Трёхфазные электрические цепи

 

İ_a = Ú_a / Z_a; İ_b = Ú_b / Z_b; İ_c = Ú_c / Z_c.

 

Ток в нейтральном проводе  İ_N равен геометрической сумме фазных токов

 

İ_N = İ_a + İ_b + İ_c.

 

Напряжения  будут U_a = U_A; U_b = U_B; U_c = U_C, U_Ф = U_Л /  , благодаря нейтральному проводу при Z_N = 0.

Следовательно, нейтральный провод обеспечивает симметрию  фазных напряжений приемника при  несимметричной нагрузке.

Поэтому в четырехпроводную сеть включают однофазные несимметричные нагрузки, например, электрические лампы накаливания. Режим работы каждой фазы нагрузки, находящейся под неизменным фазным напряжением генератора, не будет зависеть от режима работы других фаз.

Векторная диаграмма  при несимметричной нагрузке приведена на рис. 3.9

 

 

Рис. 3.9

 

Трехпроводная электрическая  цепь

 

Схема соединения источника и приемника звездой  без нейтрального провода приведена  на рис. 3.10.

 

Рис. 3.10

 

При симметричной нагрузке, когда Z_a = Z_b = Z_c = Z_φ, напряжение между нейтральной точкой источника N и нейтральной точкой приемника n равно нулю, U_nN = 0.

Соотношение между фазными  и линейными напряжениями приемника  также равно  , т.е. U_Ф = U_Л /  , а токи в фазах определяются по тем же формулам (3.12, 3.13), что и для четырехпроводной цепи. В случае симметричного приемника достаточно определить ток только в одной из фаз. Сдвиг фаз между током и соответствующим напряжением φ = arctg (X / R).

При несимметричной нагрузке Z_a ≠ Z_b ≠ Z_c между нейтральными точками приемника и источника электроэнергии возникает напряжение смещения нейтрали U_nN.

Для определения напряжения смещения нейтрали можно воспользоваться  формулой межузлового напряжения, так  как схема рис 3.10 представляет собой  схему с двумя узлами,

 

(3.14)

,

 

где: Y_a = 1 / Z_a; Y_b = 1 / Z_b; Y_c = 1 / Z_c – комплексы проводимостей фаз нагрузки.

Очевидно, что  теперь напряжения на фазах приемника  будут отличаться друг от друга. Из второго закона Кирхгофа следует, что

 

(3.15)

Ú_a = Ú_A - Ú_nN; Ú_b = Ú_B - Ú_nN; Ú_c = Ú_C - Ú_nN.

 

Зная фазные напряжения приемника, можно определить фазные токи:

 

(3.16)

İ_a = Ú_a / Z_a = Y_a Ú_a; İ_b = Ú_b / Z_b = Y_b Ú_b; İ_c = Ú_c / Z_c = Y_c Ú_c.

 

Векторы фазных напряжений можно определить графически, построив векторную (топографическую) диаграмму фазных напряжений источника питания и U_nN (рис. 3.11).

При изменении величины (или  характера) фазных сопротивлений напряжение смещений нейтрали U_nN может изменяться в широких пределах. При этом нейтральная точка приемника n на диаграмме может занимать разные положения, а фазные напряжения приемника Ú_a, Ú_b и Ú_c могут отличаться друг от друга весьма существенно.

Таким образом, при симметричной нагрузке нейтральный провод можно  удалить и это не повлияет на фазные напряжения приемника. При несимметричной нагрузке и отсутствии нейтрального провода фазные напряжения нагрузки уже не связаны жестко с фазными напряжениями генератора, так как на нагрузку воздействуют только линейные напряжения генератора. Несимметричная нагрузка в таких условиях вызывает несимметрию ее фазных напряжений Ú_a, Ú_b, Ú_c и смещение ее нейтральной точки n из центра треугольника напряжений (смещение нейтрали).

 

Рис. 3.11

 

Направление смещения нейтрали зависит от последовательности фаз  системы и характера нагрузки.

Поэтому нейтральный провод необходим для того, чтобы:

• выравнивать фазные напряжения приемника при несимметричной нагрузке;
• подключать к трехфазной цепи однофазные приемники с номинальным напряжением в   раз меньше номинального линейного напряжения сети.

Следует иметь  в виду, что в цепь нейтрального провода нельзя ставить предохранитель, так как перегорание предохранителя приведет к разрыву нейтрального провода и появлению значительных перенапряжений на фазах нагрузки.

