)  при t ≥0, якщо в момент t =0 замикається  ключ К. 

Відповідно до принципу суперпозиції маємо:

I(t) = I⁽⁰⁾ + I⁽¹⁾ + I⁽²⁾ +…+I⁽ⁿ⁾,          (5)

або

I(t) = I⁽⁰⁾ + I_m⁽¹⁾ sin(ωt + φ_i⁽¹⁾) + I_m⁽²⁾sin(ωt + φ_i⁽²⁾) +…+

+ I_m⁽ⁿ⁾sin(ωt + φ_i⁽ⁿ⁾)     (6). 

Практично це означає, що проводиться розрахунок еквівалентного електричного кола по кожній гармоніці окремо, для цього всі інші ЕРС крім однієї (катої) вилучаємо і визначаємо шуканий струм І^(k) при дії тільки цієї гармоніки, такі розрахунки проводимо по кожній гармоніці починаючи з нульової.

За другим законом Кірхгофа струм в колі 

i  = (E u)/R,                                  (7)

звідки після підстановки значення струму

i=Cdu/dt                                      (8)

отримаємо диференційне рівняння для визначення перехідного  процесу 

                                     (9)

2. Чисельне розвязування рівняння, що описує RC-ланку 

В чисельних методах  методом Ейлера називають спосіб розв'язувати звичайні диференціальні рівняння з заданим початковим значенням. Це найбільш базовий вид чисельних  методів інтегрування звичайних диференціальних рівнянь.

Розглянемо найпростіший чисельний метод, який використовується для обчислення RC-ланок. Запишемо його диференційне рівняння:

Використаємо перетворення

dt = ∆t,  du=∆u                          (10) 

і визначимо перетворення напруги на наступній ітерації як 

                        (11)

 

Для явного методу Ейлера, де k- номер ітерації

Звідси,  з урахуванням  формули(13) маємо 

 

(14)

Де  Δt = h – крок інтегрування.

Таким чином, алгоритм методу Ейлера для розрахунку напруги в перехідному режимі має вигляд

         (15)

Після визначення напруги  струм обчислюється за рівнянням (2).

Відомо, що явний метод  Ейлера нестійкий. Дійсно,  при великих  кроках Δt>2RC   рівняння (15) дає розходження результатів. При великих кроках Δt похибка розрахунків характеристик перехідного процесу u(t) і  i(t)  є дуже великою. Тому в нашій роботі крок розрахунків Δt повинен бути значно меншим за постійну часу перехідного процесу τ(τ=RC).

Метод Ейлера може бути чисельно нестійким, особливо для жорстких рівнянь. Це обмеження, поряд з тим фактом, що він повільно збігається при зменшенні h означає, що метод використовується нечасто, і хіба що як простий приклад  чисельного інтегрування. Нестікості можна уникнути, використовуючи алгоритм Ейлера-Кромера.

 

3.  РОЗРОБКА ТА ТЕСТУВАННЯ МОДЕЛІ RC-КОЛА

1. Алгоритм Явного методу Ейлера та його програмна імплементація

Робота програми обчислення чисельних методів Явним методом  Ейлера починається з того, що ми вводим дані: опір, ємність конденсатора, Електрорушійну силу, крок по часу, кількість точок. Ми задаєм функцію. Перша наша функція обчислює похідну напруги по часу використовуючи формулу

                     (9)

Друга функція обчислює значення напруги в наступний момунт часу. Задаємо цикл і обчислюєм напругу в кожний момент часуі струму в кожний момент часу. Для малювання графіка ми використовуємо компоненту Delphi 7 – Tchar.

Компонент TChart є панеллю, на якій можна створювати діаграми та графіки різних типів.

 

Рис. 10 Компонента TChart

 

Властивості TChart зручно встановлювати спеціальним Редактором Діаграм, що викликається з Інспектора Об'єктів натисканням кнопки з трьома крапками близько відповідних властивостей або подвійним клацанням на компоненті TChart.

Компонент є контейнером  об'єктів Series типу TChartSeries - серій даних, що характеризуються різними стилями відображення. Кожен компонент може включати кілька серій. Властивості серій встановлюються за допомогою Редактора Діаграм або програмно.

