Законы Ньютона

Зако́ны Ньюто́на — три закона, лежащие в основе классической механики и позволяющие записать уравнения движения для любоймеханической системы, если известны силовые взаимодействия для составляющих её тел. Впервые в полной мере сформулированы Исааком Ньютоном в книге «Математические начала натуральной философии» (1687 год)^[1].

Первый закон Ньютона

Первый закон Ньютона постулирует  наличие такого явления, как инерция тел. Поэтому он также известен как Закон инерции. Инерция — это явление сохранения телом скорости движения (и по величине, и по направлению), когда на тело не действуют никакие силы. Чтобы изменить скорость движения тела, на него необходимо подействовать с некоторой силой. Естественно, результат действия одинаковых по величине сил на различные тела будет различным. Таким образом, говорят, что тела обладают инертностью. Инертность — это свойство тел сопротивляться изменению их текущего состояния. Величина инертности характеризуется массой тела.

Современная формулировка

В современной физике первый закон  Ньютона принято формулировать  в следующем виде^[2]:

Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальная точка при отсутствии внешних воздействий сохраняет величину и направление своей скорости неограниченно долго.

Закон верен также в ситуации, когда внешние воздействия присутствуют, но взаимно компенсируются (это следует  из 2-го закона Ньютона, так как скомпенсированные  силы сообщают телу нулевое суммарное  ускорение).

Историческая формулировка

Ньютон в своей книге «Математические начала натуральной философии» сформулировал первый закон механики в следующем виде:

Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и  поскольку оно не понуждается  приложенными силами изменить это состояние.

С современной точки зрения, такая  формулировка неудовлетворительна. Во-первых, термин «тело» следует заменить термином «материальная точка», так как  тело конечных размеров в отсутствие внешних сил может совершать  и вращательное движение. Во-вторых, и это главное, Ньютон в своём  труде опирался на существование  абсолютной неподвижнойсистемы отсчёта, то есть абсолютного пространства и времени, а это представление современная физика отвергает. С другой стороны, в произвольной (скажем, вращающейся) системе отсчёта закон инерции неверен. Поэтому ньютоновская формулировка нуждается в уточнениях.

Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона — дифференциальный закон движения, описывающий взаимосвязь между приложенной к материальной точке силой и получающимся от этого ускорением этой точки. Фактически, второй закон Ньютона вводит массу как меру проявления инертности материальной точки в выбранной инерциальной системе отсчёта (ИСО).

Масса материальной точки при этом полагается величиной постоянной во времени и независящей от каких-либо особенностей её движения и взаимодействия с другими телами^[3][4][5].

Современная формулировка

В инерциальной системе отсчёта  ускорение, которое получает материальная точка с постоянной массой, прямо  пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил  и обратно пропорционально её массе.

 
При подходящем выборе единиц измерения, этот закон можно записать в виде формулы:

где   — ускорение материальной точки; 
 — сила, приложенная к материальной точке; 
 — масса материальной точки.

Второй закон Ньютона может  быть также сформулирован в эквивалентной  форме с использованием понятия импульс:

В инерциальной системе отсчета  скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей всех приложенных к ней внешних  сил.

 
где   — импульс точки,   — её скорость, а   — время. При такой формулировке, как и ранее, полагают, что масса материальной точки неизменна во времени^[6][7][8].

Иногда предпринимаются попытки  распространить сферу применения уравнения   и на случай тел переменной массы. Однако, вместе с таким расширительным толкованием уравнения приходится существенным образом модифицировать принятые ранее определения и изменять смысл таких фундаментальных понятий, как материальная точка, импульс и сила^[9][10].

Когда на тело действуют несколько  сил, с учётом принципа суперпозиции второй закон Ньютона записывается в виде:

или, в случае если силы не зависят  от времени,

Второй закон Ньютона действителен только для скоростей, много меньших скорости света и в инерциальных системах отсчёта. Для скоростей, приближенных к скорости света, используются законы теории относительности.

Нельзя рассматривать частный  случай (при  ) второго закона как эквивалент первого, так как первый закон постулирует существование ИСО, а второй формулируется уже в ИСО.

Историческая формулировка

Исходная формулировка Ньютона:

Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению  той прямой, по которой эта сила действует.

 
Интересно, что если добавить требование инерциальной системы отсчёта, то в  такой формулировке этот закон справедлив даже в релятивистской механике.

Третий закон Ньютона

Этот закон объясняет, что происходит с двумя взаимодействующими телами. Возьмём для примера замкнутую  систему, состоящую из двух тел. Первое тело может действовать на второе с некоторой силой  , а второе — на первое с силой  . Как соотносятся силы? Третий закон Ньютона утверждает: сила действия равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия. Подчеркнём, что эти силы приложены к разным телам, а потому вовсе не компенсируются.

