Жарықтың таралуы. Күн мен айдың тұтылуы

Page 1

Лекция - 15. Жарықтың корпускулдық теориясы.. 15 апта.
2.7.1. Температуралық тепе-теңдік күйіндегі денелердің сəуле шығаруы. Қара
дененің сəуле шығару заңдары. Элементар кванттық теория.
2.7.2. Фотоэффект. Люминесценция жəне оның негізгі заңдылықтары. Жарық
қысымы (кванттық жəне толқындық теориясымен түсіндіру). 1 сағат.
Температуралық тепе-теңдік күйіндегі денелердің сəуле шығаруы
Əртүрлі денелер жарықты əртүрлі жұтады. Қара денелер жарықты күшті жұтады, ақ
денелер нашар жұтады. Бұған дəлел ретінде көптеген мысал келтіруге болады. Мысалы,
күн сəулесіне қойылған бөшкедегі су егер бөшке қара түске боялған болса, онда тезірек
жылиды.
Дененің сəуле жұтқыштық қабілетін сандық сипаттау үшін мына шаманы енгіземіз:
тус
жут
W
W
=
α
.
(1)
Мұндағы
тус
W - денеге түсетін жарық энергиясы, W
жұт
- денеде жұтылған жарық
энергиясы. α шамасын дененің жұту қабілеттігі деп атаймыз. Жұту қабілеттілігін
тəжірибе жүзінде дененің қыздырылуы бойынша өлшеуге болады.
Мөлдір емес денелер үшін жұтылған жəне шағылған жарық энергияларының
қосындысы түскен жарық ағыны энергиясына тең:
жут
шаг
тус
W
W
W
+
=
,
сондықтан өлшемділіксіз α шамасы мына аралықта жатады:
1
0
≤
≤
α
. Шектік
жағдайларды былай атауға болады:
0
=
α
- «ақ дене»,
1
=
α
- «қара дене».
Тəжірибеден бір дененің жұту қабілеттілігі дене температурасы өзгергенде жəне оған
түсетін
π
ω
ν
2
=
жарық жиілігі өзгергенде өзгеретіндігі көрінеді. Демек, əрбір денені
( )
Т,
ω
α
α
=
қайсыбір функциямен сипаттауға болады. Əрине, əртүрлі денелерде осы
функциялар тіптен əртүрлі болады.
Қара дененің сəуле шығару заңдары
Т температураға дейін қыздырылған ішіне қуыс істелген дене бар болсын (1-сурет).
Қуыстың қабырғалары жылулық сəуле шығаратындықтан,
қуыс
осы
сəулемен
толтырылған
болады. Дене
температурасы тұрақты етіп ұсталатын стационарлық
жағдайларда
қуыстағы
жылулық
сəуленің
сипаттамаларының тұрақты жəне белгілі мəндері болады,
дəлірек айтқанда, қуыс қабырғаларының жарық шығару
жəне жұту процестері өзара бірін-бірі теңестіретіндей мəн-
дері
болады.
Басқаша
айтқанда,
стационарлық
жағдайларда қуыс қабырғалары мен оның ішіндегі сəуле
арасында жылулық тепе-теңдік орнайды. Осы жағдайда қуыстағы жылулық сəуле тепе-
теңдік сəуле деп аталады.
Қуысты сыртқы кеңістікпен қосатын кішкене тесік істеп тепе-теңдік жылулық сəулені
зерттеуге болады. Осы тесік арқылы тепе-теңдік жылулық сəуле қуыстан сыртқа шығатын
болады жəне оның сипаттамаларын өлшеуге болады.
Кирхгоф заңы. 1859ж. неміс физигі Г. Кирхгофтың ашқан заңына сəйкес тепе-теңдік
күйде сəуле шығарғыштық қабілеттіліктің сəуле жұтқыштық қабілеттілікке қатынасы дене
табиғатына тəуелді емес:
( )
( )
( )
T
f
T
T
r
,
,
,
ω
ω
α
ω
=
.
(2)
а
б
1-сурет

---

Page 2

Мұнда
( )
T
f ,
ω
- барлық денелер үшін бірдей жарық жиілігі мен дене
температурасының əмбебап функциясы, қара дененің сəуле шығарғыштық қабілетілігі деп
аталады. Осы атаудың мағынасы қара дене анықтамасынан түсінікті, осы анықтамаға
сəйкес осындай дене үшін
( )
1
,
=
T
ω
α
, демек,
( ) ( )
T
f
T
r
,
,
ω
ω
=
. Алғашында Кирхгоф осы
заңды термодинамика түсініктерін пайдаланып теориялық қорытып шығарды. Кейіннен
осы заң тəжірибеде расталды.
Кирхгоф заңын растайтын теориялық ой-пікірлерді қарастырайық. Тепе-теңдік
жылулық сəулемен толтырылған қуыс ішінде қандай да бір дене бар деп ұйғарайық. Сірə,
жылулық тепе-теңдік күйдегі дененің жұтатын сəуле қуаты оның шығаратын қуатына тең:
шыг
жут
dP
dP
=
,
(3)
өйткені бұлай болмаған жағдайда дене қыздырыла немесе салқындай басталар еді, ал бұл
тепе-теңдіктің бұзылуына əкелер еді. Дененің сəуле шығарғыштық жəне жұтқыштық
қабілеттіліктерінің анықтамаларын пайдаланып, мынаны жазамыз:
тус
жут
dP
dP
α
=
,
(4)
rdwds
rdvds
dP
шыг
=
=
,
(5)
мұндағы r - сəуле шығарғыштық қабілеттілік, α - сəуле жұтқыштық қабілеттілік,
тус
dP -
дене бетінің
ds
элементіне түсетін ω -ден
ω
ω
d
+
-ге дейінгі спектрлік аралығындағы
жиілігі бар сəуле қуаты. (3)-(5) өрнектерінен мына өрнек шығады.
ds
rd
dP
тус
ω
α
=
.
(6)
Енді біздің сыншы денені мөлшері мен пішіні дəл осындай басқа денемен
алмастырайық. Жылулық сəуле шығару сипаттамалары өзгеріссіз қалатындықтан (3) – (6)
формулалары, α жəне r коэффициенттерінің енді басқа мəндері болғандығына
қарамастан, күшінде қалады. Сонымен (6) формуладағы r жəне α -дан басқа барлық
шамалар инвариант. Бірақ сонда
α
r
қатысы да инварант болуы тиіс, бұл Кирхгоф
заңының мазмұнын анықтайды.
Тепе-теңдік жылулық сəуле шығарудың спектрлік тығыздығы. Тепе-теңдік
жылулық сəуле
( )
T,
ω
ρ
спектрлік тығыздықпен сипатталады; ол кеңістіктің бірлік
көлеміне жəне ω жиілік маңындағы ені ω
d
жиіліктердің шексіз кіші аралығына келетін
Т температурада шығарылатын теп-теңдік сəуле энергиясы ретінде қарастырылады.
V
көлемдегі жəне жиіліктердің ω -ден
ω
ω
d
+
-ге дейінгі жиіліктер аралығындағы жылулық
сəуле шығару энергиясы мынаған тең
( )
ω
ω
ρ
d
T
V
dw
,
=
.
(7)
dw
шамасы Дж-мен өлшенеді. (7) формуланы
( )
T,
ω
ρ
функциясының анықтамасы
ретінде қарастыруға болады.
( )
T,
ω
ρ
функция қара дене шығаратын сəуленің спектрлік тығыздығы деп атайды,
өйткені осы функция қара дененің сəуле шығарғыштық қабілеттілігі мағынасына ие
Кирхгофтың əмбебап
( )
T
f ,
ω
функциямен бірмəнді байланысқан.
Люммер мен Прингсгейм тепе-теңдік жылулық сəуле шығарудың спектрлік
тығыздығын эксперименттік зерттеді. Осы зерттеулердің нəтижелері 1–суретте
көрсетілген.
Тепе-теңдік жылулық сəуле шығарудың
( )
T,
ω
ρ
спектрлік тығыздығын теориялық
есептеуге көшейік.
Рэлей-Джинс формуласы
Тепе-теңдік жылулық сəуле шығарудың термодинамикасы.
( )
T,
ω
ρ
функциясын
теориялық есептеуді өрістің еркіндік дəрежелері бойынша энергияның теңдей үлестірілуі
жайында термодинамикадан белгілі заң негізінде орындауға болады. Осы заңға сəйкес

---

Page 3

жылулық тепе-теңдік күйде жүйенің əрбір еркіндік дəрежесіне орташа алғанда
2
kT
-ге
тең бірдей энергия келеді. Мұндағы T - жүйенің термодинамикалық температурасы,
k
-
Больцман тұрақтысы. Осы заңды жылулық сəуле шығаруға қолдану үшін тұйық қуыстағы
электромагниттік өрістің еркіндік дəрежесін есептеу қажет.
Есептеудің негізгі идеясы бойынша қуыстағы тепе-теңдік жылулық сəуле шығаруды
тұрғын толқындардың жиынтығы түрінде келтіріледі. Шын мəнінде мəселе тепе-теңдік
сəуленің стационарлық кеңістіктің құрылымын элементар қарапайым құрылымдарға –
синусоидалық тұрғын толқындарға спектрлік жіктеу жайында болып отыр.
Мына екі жағдай маңызды. Бірінші-тепе-теңдік жылулық сəуленің кеңістіктік
құрылымы стационар, екінші – қуыс қабырғаларына түсетін сəуле
энергиясы қабырғаның шығаратын энергиясына тең. Осы екі шарт
орындалатын қарапайым жүйеге қос параллель айна – оптикалық
резонатор жатады (2-сурет). Осындай резонатордағы жарық өрісін
тұрғын толқын-дардың дискреттік санамалы жиыны түрінде
өрнектеуге болады. Əртүрлі тұрғын толқындардың саны өрістің
еркіндік дəрежесінің ізделіп отырған санын анықтайды.
Сонымен екі жазық айнаның ортасындағы жарық өрісін қарастырайық. Айналардың
ара қашықтығын L арқылы белгілейміз.
x
осін айналардың бетіне нормаль бойынша
бағыттаймыз. Жазық резонатордағы жарық өрісі бірөлшемді толқындық теңдеуді
қанағаттандырады:
0
1
2
2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
t
Е
с
х
Е
.
(8)
Айналарды идеал өткізгіштер деп есептеп, шекаралық шарттарды мына түрде
жазамыз:
( ) ( )
0
,
,0
=
=
t
L
E
t
E
.
(9)
Осы шекаралық шарттармен (8) теңдеуінің шешімі мынадай болады:
( ) ( )
x
k
t
A
tx
E
x
sin
, =
.
(10)
(9)-ды 8) –ға қойып
( )
t
A
амплитуда үшін теңдеуді аламыз
0
2
2
2
2
=
+
∂
∂
A
k
c
t
A
x
.
(11)
Сонымен, амплитуда гармоникалық осцилятордың теңдеуіне бағынады. Осы
теңдеудің шешімі:
( )
(
)
ϕ
ω
+
=
t
A
t
A
cos
0
,
x
ck
=
ω
. (12)
Екінші жағынан, (10)-ді (9)-ға қойып, мына теңдеуді аламыз:
0
sin
=
L
k
x
,
Осыдан
π
x
x
m
L
k =
,
,....
3,
2,
1
=
x
m
(13)
Демек
L
c
m
ck
x
x
π
ω
=
=
,
,....
3,
2,
1
=
x
m
(14)
Сонымен, резонатордағы жарық өрісінің құрылымы толқындардың дискреттік жиыны
түрінде болады. Жарық интенсивтігінің белгілі кеңістіктік үлестірілуімен сипатталатын
əрбір тұрғын толқынды «өріс осцилляторы» деп атауға болады. Жарық өрісінің бірнеше
қарапайым құрылымы 3-суретте көрсетілген. Мұндағы маңызды нəрсе, ол өріс
осцилляторлары резонаторда санамалы жиын құрап тұрады, демек оларды нөмірлеуге
болады. Əр түрлі осцилляторлар бір-бірінен тəуелсіз болатындықтан (бұлардың
амплитудалары кезкелген мəнге ие) бұлардың толық саны өрістің еркіндік дəрежесінің
санын анықтайды.
х
1
0
2-сурет

---

Page 4

(13) формулаға сəйкес,
x
k толқындық сан-
дар
кеңістігінде əрбір өріс осциллятордың
үлесіне мөлшері
L
k
π
=
∆
болатын ұяшық
(4-
сурет), тиеді мұндағы L -резонатордың
ұзындығы.
Енді қарастыруды үш кеңістіктік
коорди-наттар жағдайына тара-тып, айна-
дан
істелген қабырғалары бар куб пішінді қуыс
ішін-дегі жарық өрісін қарасты-рамыз (5-
сурет). Куб қырының ұзындығы L , кө-лемі
3
L
V = , координат остері кубтың қырлары
бойымен бағытталған болсын.
Өрістің əрбір декарттық
x
E ,
y
E ,
z
E
құраушылары үшін мына толқындық
теңдеу орындалады:
0
1
2
2
2
=
∂
∂
−
∆
t
E
c
E
,
(15)
мұндағы
2
2
2
2
2
2
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∆
- Лаплас
операторы. (15) теңдеудің шешімін
мына түрде іздестіреміз:
(
)
( )
( )
( ) (
)
ϕ
ω
+
=
t
z
k
y
k
x
k
A
tz
y
x
E
z
y
x
cos
sin
sin
sin
,,
,
0
. (16)
(16)-ні (15)-ға қойғанда мына теңдеу алынады:
2
2
2
2
2
2
c
k
k
k
k
z
y
x
ω
=
≡
+
+
.
(17)
Бұл толқындық санның
k
модулін жəне жарық толқыны
ω
жиілігін өзара
байланыстыратын дисперсиялық теңдеу деп аталатын теңдеу.
(13)-ке ұқсас, шекаралық шарттардан мына қатыстар алынады:
π
x
x
m
L
k =
,
π
y
y
m
L
k
=
,
π
z
z
m
L
k
=
,
(18)
мұндағы
x
m ,
y
m ,
z
m
- кезкелген жай сандар, яғни
x
m ,
y
m ,
z
m
=1,2,3,….
(19)
z
y
x
k
k
k
,
,
шамаларын жарық толқынының
k
r
толқындық векторының декарттық
құраушылары ретінде қарастыруға болады.
Сонымен, үшөлшемді жағдайда өріс осцилляторы жай
сандардың
x
m ,
y
m ,
z
m
үштігімен сипатталады. Толқындық
сандар
кеңістігінде
(«
k
-кеңістік») өріс
осцилляторын
бейнелейтін сурет 6-суретте көрсетілген. Осы суреттен
k
-
кеңістік түгелдей əрқайсысының көлемі
( )
3
L
k
π
υ
=
(20)
болатын кубиктерге бөлінгендігі көрінеді, сонда əрбір жеке
кубикке өзінің осцилляторы сəйкес келеді.
Енді өрістің еркіндік дəрежесінің толық санын есептеп
шығару қиын емес. 0-ден
−
ω
ге дейінгі жиіліктер ауқымын алып жататын жарық өрісін
m
x
=1
m
x
=2
0
L
x
0
L
A
A
2
3-сурет
6-сурет
4-сурет
5-сурет

