Динамическое программирование

     Типовой алгоритм решения задач методом  динамического программирования:

1. Описать строение оптимальных решений.
2. Выписать рекуррентное соотношение, связывающие оптимальные значения параметра для подзадач.
3. Двигаясь снизу вверх, вычислить оптимальное значение параметра для подзадач.
4. Пользуясь полученной информацией, построить оптимальное решение.

 
 
 
 
 
 

Задача  динамического программирования 

      Большинство методов исследования операций связано  в первую очередь с задачами вполне определенного содержания. Классический аппарат математики оказался малопригодным  для решения многих задач оптимизации, включающих большое число переменных и/или ограничений в виде неравенств. Несомненна привлекательность идеи разбиения задачи большой размерности  на подзадачи меньшей размерности, включающие всего по нескольких переменных, и последующего решения общей  задачи по частям. Именно на этой идее основан метод динамического  программирования.

      Динамическое  программирование (ДП) представляет собой  математический метод, заслуга создания и развития которого принадлежит  прежде всего Беллману. Метод можно  использовать для решения весьма широкого круга задач, включая задачи распределения ресурсов, замены и  управления запасами, задачи о загрузке. Характерным для динамического программирования является подход к решению задачи по этапам, с каждым из которых ассоциирована одна управляемая переменная. Набор рекуррентных вычислительных процедур, связывающих различные этапы, обеспечивает получение допустимого оптимального решения задачи в целом при достижении последнего этапа.

    Происхождение названия динамическое программирование, вероятно, связано с использованием методов ДП в задачах принятия решений через фиксированные промежутки времени (например, в задачах управления запасами). Однако методы ДП успешно применяются также для решения задач, в которых фактор времени не учитывается. По этой причине более удачным представляется термин многоэтапное программирование, отражающий пошаговый характер процесса решения задачи.

    Фундаментальным принципом, положенным в основу теории ДП, является принцип оптимальности. По существу, он определяет порядок поэтапного решения допускающей декомпозицию задачи (это более приемлемый путь, чем непосредственное решение задачи в исходной постановке) с помощью рекуррентных вычислительных процедур.

      Динамическое  программирование позволяет осуществлять оптимальное планирование управляемых  процессов. Под «управляемыми» понимаются процессы, на ход которых мы можем  в той или другой степени влиять.

      Пусть предполагается к осуществлению  некоторое мероприятие или серия  мероприятий («операция»), преследующая определенную цель. Спрашивается: как  нужно организовать (спланировать) операцию для того, чтобы она была наиболее эффективной? Для того, чтобы  поставленная задача приобрела количественный, математический характер, необходимо ввести в рассмотрение некоторый  численный критерий W, которым мы будем характеризовать качество, успешность, эффективность операции. Критерий эффективности в каждом конкретном случаи выбирается исходя из целевой направленности операции и задачи исследования (какой элемент управления оптимизируется и для чего).

      Сформулируем  общий принцип, лежащий в основе решения всех задач динамического  программирования («принцип оптимальности»):

      «Каково бы ни было состояние системы S перед очередным шагом, надо выбрать управление на этом шаге так, чтобы выигрыш на данном шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был максимальным».

      Динамическое  программирование – это поэтапное  планирование многошагового процесса, при котором на каждом этапе оптимизируется только один шаг. Управление на каждом шаге должно выбираться с учетом всех его последствий в будущем.

      При постановке задач динамического  программирования следует руководствоваться  следующими принципами:

1. Выбрать параметры (фазовые координаты), характеризующие состояние S управляемой системы перед каждым шагом.
2. Расчленить  операцию на этапы (шаги).
3. Выяснить набор шаговых управлений x_i для каждого шага и налагаемые на них ограничения.
4. Определить какой выигрыш приносит на i-ом шаге управление x_i, если перед этим система была в состоянии S, т.е. записать «функцию выигрыша»:

.

5. Определить, как изменяется состояние S системы S под влиянием управление x_i на i-ом шаге: оно переходит в новое состояние

. (1.1)

6. Записать основное рекуррентное уравнение динамического программирования, выражающее условный оптимальный выигрыш W_i(S) (начиная с i-го шага и до конца) через уже известную функцию W_i+1(S):

. (1.2)

      Этому выигрышу соответствует условное оптимальное  управление на i-м шаге x_i(S) (причем в уже известную функцию W_i+1(S) надо вместо S подставить измененное состояние )

7. Произвести условную оптимизацию последнего (m-го) шага, задаваясь гаммой состояний S, из которых можно за один шаг дойти до конечного состояния, вычисляя для каждого из них условный оптимальный выигрыш по формуле
8. Произвести условную оптимизацию (m-1)-го, (m-2)-го и т.д. шагов по формуле (1.2), полагая в ней i=(m-1),(m-2),…, и для каждого из шагов указать условное оптимальное управление x_i(S), при котором максимум достигается.

    Заметим, что если состояние системы в  начальный момент известно (а это  обычно бывает так), то на первом шаге варьировать  состояние системы не нужно - прямо  находим оптимальный выигрыш  для данного начального состояния  S₀. Это и есть оптимальный выигрыш за всю операцию

    

9. Произвести  безусловную оптимизацию управления, «читая» соответствующие рекомендации на каждом шаге. Взять найденное  оптимальное управление на первом шаге ; изменить состояние системы по формуле (1.1); для вновь найденного состояния найти оптимальное управление на втором шаге х₂^* и т.д. до конца.

   Данные  этапы рассматривались для аддитивных задач, в которых выигрыш за всю  операцию равен сумме выигрышей  на отдельных шагах. Метод динамического  программирования применим также и  к задачам с так называемым «мультипликативным» критерием, имеющим  вид произведения:

      

      (если  только выигрыши w_i положительны). Эти задачи решаются точно так же, как задачи с аддитивным критерием, с той единственной разницей, что в основном уравнении (1.2) вместо знака «плюс» ставится знак «умножения»:   

      Пример задачи динамического программирования 

    Задача  планирования рабочей  силы:

    При выполнении некоторых проектов число  рабочих, необходимых для выполнения какого-либо проекта, регулируется путем  их найма и увольнения. Поскольку  как наем, так и увольнение рабочих  связано с дополнительными затратами, необходимо определить, каким образом  должна регулироваться численность  рабочих в период реализации проекта.

    Предположим, что проект будет выполнятся в  течение n недель и минимальная потребность в рабочей силе на протяжении i-й недели составит b_i рабочих. При идеальных условиях хотелось бы на протяжении i-й недели иметь в точности b_i рабочих. Однако в зависимости от стоимостных показателей может быть более выгодным отклонение численности рабочей силы как в одну, так и в другую сторону от минимальных потребностей.

    Если  x_i – количество работающих на протяжении i-й недели, то возможны затраты двух видов: 1) С₁(x_i- b_i)-затраты, связанные с необходимостью содержать избыток x_i - b_i рабочей силы и 2) С₂(x_i- x_i-1)-затраты, связанные с необходимостью дополнительного найма (x_i- x_i-1) рабочих.

    Элементы  модели динамического программирования определяются следующим образом:

1. Этап і представляется порядковым номером недели і, і=1,2,…n.
2. Вариантами решения на і-ом этапе являются значения x_i – количество работающих на протяжении і-й недели.
3. Состоянием на і-м этапе является x_i-1 – количество работающих на протяжении (і-1) –й недели (этапа).

    Рекуррентное  уравнение динамического программирования представляется в виде 

    

    где

    Вычисления  начинаются с этапа n при x_n=b_n и заканчиваются на этапе 1.

    ЗАДАЧА  О ЗАГРУЗКЕ

    Общие сведения

    Задача  о загрузке – это задача о рациональной загрузке судна (самолета, автомашины и т.п.), которое имеет ограничения  по объему или грузоподъемности. Каждый помещенный на судно груз приносит определенную прибыль. Задача состоит  в определении загрузки судна  такими грузами, которые приносят наибольшую суммарную прибыль.

    Рекуррентное  уравнение процедуры обратной прогонки выводится для общей задачи загрузки судна грузоподъемностью W предметов (грузов) n наименований. Пусть m_i-количество предметов і-го наименования, подлежащих загрузке, r_i-прибыль, которую приносит один загруженный предмет і-го наименования, w_i-вес одного предмета і-го наименования. Общая задача имеет вид следующей целочисленной задачи линейного программирования.

    Максимизировать z=r₁m₁+r₂m₂+…+r_nm_n.

    при условии, что

    w₁m₁+w₂m₂+…+w_nm_n

W,

    m₁,m₂,…,m_n

0 и целые.

    Три элемента модели динамического программирования определяются следующим образом:

1. Этап і ставится в соответствии предмету і-го наименования, і=1,2,…n.
2. Варианты решения на этапе і описываются количеством m_i предметов і-го наименования, подлежащих загрузке. Соответствующая прибыль равна r_im_i. Значение m_i заключено в пределах от 0 до [W/w_i], где [W/w_i] – целая часть числа W/w_i.
3. Состояние x_i на этапе і выражает суммарный вес предметов, решения о погрузке которых приняты на этапах і,і+1,...n. Это определение отражает тот факт, что ограничения по весу является единственным, которое связывает n этапов вместе.

    Пусть f_i(x_i)-максимальная суммарная прибыль от этапов і,і+1,...,n при заданном состоянии x_i. Проще всего рекуррентное уравнение определяется с помощью следующей двухшаговой процедуры.

    Шаг 1. Выразим f_i(x_i) как функцию f_i+1(x_i+1) в виде

    

    где f_n+1(x_n+1)=0.

    Шаг 2. Выразим x_i+1 как функцию x_i для гарантии того, что левая часть последнего уравнения является функцией лишь x_i. По определению x_i-x_i+1 представляет собой вес, загруженный на этапе і, т.е. x_i-x_i+1=w_im_i или x_i+1=x_i-w_im_i. Следовательно, рекуррентное уравнение приобретает следующий вид:

    

 

    Рекуррентные  соотношения для  процедур прямой и  обратной прогонки 

    Фермеру принадлежит стадо овец, насчитывающее  k голов. Один раз в год фермер принимает решение о том, сколько овец продать и сколько оставить. Прибыль от продажи одной овцы в і-м году составляет p_i. Количество оставленных в i-м году овец удваивается в (1+1)-м году. По истечении п лет фермер намеревается продать все стадо.

    Этот  чрезвычайно простой пример приводится для того, чтобы наглядно продемонстрировать преимущества алгоритма обратной прогонки по сравнению с алгоритмом прямой прогонки. Вычислительные схемы процедур прямой и обратной прогонки обладают различной эффективностью в случаях, когда этапы модели нумеруются в  некотором специальном порядке. Такая ситуация имеет место в  приводимом примере, где этап j ставится в соответствие году j, т. е. этапы должны рассматриваться в хронологическом порядке.