Для завдання відображуваних значень використовуються методи серій Series[1]. Основні з них:

 • Clear - очищує серію від занесених раніше даних

 • Add - дозволяє додати в діаграму нову точку

 • AddXY - дозволяє додати нову точку в графік функції

Властивість AllowPanning компонента TChart дозволяє користувачеві прокручувати графіки і ті типи діаграм, в яких передбачені координатні осі. Прокручування  користувач може здійснювати під  час виконання, натискаючи праву  кнопку миші і буксуючи нею графік.

 Властивість AllowZoom дозволяє  користувачеві збільшувати розмір  обраного фрагмента графіка або  діаграми з осями координат,  розтягуючи його на все видиме  поле.

Безліч властивостей TChart визначають оформлення графіка - осі  координат (вони можуть бути з усіх 4-ох сторін), тривимірну імітацію і відображеннят.п.

Ми використовуємо двічі в нашій програмі компоненту TCart.

Стрічка - Series1.AddXY(chas,napruha); - означає, що ми виводим на TCart значення напруги від часу.

Стрічка - Series2.AddXY(chas,strum); - позначає виведення струму від часу.

Компонента TPanel, яка також  є в нашій програмі - є несучою  конструкцією для розміщення інших  елементів управління. На відміну  від простої рамки (TBevel) панель сама є віконним елементом управління і батьком для всіх розміщених на ній компонентів.Часто її використовують для створення панелей інструментів, рядків стану і т. п.

Після вводу значень ЕРС, опору, ємності, кроку ∆t та кількості ітерацій N програму  можна запускати на виконання.  

2.  Блок-схема алгоритму Явного методу Ейлера

Графічну форму представлення  алгоритму можна зобразити на блок-схемі.  Блок-схема – це компактна  і наочна форма запису агоритму[4].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Розрахунки залежності струму та напруги для різних параметрів кола.

Відкомпілювавши програму, ми запускаємо її на виконання.

Задаємо значення:

R (опір)= 2020;

C (ємність конденсатора)= 8,17Е-7;

EPC (Електрорушійна сила)=120;

Крок (крок по часу)=0,001;

N (кількість точок)=80.

Після обчислень ми отримали такі результати:

Рис. 11 Результат обчислень при заданих даних

Постійна часу визначається за формолою[2]:

,                                       (16)

При заданих значеннях  τ=0,00165. Обчисливши теоретичні значення  τ=0,00165 і прирівнявши його з одержаним значенням з графіка τ=0,0017 можна сказати, що метод є достатньо точним. Основну частину похибки носить наближене значення похідної.

 

ВИСНОВОК

В ході виконання роботи в середовищі Delphi було реалізовано і перевірено на тестових прикладах модифікацію алгоритму Явного методу Ейлера [5] для чисельного інтегрування диференціальних  рівнянь.  Провели  розрахунки для перехідних процесів в RС колах. 

Результати:

• Розглянули головні властивості, функції і можливості роботи в Delphi 7.
• Ознайомилися з процесами в RC- колах, розглянули перехідний  процес в електричному колі, яке  складається з джерела постійної  електрорушійної сили Е,  резистора з опором R і  конденсатора з  ємністю С[2].
• За допомогою диференційних рівнянь чисельно розв’язали рівняння, що описує RC-ланку Явним методом Ейлера.

В результаті ми отримали  два графіка:

1. Значення напруги від часу;
2. Значення струму від часу.

Зробивши обчислення і підставивши наші дані в формулу  постійної часу можна зробити висновки, що Явний метод Ейлера є достатньо точним, виходячи з того що постійна часу τ при обчисленнях збігається з даними які виводяться на графіку.

 

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

 

1. Бобровский С. Delphi 7. Учебный курс. - СПБ.: Питер, 2004. - 735 с.
2. Эйприлл Синицкий Л. А., Шумков Ю. М.  О поиске периодических режимов в нелинейных цепях численными методами // Теор. электротехника. 1966 № 9
3. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Ред. Дж. Холл и Дж. Уатт. –М.: Мир, 1979.– 312 с.
4. Хвищун І.О. Програмування і математичне моделювання: Підруч. –К.: Видавничий Дім “Ін Юре”, 2007. – 543 с.
5. www.uk.wikipedia.org