---

Page 5

қарастырайық. (17) дисперсиялық теңдеуге сəйкес өрістің толқындық сандары 0-ден
c
k
ω
=
-ға дейінгі ауқымды алып тұрады. Толқындық сандар кеңістігіндегі осы аймақ
радиусы
k
шар түрінде болады, ал оның көлемі
3
4
3
k
π
болады. (16) формулаға сəйкес
z
y
x
k
k
k
,
,
сандар, мысалы
0
,
,
>
z
y
x
k
k
k
(21)
сай келеді. Берілген аймаққа (толқындық сандар кеңістігінің оң октанты) радиусы
k
шардың
8
1
бөлігі ғана кіреді, осы бөліктің көлемі
3
6
1
k
V
k
π
=
.
(22)
Өрістің ізделіп отырған осцилляторлар саны, сірə,
k
кеңістіктегі өрістің барлық
осцилляторлары алып жататын
k
V көлемнің бір осцилляторға сəйкес келетін ұяшықтың
k
υ
көлеміне қатынасына тең.
Осы санды
N′
арқылы белгілеп, былай жазуға болады.
k
k
V
N
υ
=′
.
(23)
(20), (22), (17)-ді пайдаланып, осы шаманы былайша жазуға болады:
3
2
3
3
6 c
L
N
π
ω
=′
.
(24)
Сонымен, (9.25) формула көлемі
3
L кеңістік аймағын жəне 0-ден
ω
-ге дейінгі
жиіліктер аралығын алып жатқан өрістің осцилляторлары санын анықтайды. Осы формула
жарық толқындарының мүмкін болатын таралу бағыттарымен байланысқан өрістің
еркіндік дəрежесінің санын береді. Бірақта белгілі бағытта таралатын толқынның екі
тəуелсіз поляризация күйі болады (мысалы,
x
осі бойымен таралатын жазық толқын,
жалпы алғанда,
z
E
,
y
H жəне
y
E ,
z
H
толқындарының суперпозициясы болып табылады).
Сондықтан жарық өрісінің еркіндік дəрежесінің толық саны
N′
санынан екі есе артық
жəне ол мына шамаға тең болады:
3
2
3
3
3 c
L
N
π
ω
=
.
(25)
Енді
ω
-ден
(
)
ω
ω
d
+
-ге дейінгі аралыққа келетін өрістің еркіндік дəрежесінің санын
есептейік. (24) теңдігінің екі бөлігінен дифференциал алып, мынаны табамыз:
ω
π
ω
d
c
L
dN
3
2
3
3
=
.
(26)
Сонымен, тепе-теңдік жылулық шығарылған сəуленің еркіндік дəрежесінің санын
есептеуге арналған есеп шешілді. Осы нəтижені пайдаланып, тепе-теңдік жылулық
сəуленің спектрлік тығыздығын, яғни кеңістіктің бірлік көлеміне жəне ω -ден
(
)
ω
ω
d
+
-ге
дейінгі спектрлік аралыққа келетін сəуле энергиясын мына түрде өрнектеуге болады:
( )
ε
π
ω
ω
ρ
3
2
2
,
с
Т =
,
(27)
мұндағы
ε
- өріс осцилляторына тиісті орташа энергия.
Рэлей-Джинс формуласы. Еркіндік дəрежелер бойынша энергияның теңдей
үлестірілуі заңына сəйкес, тепе-теңдік жылулық күйдегі осциллятордың орташа энергиясы
kT
=
ε
,
(28)
мұндағы
k
- Больцман тұрақтысы, T - жүйенің температурасы. Мəселен, механикалық
осциллятор үшін орташа кинетикалық энергия орташа потенциалдық энергияға тең жəне
ол
2
kT
-ге тең. Екі жағдайда да осциллятордың толық орташа энергиясы
kT
-ға тең.
(28)-ды (27)-ге қойып мынаны аламыз

---

Page 6

( )
kT
с
Т
2
2
2
,
π
ω
ω
ρ
=
.
(29)
Тепе-теңдік жылулық шығарылған сəуленің спектрлік
тығыздығы үшін осы өрнек Рэлей-Джинс формуласы деп аталады.
7-суретте
( )
Т,
ω
ρ
үлестірілуінің тəжірибеде өлшенген түрі жəне
Рэлей-Джинс формуласы бойынша тұрғызылған теориялық қисығы
көрсе-тілген. Эксперименттік жəне теориялық тəуелділіктердің
сапалық айырмашылы-ғы көрініп тұр, демек, Рэлей-Джинс
формуласы жиіліктердің барлық айма-ғында дұрыс деп қабылдауға
болмайды. Дегенмен ұзын толқындық аймақта осы формула
тəжірибемен жақсы үйлеседі. Осы жағдай жəне де Рэлей-Джинс
форму-ласының негізіне алынған қағидалардың айқындылығы мен қарапайымдылығы
төменгі жиіліктер аймағында осы формула дұрыс жəне жиіліктердің бүкіл аймағы үшін
жарамды болатын толығырақ формула табылғанда ол тиісті шектік жағдайда Рэлей-Джинс
формуласына ауысуы тиіс деп ұйғаруға мүмкіндік береді.
Ультракүлгіндік апат. Рэлей-Джинс формуласының басты кемшілігі, сірə, оның
жоғары жиіліктер аймағында сəуленің спектрлік тығыздығы шектеусіз өсетін нəтиже
беретіндігінде болып тұр. Осы қорытынды тəжірибемен өрескел қайшы келеді, өйткені
тəжірибеге сəйкес
∞
→
ω
болғанда спектрлік тығыздық нөлге ұмтылады. (7-сурет). Бұған
қоса Рэлей-Джинс формуласынан жылулық сəуленің толық (жиіліктер бойынша
интегралдық) энегриясы шексіздікке тең болатындығы келіп шығады:
( )
∞
=
∫
∞
ω
ω
ρ
d
Т
0
,
бұл, əрине, шындыққа жанаспайды. Осы жағдайлар спектрдің қысқа толқындық
(ультракүлгін) бөлігімен байланысты болғандықтан бұларды «ультракүлгіндік апат» деп
атаған.
Планк формуласы
Планк формуласы. 1900ж. аяғына таман тепе-теңдік жылулық сəуле шығаруды
зерттеулерде мынандай жағдай қалыптасты. Жылулық сəуленің спектрлік тығыздығына
дəл эксперименттік өлшеулер жүргізілді (Люммер мен Прингегейм, Рубенс пен Курлбаум
жəне басқалар). (29) Рэлей-Джинс формуласы белгілі еді жəне ол
( )
Т,
ω
ρ
қисығының
төменгі жиіліктер бөлігіін дұрыс бейнелейтіндігі айқын болды. Жəне де Виннің мына
формуласы
( )
(
)
T
Т
βω
ω
ω
ρ
−
exp
,
3
,
const
=
β
, (30)
белгілі еді; бұл формула жоғары жиіліктер аймағында экспериментпен жақсы үйлеседі.
Сонымен
( )
Т,
ω
ρ
үлестірілуінің мына асимптотикалары белгілі болды:
( )
(
)



