Основы теории управления сигналами. Ряды Фурье

 

Задание № 1.

Задание 1.1 Найти шесть первых членов разложения сигнала x(t), заданного в таблице, в ряд Фурье на всей оси времени. Оценить погрешность приближения. Для полученных членов разложения найти спектр частот сигнала.

 

Решение:

Найдем период . 

 

 

 

 

 

Период , тогда частота .

Коэффициенты A_k и B_k вычислим по формулам:

 

 

Чтобы вычислить коэффициенты воспользуемся программой Matchcad.

Вычислим коэффициенты

 

 

 

 

 

 

Вычислим коэффициенты

-1.568

 

 

 

 

Ряд Фурье  в общем виде для первых шести  членов:

 

Амплитуды вычислим по следующей формуле:

 

 

 

 

 

 

 

График  спектра сигнала , приближающего исходный сигнал:

 

Графики частичного разложения и исходного сигнала.

Вычислим относительную и абсолютную погрешности приближения:

 

 

 

1.2 Задание 1.2. Разложить сигнал x(t), заданный в таблице, в ряд Фурье на интервале определения сигнала. Если интервал не задан, то в качестве интервала разложения взять . Оценить погрешность приближения. Для полученных членов разложения найти спектр частот сигнала.

 

Решение:

Период , тогда частота .

Коэффициенты A_k и B_k вычисляем по следующим формулам:

 

 

 

Ряд Фурье имеет следующий  вид:

 

Найдем значения первых шести коэффициентов ряда. Т.к. заданная функция четная, то все коэффициенты

 

 

 

 

 

 

Ряд Фурье  для первых шести членов:

 

Графики частичного разложения сигнала  и исходного сигнала:

 

Вычислим абсолютную и относительную  погрешности

 

 

 

 

Найдем амплитуду по следующей  формуле :  
 

Вычислим:

 

 

 

 

 

 

График спектра сигнала , приближающего исходный сигнал

 

ЗАДАНИЕ №2

Задание 2.1. Пользуясь таблицей преобразования Фурье, найти Фурье-образ сигнала .

.

Решение:

Заданный  сигнал не является табличным, поэтому находим его Фурье-образ непосредственно интегрированием:

 

Преобразуем данный интеграл с помощью формулы  Эйлера к двум интегралам – действительной и мнимой частям.

 

Выберем интервал частот для параметра z, например.

 

Пусть шаг, с которым будет изменяться

Для от -20 до 20, с шагом будем приближенно вычислять интеграл. Выберем интервал интегрирования, например, выполним интегрирование на интервале [-3, +3]. Получим следующие интегралы для вычисления:

 

 

Для вычисления интегралов применим метод трапеций.

 

 

 

Пусть , тогда

Чтобы вычислить  интегралы методом трапеций, напишем  программу на C++, в результате выполнения которой получим значения z и значения модулей Фурье-образа для каждого значения z. Также вычислим модуль Фурье-образа.

График  амплитудно-частотной характеристики сигнала построим по данным, полученным в результате выполнения программы.

Фурье-образ

 

Модуль Фурье-образа: