Метод Ейлера

Вступ

 

Бурхливий розвиток обчислювальної техніки висунуло на передній план при вирішенні практичних інженерних і наукових задач обчислювальну  математику і програмування.

Обчислювальна математика вивчає побудову та дослідження чисельних  методів розв'язання математичних задач  за допомогою реалізації відповідних  математичних моделей.

Програмування забезпечує технічну реалізацію їх.

Узагальнену схему  математичного моделювання можна  представити таким чином:

При реалізації даного циклу вимагають  пильної уваги всі його компоненти. Заключним його етапом є отримання  чисельного результату і зіставлення  його з цільовою установкою і, як правило, для досягнення бажаного, або прийнятного  результату, завжди виникає необхідність зміни або математичної моделі, або  обчислювального методу, або алгоритму, або програми.

Слід підкреслити важливість і таких етапів даної технології вирішення задач на ЕОМ як проведення розрахунків і аналіз результатів. (А саме, підготовка вихідних даних, обгрунтування вибору обчислювального  методу, коректність і точність рішення). Важливим моментом є також економічність  вибору: способу розв'язання задачі, чисельного методу, моделі ЕОМ, обчислювальної середовища.

Метод Ейлера з перерахунком

При такому підході рекуррентнеспіввідношення (14) змінюеться, а саме, замістьf(x_i, y_i) беруть середне арифметичне міжf(x_i, y_i) таf(x_i+1, y_i+1).

Тоді

   (15)

Це неявна схема. Вона реалізується у дві ітерації: спочатку знаходиться  перше наближення по (14), вважаючиy_i початковою

,     (16)

тоді (16) підставляється в праву частину (15) замістьy_i+1

   (17)

Геометрична інтерпретація  методу:

За допомогою методу Ейлера з перерахунком можна робити контроль точності, порівнюючи y_i+1 таỹ_i+1.

На підставі цього можна  вибирати крок. Якщо величина |ỹ_i+1 – y_i+1| порівнянна із заданою точністюe, то крок можна збільшувати, якщо більше, то зменшувати, т.д. має місце схема подвійного прорахунку з оцінкою похибки за величиною

» ,

де y(x_i) – точне рішення в точціх = x_i, а y_iіy^*_iнаближені значення, отримані з крокомh таh/2 відповідно

Вклад у науку

 

            Ейлер залишив найважливіші праці з самим різним галузям математики, механіки, фізики, астрономії і по ряду прикладних наук. З точки зору математики, XVIII століття - це століття Ейлера. Якщо до нього досягнення в галузі математики були розрізнені і не завжди узгоджені, то Ейлер вперше пов'язав аналіз, алгебру, тригонометрію, теорію чисел та ін дисципліни в єдину систему, і додав чимало власних відкриттів. Значна частина математики викладається з тих пір "по Ейлера".

  формула Ейлера

            Завдяки Ейлера в математику увійшли загальна теорія рядів, дивовижна за красою "формула Ейлера", операція порівняння з цілої модулю, повна теорія безперервних дробів, аналітичний фундамент механіки, численні прийоми інтегрування і рішення диференціальних рівнянь, число e, позначення i для уявної одиниці, гамма - функція з її оточенням і багато іншого.

            По суті саме він створив кілька нових математичних дисциплін - теорію чисел, варіаційне числення, теорію комплексних функцій, диференціальну геометрію поверхонь, спеціальні функції. Інші області його праць: Діофантом аналіз, астрономія, оптика, акустика, статистика і т. д. Пізнання Ейлера були енциклопедичні; крім математики, він глибоко вивчав ботаніку, медицину, хімію, теорію музики, безліч європейських і стародавніх мов.

            Біографи відзначають, що Ейлер був віртуозним алгорітмістом. Він незмінно намагався довести свої відкриття до рівня конкретних обчислювальних методів.

Метод Ейлера із застосуванням наступною ітераційною обробкою.