∞
→
−
−
→
заны
Вин
T
формуласы
Джинс
Рэлей
T
Т
)
(
,
exp
)
(
0
,
,
3
2
ω
βω
ω
ω
ω
ω
ρ
(31)
( )
Т,
ω
ρ
үшін жиіліктердің барлық аймағына жарамды өрнекті алуға əрекеттеніп
М.Планк (31) шарттарын қанағаттандыратын формула ойлап тапты. Осы формула қазіргі
белгілеулерінде мына түрде жазылады жəне Планк формуласы деп аталады:
( )
1
1
,
3
3
2
−
=
kT
e
с
Т
ω
ω
π
ω
ρ
h
h
.
(32)
Осы формуладағы h - тұрақты, оның сан мəні
с
Дж ⋅
⋅
=
−34
10
05
,1
h
;
с
Дж
h
⋅
⋅
=
≡
−34
10
62
,6
2 h
π
.
Бұл тұрақты Планк тұрақтысы деп аталады.
7-сурет
ρ(ω,Т)
ω
0

---

Page 7

Əдетте Планк формуласын
Т,
ν
айнымалыларында жəне де
Т,
λ
айнымалыларында
жазады:
( )
1
1
8
,
3
3
−
=
kT
h
e
c
h
Т
ν
ν
π
ν
ρ
,
(32а)
( )
1
1
8
,
5
−
=
kT
hc
e
hc
Т
λ
λ
π
λ
ρ
.
(32б)
(32) формуланың экспериментпен тамаша үйлесетіндігі көп кешікпей-ақ анықталды. Енді
осы формуланы негіздеу мəселесі оның физикалық мағынасын ашу алға қойылды.
Кванттық көріністердің қажеттігі. (32) формуланы қорытып шығару үшін ішінде
теп-теңдік жылулық сəуле бар қыздырылған қуыстың қабырғаларын құрайтын атомдар ω
жиілігі берілген жарықты кезкелген мөлшерде емес, энергиясы
ω
ε
h
=
0
(33)
тек дискретті үлестермен (кванттармен) шығарып жəне жұтуға қабілетті деп жорығанда
ғана мүмкін болатындығы анықталды.
Осы жорамал сол кезде үстем классикалық физиканың кезкелген физикалық жүйенің
энергиясы үздіксіз өзгере алады дейтін көріністеріне қайшы келетін еді. Дегенмен осы
жорамалдың Рэлей-Джинс формуласынан шығатын қайшылықты шешетіндігін көру қиын
емес. Шынында да (33) формула жиілігі жоғары сəуленің тек жеткілікті үлкен үлестермен
(кванттармен) шыға-рылатындығын, ал
kT
>>
ω
h
болатын жағдайларда қуыс қабыр-
ғаларында
жоғары
жиілікті
кванттарды
шығаруға
қабілетті
атомдар
тіпті
табылмайтындығын көрсетеді; атомдардың реттік шамасы
kT
жылулық энергиясы бұл
үшін өте аз жетімсіз болады. ( ω
h
квантты шығаратындай атомды қоздыра алмайды).
Сонымен
∞
→
ω
шектік жағдайда сəуленің спектрлік тығыздығы, эксперименттік
деректермен толық үйлесіп, нөлге ұмтылуы тиіс. Екінші жағынан,
kT
<<
ω
h
болатын
шектік төменгі жиілік жағдайында, сəуленің дискреттігі елеулі роль атқармайтын болады
да, осы аймақта классикалық физиканың неліктен дұрыс нəтиже беретіндігі түсінікті
болады.
(32)-ке сүйеніп (33)-ке қалай келуге болатындығына қысқаша тоқталайық. Сəулемен
əсерлесіп тұрған атом өзінің энергиясын үздіксіз емес, секірмелі түрде
0
ε
үлестермен
өзгерте алады деп ұйғарамыз. Осы жағдайда атомның мүмкін болатын энергия мəндерін
нөмірлеп мына түрде жазуға болады:
0
ε
ε
n
n
=
,
,.....
2,
1,
0
=
n
(34)
жəне 8-суретте осыған сəйкес энергия деңгейлері көрсетілген.
Атомның нөмірі
n
энергетикалық деңгейде тұрғандығының
сықтималдығы Больцман үлестірілуімен анықталады:
( )
kT
n
Ce
n
P
0
ε
−
=
(35)
немесе
( )
nx
Ce
n
P
−
=
(35а)
мұнда
kT
x
0
ε
=
(36)
белгілеуі енгізілген.
(35)-(36) формулаларында
,.....
2,
1,
0
=
n
0
ε
-энергия элементі (кванты), Т - жүйенің
температурасы,
k
- Больцман тұрақтысы, С - нормалау шартымен анықталатын тұрақты.
( )
1
0
=
∑
∞
=
n
n
P
.
(37)
(35а)-ны (37)-ға қойып мынаны табамыз:
x
n
nx
e
e
C
−
=
=
∑
∞
=
−
−
1
1
0
1
(38)
Осыдан:
x
e
C
−
=1
.
(39)
(38)-тағы қатардың қосындысын есептегенде біз геометриялық прогрессияның
қосындысы үшін белгілі формуламен пайдаландық
8-сурет