 

 

Соединение  фаз генератора и приемника треугольником

 

При соединении источника питания треугольником (рис. 3.12) конец X одной фазы соединяется  с началом В второй фазы, конец Y второй фазы – с началом С  третьей фазы, конец третьей фазы Z – c началом первой фазы А. Начала А, В и С фаз подключаются с помощью трех проводов к приемникам.

 

Рис. 3.12

 

Соединение  фаз источника в замкнутый  треугольник возможно при симметричной системе ЭДС, так как

 

(3.17)

Ė_A + Ė_B + Ė_C = 0.

 

Если соединение обмоток треугольником выполнено  неправильно, т.е. в одну точку соединены  концы или начала двух фаз, то суммарная  ЭДС в контуре треугольника отличается от нуля и по обмоткам протекает  большой ток. Это аварийный режим для источников питания, и поэтому недопустим.

Напряжение  между концом и началом фазы при  соединении треугольником – это  напряжение между линейными проводами. Поэтому при соединении треугольником  линейное напряжение равно фазному  напряжению.

 

(3.18)

U_Л = U_Ф.

 

Пренебрегая сопротивлением линейных проводов, линейные напряжения потребителя можно приравнять линейным напряжениям источника питания: U_ab = U_AB, U_bc = U_BC, U_ca = U_CA. По фазам Z_ab, Z_bc, Z_ca приемника протекают фазные токи İ_ab, İ_bc и İ_ca. Условное положительное направление фазных напряжений Ú_ab, Ú_bc и Ú_ca совпадает с положительным направлением фазных токов. Условное положительное направление линейных токов İ_A, İ_B и İ_C принято от источников питания к приемнику.

В отличие от соединения звездой при соединении треугольником фазные токи не равны линейным. Токи в фазах приемника определяются по формулам

 

(3.19)

İ_ab = Ú_ab / Z_ab; İ_bc = Ú_bc / Z_bc; İ_ca = Ú_ca / Z_ca.

 

Линейные токи можно определить по фазным, составив уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов a, b и c (рис 3.12)

 

(3.20)

İ_A = İ_ab - İ_ca; İ_B = İ_bc - İ_ab; İ_C = İ_ca - İ_bc.

 

Сложив левые  и правые части системы уравнений, (3.20), получим

 

(3.21)

İ_A + İ_B + İ_C = 0,

 

т.е. сумма комплексов линейных токов равна нулю как  при симметричной, так и при  несимметричной нагрузке.

Симметричная  нагрузка

 

При симметричной нагрузке

 

(3.22)

Z_ab = Z_bc = Z_ca = Ze^jφ,

 

т.е. Z_ab = Z_bc = Z_ca = Z, φ_ab = φ_bc = φ_ca = φ.

Так как линейные (они же фазные) напряжения U_AB, U_BC, U_CA симметричны, то и фазные токи образуют симметричную систему

 

İ_ab = Ú_ab / Z_ab; İ_bc = Ú_bc / Z_bc; İ_ca = Ú_ca / Z_ca.

 

Абсолютные  значения их равны, а сдвиги по фазе относительно друг друга составляют 120°.

Линейные токи

 

İ_A = İ_ab - İ_ca; İ_B = İ_bc - İ_ab; İ_C = İ_ca - İ_bc;

 

образуют также  симметричную систему токов (рис.3.13, 3.14).

 

Рис. 3.13

 

 

На векторной  диаграмме (рис. 3.14) фазные токи отстают  от фазных напряжений на угол φ (полагаем, что фазы приемника являются индуктивными, т.е. φ > 0°). Здесь принято, что напряжение U_AB имеет нулевую фазу. Из диаграммы следует, что любой линейный ток больше фазного в   раз. Линейный ток İ_A отстает по фазе от фазного тока İ_ab на угол 30°, на этот же угол отстает İ_B от İ_bc, İ_C от İ_ca.

Таким образом, при соединении треугольником действующее  значение линейного тока при симметричной нагрузке в   раз больше действующего значения фазного тока и U_Л = U_Ф; I_Л = I_Ф.

При равномерной  нагрузке фаз расчет трехфазной цепи соединенной треугольником, можно  свести к расчету одной фазы.