Современная формулировка

Материальные точки взаимодействуют  друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными  по модулю и противоположными по направлению:

Закон отражает принцип парного  взаимодействия. То есть все силы в  природе рождаются парами.

Историческая формулировка

Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе, взаимодействия двух тел друг на друга равны и направлены в  противоположные стороны.

 
Для силы Лоренца третий закон Ньютона не выполняется. Лишь переформулировав его как закон сохранения импульса в замкнутой системе из частиц и электромагнитного поля, можно восстановить его справедливость^[11].

Выводы

Из законов Ньютона сразу  же следуют некоторые интересные выводы. Так, третий закон Ньютона  говорит, что, как бы тела ни взаимодействовали, они не могут изменить свой суммарный импульс: возникает закон сохранения импульса. Далее, если потребовать, чтобы потенциал взаимодействия двух тел зависел только от модуля разности координат этих тел  , то возникает закон сохранения суммарной механической энергии взаимодействующих тел:

Законы Ньютона являются основными  законами механики. Из них могут  быть выведены уравнения движения механических систем. Однако не все законы механики можно вывести из законов Ньютона. Например, закон всемирного тяготения  или закон Гука не являются следствиями  трёх законов Ньютона.

Комментарии к законам Ньютона

Сила инерции

Законы Ньютона справедливы  только в инерциальных системах отсчета. Если мы честно запишем уравнение движения тела в неинерциальной системе отсчета, то оно будет по виду отличаться от второго закона Ньютона:  , где   - это ускорение, наблюдаемое в рассматриваемой системе отсчёта, и   - ускорение данной точки этой неинерциальной системы отсчёта относительно любой инерциальной системы отсчёта. Однако часто, для упрощения рассмотрения, вводят фиктивную «силу инерции»  , и тогда эти уравнения движения переписываются в виде, идентичном второму закону Ньютона. Математически здесь всё корректно (правильно), но с точки зрения физики новую фиктивную силу нельзя рассматривать как нечто реальное, как результат некоторого реального воздействия на тело. Ещё раз подчеркнём: «сила инерции» — это лишь удобная параметризация того, как отличается движение в инерциальной и неинерциальной системах отсчета.

Законы Ньютона и Лагранжева механика

Законы Ньютона — не самый глубокий уровень формулирования классической механики. В рамках Лагранжевой механики имеется одна-единственная формула (запись механического действия) и один-единственный постулат (тела движутся так, чтобы действие было стационарным), и из этого можно вывести все законы Ньютона, правда, только для лагранжевых систем (следует, однако, отметить, что все известные фундаментальные взаимодействия описываются именно лагранжевыми системами). Более того, в рамках Лагранжева формализма можно легко рассмотреть гипотетические ситуации, в которых действие имеет какой-либо другой вид. При этом уравнения движения станут уже непохожими на законы Ньютона, но сама классическая механика будет по-прежнему применима.

Решение уравнений движения

Уравнение   является дифференциальным уравнением: ускорение есть вторая производная от координаты по времени. Это значит, что эволюцию(перемещение) механической системы во времени можно однозначно определить, если задать её начальные координаты и начальные скорости.

Заметим, что если бы уравнения, описывающие  наш мир, были бы уравнениями первого  порядка, то из нашего мира исчезли  бы такие явления, как инерция, колебания, волны.

Исторический очерк

 

Основные законы механики Ньютон сформулировал в своей книге «Математические начала натуральной философии» в следующем виде.

1. Всякое тело продолжает  удерживаться в состоянии покоя  или равномерного и прямолинейного  движения, пока и поскольку оно  не понуждается приложенными  силами изменить это состояние.     2. Изменение количества движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.     3. Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе, взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны.

Первый закон (закон инерции), в менее чёткой форме, опубликовал ещё Галилей. Надо отметить, что Галилей допускал свободное движение не только по прямой, но и по окружности (видимо, из астрономических соображений). Галилей также сформулировал важнейший принцип относительности, который Ньютон не включил в свою аксиоматику, потому что для механических процессов этот принцип является прямым следствием уравнений динамики. Кроме того, Ньютон считал пространство и время абсолютными понятиями, едиными для всей Вселенной, и явно указал на это в своих «Началах».

Ньютон также дал строгие  определения таких физических понятий, как количество движения (не вполне ясно использованное у Декарта) исила. Он ввёл в физику понятие массы как меры инерции и, одновременно, гравитационных свойств (ранее физики пользовались понятиемвес).

Завершили математизацию механики Эйлер и Лагранж.