---

Page 8

q
q
n
n
−
=
∑
∞
=
1
1
0
,
1
<
q
.
(40)
Атомның орташа энергиясы мына өрнекпен анықталады:
( )
n
P
n
n
∑
∞
=
=
0
ε
ε
.
(41)
(34), (35)-ны (41)-ке қойып мынаны аламыз
∑
∞
=
−
=
0
0
n
nx
ne
C
ε
ε
.
(42)
(42)-тегі қатардың қосындысын, (38)-ты пайдаланып, параметр бойынша
дифференциалдау жолымен, есептейміз:
(
)
2
0
0
1
1
1
x
x
x
n
n
n
nx
e
e
e
x
e
x
ne
−
−
∞
=
−
∞
=
−
−
=






−
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
∑
∑
α
. (43)
(43) жəне (39)-ді (42)-ке қойып, мынаны табамыз:
1
0
−
=
х
ε
ε
ε
(44)
немесе (36)
1
0
0
−
=
kT
e
ε
ε
ε
.
(45)
Сонымен (45) формула Планктың дискреттік энергетикалық деңгейлер моделіндегі
атомның орташа энергиясын анықтайды. Атап өтетін нəрсе, ол осы өрнекке сəйкес
ортаның элементарлық осцилляторының (атомның) орташа жылулық энергиясы
энергияның еркіндік дəрежелері бойынша теңдеп үлестірілу заңы талап ететіндей
kT
шамасына тең емес.
kT
=
ε
өрнегі
0
0
→
ε
шектік жағдайда ғана (45)-ден алынады, яғни энергияның
0
ε
планктың элемент (энергия кванты) нөлге ұмтылатын жағдайда алынады.
Ортаның (заттың) атомын Планк гармоникалық осциллятор деп қарастырды
(модельдеді). Энергияның еркіндік дəрежелер бойынша теңдей үлестірілуі заңына сəйкес
жылулық тепе-теңдік күйде зат осцилляторының (атом) орташа энергиясы өріс
осцилляторының орташа энергиясына тең болуы тиіс:
.
.
рісосц
затосц
θ
ε
ε
=
.
(46)
Бұл (46) өрнегін жылулық тепе-теңдік сəуленің спектрлік тығыздығы үшін (27)
формуласына қоюға негіз болады. Осындай қою нəтижесінде мынаны аламыз:
( )
(
)
1
exp
,
0
0
3
2
2
−
=
kT
с
Т
ε
ε
π
ω
ω
ρ
.
(47)
Атомның энергиясы үздіксіз өзгеретін классикалық модельге сəйкес келетін,
0
0
→
ε
шектік жағдайда (47) өрнегі (27) Рэлей-Джинс формуласына ауысаы. Бірақ (47)-ды
экспериментті жақсы бейнелейтін (32) Планк формуласымен салыстырғанда
0
ε
шамасының (планктық энергияның элементі) шексіз кіші шама емес, ω сəуле жиілігіне
пропорционал шектелген шама болатындығын көруге болады.
Егер
0
ε
үшін (28) өрнекті қабылдасақ, онда (47) формула (32)-ке ауысады. Осылай
жылулық сəулені зерттеу нəтижесінде атомның энергия деңгейлерінің дискреттік жиыны
болатындығы тағайындалады. Кейінгі барлық зерттеулерде расталған осы қорытынды
кванттық физиканың дамуы үшін.
Фотоэлектрлік эффект