Метод Эйлера можно ще більше вточнити, застосовуючи ітерационную обробку кожного отриманого значенняy_i. А саме, спочатку виходячи з першого грубого наближення по

,                                                                                   (16)     

будують ітераційний процес згідно (15) за такою схемою

.                                                             (18)

Ітерації продовжують  до тих пір, поки в двох послідовних  наближеннях  , не співпадуть відповідні десяткові знаки і вважаютьy_i+1» . Як правило, при достатньо невеликому кроціh, ітерації швидко збігаються. Якщо після трьох-четирьох ітерацій не відбулося співпадіння потрібного числа десяткових знаків, то крок розрахунківhзменшується. Після такої обробки значенняy_i переходять до наступного вузлуx_i+1.

Приклад. По методу Ейлера скласти таблицю рішення на відрізку [0;1] для рівняння з початковою умовоюy(0) = 1, обравши крокh= 0,2.

Результати обчислень  помістимо в таблицю, яка заповнюється наступним чином:

i	xi	yi	Dyi	Точніше у =
0	0	1,0000	0,2000	1,0000
1	0,2	1,2000	0,1733	1,1832
2	0,4	1,3733	0,1561	1,3416
3	0,6	1,5294	0,1492	1,4832
4	0,8	1,6786	0,1451	1,6124
5	1,0	1,8237		1,7320

 

У першому рядку приi= 0 записуєтьсяx₀ = 0, y₀ = 1,000 по ним вираховуєтьсяf(x₀, y₀) = 1, а післяDy₀ = hf(x₀, y₀) = 0,2. Тоді по формулі (14) виходитьy₁ = 1 + 0,2 = 1,2.

Значення x₁ = 0,2 іy₁ = 1,2000 записуються в другій строчці при i= 1. Використовучи це можна вирахувати

f(x₁,y₁) = 0,8667; Dy₁ = hf(x₁,y₁) = 0,2×0,8667 = 0,1733.

Тодіy₂ = y₁ + Dy₁ = 1,2 + 0,1733 = 1,3733.

При i = 2,3,4,5 обчислення ведуться аналогічно. В останньому стовпчику таблиці для порівняння поміщені значення точного рішення.

З таблиці видно, що абсолютна  похибка дляy₅ складае , що складае 5%.

Зауваження. Метод Ейлера легко поширюється на системи диференціальних рівнянь і на ДУ вищих порядків при їх попередньому приведення до систем ДУ першого порядку.

Розглянемо систему двох рівнянь першого порядку

                                              (19)

З початковими умовамиy(x₀) = y₀ іz(x₀) = z₀.

Тоті наближене значення y(x_i) »y_iтаz(x_i) »z_i вираховується по формулам

                       (20)

Приклад. Використовуючи метод Ейлера, скласти на відрізку [1;1,5] таблицю значень рішення рівнянь.

                                                       (21)

З початковими умовамиy(1) = 0,77 іy'(1) = –0,44, обравши крокh= 0,1.

Рішення.  Замінимо рівняння (21) за допомогою підстановки y' = z, y" =z'системою рівнянь першого порядку

      

З початковими умовамиy(1) = 0,77 таz(1) = –0,44. Таким чином, маємо

      

Результати обчислення за формулами (20) записані в таблиці

i	xi	yi	DYi	f1i  =  zi	Dzi
0 1 2 3 4 5	1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5	0,77 0,726 0,679 0,629 0,576 0,521	–0,044 –0,047 –0,050 –0,053 –0,055	–0,44 –0,473 –0,503 –0,529 –0,551	–0,033 –0,030 –0,026 –0,022	–0,33 –0,296 –0,260 –0,222

 

Таблиця заповнюється наступним  чином. Записуємо в першому рядкуi= 0, x₀=1,0; y₀ = 0,77; z₀ = –0,44.

Далізнаходим

Використовуючи формули (20) отримуемо

Таким чином, у другому рядку таблиці ми можемо записатиi= 1; x₁ = 1,1; y₁ = 0,726; z₁ = –0,473. За цим значенням знаходимо

Отже,

Заповнення таблиці при i =2, 3, 4, 5 виробляються аналогічно.

