ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МУРМАНСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 

 
 

Лабораторная  работа №5

по  дисциплине «Архитектура вычислительных систем»

 «Исследование автокорреляционной функции случайного сигнала» 
 
 
 

                                                Выполнил:

                                                студент группы П-471(2)

Ефимов  А. Ф. 

                                                Проверил:

                                                доцент            Борисова Л. Ф. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Мурманск

2010 
Оглавление

 

 

 Цель работы

     Получить практические навыки применения алгоритма вычисления  дискретного преобразования Фурье (ДПФ) методом быстрого преобразования (БПФ) с основанием 2.

Задание

Найти автокорреляционную функцию случайного сигнала по известной  мощности спектра  , рад/с (в преобразовании использовать только косинусные составляющие). Построить графики заданной функции и действительной составляющей полученной.

Исходные  данные

Значения параметров A и B, а также число выборок N заданы следующим образом:

A = -π

B = -3

N=32

 

Теоретические сведения

Дискретное  преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье — это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах обработки сигналов (его гомоморфизмы применяются в сжатии звука в mp3, сжатие изображений в jpg и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Также дискретные преобразования Фурье помогают решать частные дифференциальные уравнения и выполнять такие операции, как конволюции. 

Физический смысл дискретного преобразования Фурье состоит в том, чтобы представить некоторый дискретный сигнал в виде суммы гармоник. Параметры каждой гармоники вычисляются прямым преобразованием, а сумма гармоник - обратным. 

При дискретизации  аналогового сигнала его спектр становиться периодическим с периодом повторения, равным частоте дискретизации.  Рассмотрим, что представляет собой спектр дискретного периодического сигнала. Итак, пусть последовательность отсчетов x(k) является периодической с периодом N:

     

 для любого k

Такая последовательность полностью описывается  конечным набором чисел, в качестве которого можно взять произвольный фрагмент длиной N, например  . Традиционным представлением является поставленный в соответствие этой последовательности сигнал из смещенных по времени дельта - функций:

     

    (1)

также, разумеется, будет периодическим  с минимальным периодом N Т.

     где

Так как  сигнал (1) является дискретным, его спектр должен быть периодическим с периодом . Так как этот сигнал является также и периодическим, его спектр, должен быть дискретным с расстоянием между гармониками, равным .

Итак, периодический  дискретный сигнал имеет периодический  дискретный спектр, который также  описывается конечным набором из N чисел.

Рассмотрим  процедуру вычисления спектра периодического дискретного сигнала. Так как сигнал периодический, будем раскладывать его в ряд Фурье. Коэффициенты Х(n) этого ряда равны

     

     

     

.                 (2)

Таким образом, формула для вычисления комплексных амплитуд гармоник представляет собой линейную комбинацию отсчетов сигнала.

В выражении (2) реальный масштаб времени фигурирует только в множителе перед оператором суммирования. При рассмотрении дискретных последовательностей обычно оперируют номерами отсчетов и спектральных гармоник без привязки к действительному масштабу времени и частоты. Поэтому множитель из (2) удаляют, то есть считают частоту дискретизации равной единице. Удаляют обычно и множитель . Получившиеся выражение называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ):

     

  (3)

Существует  и обратное дискретное преобразование Фурье. Переход от дискретного спектра к временным отсчетам сигнала выражается следующей формулой:

     

Это выражение  отличается от формулы прямого ДПФ (3) лишь знаком в показателе комплексной  экспоненты и наличием множителя  перед оператором суммирования.

Автокорреляционная  функция

Пара  взаимно-однозначных преобразований:

,  k = 0, …, N-1;  (4.1)

,  n = 0, …, N-1;  (4.2)

где x(nT) – последовательность из N временных отсчетов с периодом Т, X(k) – последовательность из N частотных отсчетов

называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ).

Преобразование (4.1) называется прямым, а (4.2) – обратным. В матричной форме ДПФ имеет вид X = W_Nx, обратное – x = W_N^-1X

Дискретное  преобразование Фурье вводится для  представления как периодических  последовательностей с периодом в N отсчетов, так и последовательностей конечной длины N. Поскольку характеристики спектра последовательности, такие как спектральная плотность мощности, амплитуды и фазы отдельных частот, определяется всегда с использованием конечного числа отсчетов этой последовательности, ДПФ является одним из важнейших средств их определения.

Автокорреляционная  функция определяется как

  (4.3)

Оценка  R(m) имеет вид

 (4.4)

Автокорреляционная  функция служит мерой корреляции между отсчетами случайной последовательности. Если отсчеты представляют собой независимые случайные величины, то R(m) = 0 при m > 0.

Спектральная  плотность мощности есть средняя мощность последовательности x(nT), приходящаяся на достаточно узкую полосу частот Функция связана парой преобразований Фурье с автокорреляционной функцией R(m). Для случайной последовательности x(nT), n = 0, 1, 2, …, указанная пара преобразований Фурье имеет вид:

  (4.5)

Значения  могут быть непосредственно измерены по реализации случайной последовательности или рассчитаны с помощью известной автокорреляционной функции.

Автокорреляционную  функцию можно вычислить по формуле

,  i = 0 .. n/2-1    (4.6)

Если  провести дискретизацию  и вычислить обратное БПФ для взятых отсчетов, то получатся значения сигнала d_ki, по которым можно вычислить искомые значения.

 

Выполнение  лабораторной работы

В ходе выполнения лабораторной работы №5 была модернизирована программа «Быстрое преобразование Фурье», реализованная в ходе выполнения РГЗ №1. Результаты работы программы представлены ниже.

 
Выводы

1. В ходе выполнения данной работы были изучены методы практического применения алгоритма быстрого преобразования Фурье по основанию 2 для вычисления дискретного преобразования Фурье.
2. В данной работе алгоритм БПФ был использован для вычисления автокорреляционной функции случайного сигнала по известной мощности спектра.
3. В ходе исследования были получены следующие выводы:
1. значения исходной функции находятся в пределах от -2 до 2;
2. непропорциональные изменения параметров A и B влияют на форму действительной составляющей автокорреляционной функции.

 

Список  использованной литературы

 
 

Системы цифровой обработки  сигналов: Методические указания к выполнению расчетно-графических заданий и лабораторных работ по курсу для специальности 220400 «ПО ВТ и АС» / Борисова Л.Ф. – Мурманск: МГТУ, 2002.

Цифровая  обработка сигналов: Учеб. пособие для радиотехнических вузов / Сергиенко А.Б. – СПб.: Питер, 2003, 608с. 

Список  использованных программных  средств

 
 

 NetBeans IDE 6.1 , Java HotSpot(TM) Client VM 17.0-b17.