---

Page 9

Электромагниттік сəуленің (жарықтың) корпускулалық
қасиеттерінің алғашқы
тəжірибелік көрінісі қарастырылады. Бұларды теориялық түсіндіру фотон ұғымының
тағайындалуына əкеліп соқты.
Сыртқы фотоэффект құбылысының сандық сипаттамаларын тереңірек зерттеу үшін
пайдаланылатын эксперименттік қондырғы схемасы 1-суретте кескінделген. Ауасы
шығарылған шыны түтік ішіне К катод жəне А анод орнатылған. Бұлардың арасына R
потенциометрімен реттелетін потенциалдар айырымы (кернеу) беріледі, ол V
вольтметрімен өлшенді. Біріне-бірі қарама-қарсы қосылған Б
1
жəне Б
2
екі аккумулятор
батареясы потенциометр жəрдемімен U кернеуінің шамасы мен таңбасын өзгертуге
мүмкіндік береді. Катод пен анод арасында өтетін ток күші G гальванометрмен өлшенеді.
Түтік бүйіріндегі Т терезеден (кварц) катодқа жарық түсіруге болады.
Егер катод жарықтандырылмаған болса, онда катод пен анод арасында ток болмайды.
Жарықтандырылған кезде электр тоғы байқалады, ол фототок деп аталады. Фототок күші
потенциалдар айырымына, жарық интенсивтігіне, катод материалына жəне жарық
жиілігіне тəуелді болады. Əрине, токтың өтуін қамтамасыз ететін нəрсе жарықтандыру
əсерінен катод бетінен бөлінетін теріс зарядтардың қозғалысы екендігі анық. Бірақ осы
заряд тасымалдаушылардың табиғаты 1899 ж. дейін, Ленард, Дж.Томсон катодқа түсетін
ультракүлгін сəуле əсерінен катодтан бөлініп шыққан зарядталған бөлшектердің
электрондар екендігін дəлелдегенге дейін, белгісіз болды.
Ленард жарық əсерінен босайтын
электрондардың энергиясы жарық жиілігіне
пропорционал болатындығын, ал жарық интенсивтігіне тəуелді болмайтынын көрсетіп
берді.
Ленардтың тəжірибелерінде пайдаланылған қондырғының схемасы 1-суретте
келтірілген. Катодты жарықтандырғанда тізбекте электр тогы пайда болады (фототок).
Фототок
күшінің
электродтарға
беріл-ген
U
потенциалдар айыры-мына тəуелділігін өлшеу арқылы
Ленард 2-суретте көрсетілгендей тəуелділік алған [əрбір
осындай тəуел-ділік жарықтың тұрақты ин-тенсивтігі
(І=const) жағдайында жəне белгілі
ω
=const жиілік үшін
алынады].
Қисықтың АБ бөлігі үдетуші потенциал (U
>
0)
жағдайында, ал АВ бөлігі - баяулатқыш потенциал
жағдайында (U
<
0) алынған; соңғы жағдайда потенциал U əдетте бөгеуші потенциал деп
аталады. Үдетуші потенциалды біртіндеп өсіріп, ол U
1
мəніне жеткенде і(U) қисығы
қанығу бөлігіне шығады. U
>
U
1
болған жағдайда жарық əсерінен катодтан бөлініп шыққан
фотоэлектрондардың бəрі тізбек арқылы өтеді, сондықтан қанығу тогының і
0
күші
жарықтың фотоэлектрлік əсерінің өлшеуіші ретінде қарастырылуы тиіс. і(U)
тəуелділігіндегі АВ бөліктің болуы фотоэлектрондардың біраз кинетикалық энергиясының
болатындығына байланысты.
U=-U
0
болған жағдайда фотоэлектрондардың бірде біреуі анодқа жетпейді; фототок
нөлге айналады. U
0
мəнін өлшеп фотоэлектрондардың ең үлкен кинетикалық энергиясын
анықтауға болады: Е
max
=eU
0
.
Потенциалдар айырымы нөлге тең болған жағдайда (U=0) катодтан анодқа қарай
бағытталған электрондар ағыны болады. Бұдан катодтан шығарылатын электрондар катод
бетінен қайсыбір жылдамдықпен ұшып шығады, осының арқасында бұлардың анодқа
жете алатындығы көрінеді.
Бұларды (электрондарды) тоқтатып, фототокты доғару үшін бөгеуші U
0
потенциалдар
айырымын қосу керек. U
0
бөгеуші потенциалдар айырымы І жарық интенсивтігіне тəуелді
емес. U
0
(
ω
) тəуелділігі 3-суретте көрсетілген. 4-суретте і
0
қанығу тоғы І жарық
интенсивтігі функциясы ретінде келтірілген.
1-сурет

---

Page 10

2-сурет
3-сурет
U
0
бөгеуші
потенциал
қосылған жағдайда (2-сурет)
катод бетінен
υ
max
максимал
жылдамдықпен
ұшып
шығатын электрондар осы
жылдамдығын
толығынан
жоғалтады.
Энергияның
сақталу заңына сəйкес
2
max
0
2
1
υ
e
m
qU =
, (1)
мұндағы m
e
- электрон массасы, q - оның заряды.
Электрон заряды q=-e теріс, жəне U
0
тежеуіш потенциалы теріс таңбалы
болғандықтан бұлардың qU
0
көбейтіндісі оң таңбалы болатынын еске саламыз. Қанығу
фототогының болуы жəне і
0
қанығу фототок күшінің І жарық интенсивтігіне тура
пропорционал болуы уақыт бірлігінде катодтан жұлынып шығарылатын электрондар саны
жарық интенсивтігіне пропорционал екендігін көрсетеді.
Ескеретін нəрсе, (1) теңдіктегі U
0
мəні мен кернеуді өлшейтін вольтметрдің U
0
1
көрсетулері дəл келмейді. Осы U
0
-U
0
1
айырмашылық анод пен катод материалдары
арасындағы контактылық потенциалдар айырымына тең болады. Осы жағдайды
фотоэффект құбылысын сандық
талдау жасаған кезде ескеру
қажет.
5-суретте
(І)
жарық
интенсивтігі
жəне
U
потенциалдар
айырымы
тұрақты
болған
жағдайда
(І=сonst, U=const) і фототок
күшінің катодқа түсетін
ω
жарық жиілігіне тəуелділігі
келтірілген.
ω
жиілігі
ω
m
-ден кіші болған жағдайда (
ω<ω
m
-ден) фототок болмайды.
1-5-суреттерде і(U), U
0
(ω), і(ω), і
0
(І) тəуелділіктері түрінде өрнектелген
эксперименттік заңдылықтарды сыртқы фотоэффект заңдары түрінде тұжырымдауға
болады.
1. Жарық жиілігі тұрақты болғанда (ω=const) катод бетінен уақыт бірлігінде
жұлынып шығарылатын электрон саны жарық интенсивтігіне тура пропорционал болады.
2. Фотоэффекті катодтың берілген затына тəн жəне фотоэффектің қызыл шекарасы
деп аталатын қайсыбір ω
0
жиіліктен ω жиілігі төмен емес жарық қана тудыруы мүмкін
(жарық интенсивтігіне жəне катодты жарықтандыру уақытына тəуелсіз). Егер ω>ω
0
немесе λ<λ
0
болса, онда фотоэффект байқалады (3-сурет).
3. Катод бетінен 0-ден бастап
1
2
2
m
υ
max
-ға дейінгі энергиялары бар электрондар бөлініп
шығады; осы максимум энергия
ω
жарық жиілігі артқанда сызықты түрде артады, ал
жарық интенсивтігіне тəуелді болмайды (3-сурет).
Катодтың жарықтандырылуы басталған уақыттан фототок қаншалықты кешігіп пайда
болатындығын анықтауға арналған зерттеулер жүргізілді. Сонда қандай да бір кешігу
байқалмаған. Жүргізілген дəл өлшеулерде кешігудің 10
-9
с-тан аспайтындығы дəлелденді.
Фотоэффект заңдарының классикалық физика түсініктеріне қайшы келуі.
Фотоэффект заңдары жарықтың толқындық табиғаты жөніндегі классикалық физика
түсініктерімен қарама-қайшы келеді. Жарық жөніндегі толқындық түсініктер шеңберінде
фотоэффект құбылысын сапалық түрде былайша түсіндіруге болады. Электромагниттік
толқынның электрлік векторы катод затындағы электрондарды үдетеді. Осыдан
4-сурет
5-сурет