 

 

 

 

 

 

 

 

ДОДАТОК

using System;

using System.Collections.Generic;

using System.ComponentModel;

using System.Data;

using System.Drawing;

using System.Linq;

using System.Text;

using System.Windows.Forms;

using System.Collections;

 

namespace Eilar_Metod

{

 

publicpartialclassForm1 : Form

    {

//double y_ = 0;

//double yi = 0;

int n = 5;

int i = 0;

double H;

double Eps = 0.000001;

ExpressionParser F = newExpressionParser();

Hashtable xy = newHashtable();

string Func = "";

public Form1()

        {

            InitializeComponent();

 

        }

privatedouble f(double x, double y)

        {

            xy.Clear();

            xy.Add("x", x.ToString());

            xy.Add("y", y.ToString());

return F.Parse(textBox1.Text, xy);

        }

privatevoid Euler(double yi,double xi,double h)

        {

double fxy = 0;//f(xi,yi)

double y_ = 0; double yi_ = 0; //double ytemp = 0;

            fxy = f(xi, yi);

            y_ = yi + h * fxy;

while(true)

            {

                yi_ = yi + h / 2 * (fxy + f(xi + h, y_));

if (Math.Abs(y_ - yi_) <= Eps) break;

                y_ = yi_;

 

            }

            richTextBox1.Text += "\ny(" +i+")= "+y_;

if (i < n) { i++; Euler(y_, xi + h, h); }

        }

privatevoid button1_Click(object sender, EventArgs e)

        {

try

            {

                i = 0;

                n = (int)numericUpDown1.Value;

                H = Convert.ToDouble(textBox4.Text);

                Func = textBox1.Text;

                Eps = Math.Pow(10, (double)numericUpDown2.Value * (-1));

                richTextBox1.Text = "";

                Euler(Convert.ToDouble(F.Parse(textBox3.Text, xy)), Convert.ToDouble(F.Parse(textBox2.Text, xy)), H);

           }

catch (Exception ex) { MessageBox.Show(ex.Message); }

        }

 

privatevoid linkLabel1_LinkClicked(object sender, LinkLabelLinkClickedEventArgs e)

        {

            System.Diagnostics.Process.Start("http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0");

        }

 

privatevoid textBox4_TextChanged(object sender, EventArgs e)

        {

try

            {

                H=Convert.ToDouble(textBox4.Text);

if (H >= 1) textBox4.Text = "";

            }

catch { textBox4.Text = "";}

        }

 

 

    }

publicclassExpressionParser

    {

 

privateHashtable ops, trees, htbl, spconst;

privateint maxoplength;

privateint sb_init;

 

///<summary>

/// Default constructor, creates an ExpressionParser object

///</summary>

public ExpressionParser()

        {

            ops = newHashtable(52); // Holds operators

            spconst = newHashtable(12); // Holds constants

            trees = newHashtable(101); // Holds Node tree datastructures

 

// Add all valid operators.

// new Operator( operator, arguments, precedence )

//

// To add a new operator to the parser three things need to be added:

//

// 1. A new line below specifying the operator symbol, the number of

// arguments (in this parser max two arguments!) and the operator precedence.

//

// 2. Change the maxoplength below (if needed) to hold the number of characters

// an operator symbol length can be.

//

// 3. Add the code to evaluate the operator inside the toValue method using the

// same recursive calls as for the other operators.

//

            ops.Add("^", newOperator("^", 2, 3));

            ops.Add("+", newOperator("+", 2, 6));

            ops.Add("-", newOperator("-", 2, 6));

            ops.Add("/", newOperator("/", 2, 4));

            ops.Add("*", newOperator("*", 2, 4));

            ops.Add("cos", newOperator("cos", 1, 2));

            ops.Add("sin", newOperator("sin", 1, 2));

            ops.Add("exp", newOperator("exp", 1, 2));

            ops.Add("ln", newOperator("ln", 1, 2));

            ops.Add("tan", newOperator("tan", 1, 2));

            ops.Add("acos", newOperator("acos", 1, 2));