Фазное напряжение U_Ф = U_Л. Фазный ток I_Ф = U_Ф / Z_Ф, линейный ток I_Л = I_Ф, угол сдвига по фазе φ = arctg (X_Ф / R_Ф).

 

Рис. 3.14

 

Несимметричная  нагрузка приемника

 

В общем случае при несимметричной нагрузке Z_ab ≠ Z_bc ≠ Z_ca. Обычно она возникает при питании от трехфазной сети однофазных приемников. Например, для нагрузки, рис. 3.15, фазные токи, углы сдвига фаз и фазные мощности будут в общем случае различными.

 

Рис. 3.15

 

Векторная диаграмма  для случая, когда в фазе ab имеется  активная нагрузка, в фазе bc – активно-индуктивная, а в фазе ca – активно-емкостная  приведена на рис. 3.16, топографическая  диаграмма – на рис. 3.17.

 

Рис. 3.16

 

Построение  векторов линейных токов произведено в соответствии с выражениями

 

İ_A = İ_ab - İ_ca; İ_B = İ_bc - İ_ab; İ_C = İ_ca - İ_bc.

Рис. 3.17

 

Таким образом, при несимметричной нагрузке симметрия  фазных токов İ_ab, İ_bс, İ_ca нарушается, поэтому линейные токи İ_A, İ_B, İ_C можно определить только расчетом по вышеприведенным уравнениям (3.20) или найти графическим путем из векторных диаграмм (рис. 3.16, 3.17).

Важной особенностью соединения фаз приемника треугольником  является то, что при изменении  сопротивления одной из фаз режим  работы других фаз остается неизменным, так как линейные напряжения генератора являются постоянными. Будет изменяться только ток данной фазы и линейные токи в проводах линии, соединенных с этой фазой. Поэтому схема соединения треугольником широко используется для включения несимметричной нагрузки.

При расчете  для несимметричной нагрузки сначала  определяют значения фазных токов İ_ab, İ_bc, İ_ca и соответствующие им сдвиги фаз φ_ab, φ_bc, φ_ca. Затем определяют линейные токи с помощью уравнений (3.20) в комплексной форме или с помощью векторных диаграмм (рис. 3.16, 3.17).

 

 

Общие замечания к расчету трехфазных цепей

 

1. При расчете трехфазных цепей исходят из предположения, что генератор дает симметричную систему напряжений. На практике несимметрия нагрузки практически не влияет на систему напряжений генератора в том случае, если мощность нагрузки мала по сравнению с мощностью генератора или сети электроснабжения.

2. Схема соединения обмоток трехфазного генератора не предопределяет схему соединения нагрузки. Так, при соединении фаз генератора в звезду нагрузка может быть соединена в звезду с нейтральным проводом, в звезду без нейтрального провода или, наконец, в треугольник.

 

 

Мощность  трехфазной цепи, ее расчет и измерение

 

В трехфазных цепях, так же как и в однофазных, пользуются понятиями активной, реактивной и полной мощностей.

 

Соединение  потребителей звездой

 

В общем случае несимметричной нагрузки активная мощность трехфазного приемника равна  сумме активных мощностей отдельных  фаз

 

(3.23)

P = P_a + P_b + P_c,

 

где

 

(3.24)

P_a = U_a I_a cos φ_a; P_b = U_b I_b cos φ_b; P_c = U_c I_c cos φ_c;

 

U_a, U_b, U_c; I_a, I_b, I_c – фазные напряжения и токи;

φ_a, φ_b, φ_c – углы сдвига фаз между напряжением и током.

Реактивная  мощность соответственно равна алгебраической сумме реактивных мощностей отдельных  фаз

 

(3.25)

Q = Q_a + Q_b + Q_c,

 

где

 

(3.26)

Q_a = U_a I_a sin φ_a; Q_b = U_b I_b sin φ_b; Q_c = U_c I_c sin φ_c.

Полная мощность отдельных фаз

 

(3.27)

S_a = U_a I_a; S_b = U_b I_b; S_c = U_c I_c.

 

Полная мощность трехфазного приемника

 

(3.28)

.

 

При симметричной системе напряжений (U_a = U_b = U_c = U_Ф) и симметричной нагрузке (I_a = I_b = I_c = I_Ф; φ_a = φ_b = φ_c = φ) фазные мощности равны P_a = P_b = P_c = P_Ф = U_Ф I_Ф cos φ; Q_a = Q_b = Q_c = Q_Ф = U_Ф I_Ф sin φ.