---

Page 11

металдағы электрондардың еріксіз тербелісі басталады, бұлардың еріксіз тербеліс
амплитудасы артады. Электрон энергиясы жеткілікті үлкен мəнге жеткенде электрон
катодтан бөлініп шығады, яғни сыртқы фотоэффект құбылысы пайда болады. Бірақ
толқындық түсініктер шеңберінде фотоэффект заңдылықтарын сандық түсіндіру мүмкін
болмады. Толқындық тұрғыдан электронның еріксіз тербелістерінің амплитудасы катодқа
түсетін электромагниттік толқынның электр өрісі кернеулігі векторының тербеліс
амплитудасына пропорционал. Жарық интенсивтігі толқынның электр өрісі кернеулігінің
тербеліс амплитудасы квадратына тура пропорционал.
Демек, жарық интенсивтігі артқан кезде катодтан шығатын фотоэлектрондардың ең
үлкен жылдамдығы да өсуге тиіс. Шындығында бұдан фотоэлектрондар жылдамдығы
тəуелді болмады. Фотоэффектегі кешігу уақытының өте аз болуы да толқындық
түсініктермен үйлеспейді. Есептеу арқылы табылған кешігу уақыты тəжірибеде алынған
кешігу уақытынан көптеген есе артық болып шығады. Фотоэффектің шектік жиілігінің
болуы да толқындық түсініктермен сыйыспайды.
Фотоэффект үшін Эйнштейн теңдеуі. Фотоэффекті түсіндіру үшін Эйнштейн
мынадай ұйғарым жасады (1905 ж): жарық толқынының энергия ағыны үздіксіз емес, ол
квант немесе фотон деп аталатын энергияның дискреттік үлестерінің ағыны болып
табылады.
Жиілігі ω жарыққа сəйкес келетін фотон энергиясы
ε
ω
=
h
(2)
болады, мұндағы
h
=1,05⋅10
-34
Дж⋅с.
Фотон металдағы электронмен соқтығысып, оған өзінің барлық энергиясын береді.
Еркін электронмен соқтығысқан кезде оған фотонның барлық энергиясының берілуі
мүмкін емес. Металдағы электрөткізгіштікті қамтамасыз ететін электрондар еркін
электрондар деп аталады, бірақ олар өзара бірімен-бірі жəне кристалдық тордың басқа
электр зарядтарымен əсерлеседі. Сондықтан олар динамикалық мағынада байланысқан
электрондар болып табылады жəне фотонның бүкіл энергиясын толығынан жұта алады.
Егер осы жұтылған энергия жеткілікті үлкен болса, онда электрон өзін металда ұстап
тұратын күштерді жеңеді де металдан босап шыға алады. Əрине осы процесте энергияның
сақталу заңы орындалады, оны мына түрде жазуға болады
h
ω
υ
= +
А
m
e
1
2
2
max
,
(3)
мұндағы
1
2
2
m
e
υ
max
- электронның металл көлемінде ұстап тұратын күшті жеңіп жəне көлем
аумағынан шыққан кездегі ең үлкен кинетикалық энергиясы; А - шығу жұмысы
(электронды металл көлемінде ұстап тұратын күштерді жеңу үшін электронның атқарған
жұмысы). (3) қатысы фотоэффект үшін Эйнштейн теңдеуі деп аталады.
(2) жəне (3) теңдеулері фотоэффектің барлық ерекшеліктерін толығынан түсіндіреді.
Жарық ағыны энергиясының тығыздығы (жарық интенсивтілігі) фотон ағыны
тығыздығына, яғни ағынның 1 м
2
көлденең қимасынан 1с ішінде өтетін фотон санына тура
пропорционал. Уақыт бірлігінде жұлынып шығарылған электрон саны фотон ағыны
тығыздығына тура пропорционал. Осыдан металл көлемінен уақыт бірлігінде ұшып
шығатын электрон саны жарық интенсивтігіне тура пропорционал екендігі келіп шығады
(фотоэффектің 1-заңы).
(3) теңдеуге сəйкес фотоэлектронның кинетикалық энергиясы катодтан электронды
жұлып шығаратын фотон энергиясына ғана тəуелді де басқа қанша фотонның басқа
электрондармен соқтығысқандығына тəуелді болмайды, яғни жарық интенсивтігіне
тəуелді емес (фотоэффектің 3-заңы). (3) теңдеуден фотон энергиясы электронның
металдан шығу жұмысынан кем болған жағдайда фотоэффектің мүмкін еместігі көрінеді.
Фотоэффекте қызыл шекарасының болуы осылай түсіндіріледі (фотоэффектің 2-заңы).