Спектор водорода

 
 

Таблица 3. Градуировка монохроматора с помощью ртутной лампы 

 

       C помощью полиномиальной аппроксимации был построен градуировочный график для неоновой и ртутной ламп (см. рис. 4). Для этого использовалась встроенная функция Fit[data,funs,vars]в пакете Mathematica. Были получены полиномы различной степени. Оптимальная степень полинома получена путём поиска наименьшей суммы квадратов отклонений Q:

,     (14) 

где λ(N_k) – длина волны, полученная с помощью полиномиальной аппроксимации, λ_k –значение длины волны, полученное в эксперименте. Результаты приведены в таблице 4. 

Таблица 4. Зависимость Q(m). 

 

      В табл.4 m – степень полинома.

Для степеней полинома m ≥ 5 сумма квадратов отклонений Q принимает минимальное значение и не меняется. Был выбран следующий полином: 

λ = 3878.53 +0.795041·N - 3.72644×10^-4·N² + 2.17985·10^-7·N³ - 5.15819·10^-14·N⁴ –

2.47176·10^-20·N⁵          (15)

 

Рис. 4. Градуировочный график  
 

     Вычисление длин волн спектральных линий H_α, H_β, H_γ, H_δ серии Бальмера

     Были  проведены измерения для атома водорода. Каждой спектральной линии было поставлено в соответствие число делений измерительного барабана.

      Среднее число делений измерительного барабана N рассчитано по формуле (9)

      Расчеты  погрешности числа делений ΔN проведены по формулам (10) – (13) для доверительной вероятности α = 0,95, в формуле 11 величину δ полагаем равной 5 делениям вследствие ширины спектральной линии.

      Результаты  записаны в последнем столбце таблицы 5. 

Таблица 5. Положение спектральных линий водорода в делениях барабана. 

 

N₁, N₂, N₃ – отдельные измерения числа делений барабана. 

     Подставив в полином (15) число делений барабана для водорода, мы получили значения длин волн. Результаты находятся в таблице 6.

     Погрешности длин волн рассчитываются методом косвенных измерений согласно следующей формуле:

  (16)  

     Длина волны λ является функцией одного переменного N. Погрешность Δλ рассчитывается путём дифференцирования:  

       (17) 

При дифференцировании полинома (15) по формуле (17) получаем: 

Δλ=(0.7950 - 7·10^-4·N+6.5399·10^-7·N² – 2.0639·10^-13·N³ – 1.2358·10^-19·N⁴) ΔN  (18) 

Результаты расчета  представлены в таблице 6, где λ  – среднее значение длины волны, полученное из полинома (20), Δλ – погрешность для длины волны, λ_табл - табличное значение длины волны. 

Таблица 6. Длины волн спектральных линий  атома водорода 

 

    Экспериментальные значения с учетом погрешности отличаются от табличных в разряде единиц. Это объясняется наличием систематической  погрешности эксперимента. 

      Вычисление  постоянной Ридберга

      По  формуле (1) была рассчитана постоянная Ридберга для всех четырех спектральных линий: 

      (18) 

Погрешность постоянной Ридберга рассчитываются методом косвенных  измерений согласно формуле (16) Постоянная Ридберга R_H является функцией одного переменного λ. Погрешность ΔR_H рассчитывается путём дифференцирования: 

      (19) 

Результаты находятся  в таблице 7.

 

Таблица 7. Значения постоянной Ридберга 

 

      Усредним  полученные результаты по формулам для  неравноточных измерений: 

      (20) 

      (21) 

      (22) 

Расчет по формулам (20) – (22) даёт значение для постоянной Ридберга

(R_H)₁=109400±480 см^-1,

Сравним результат  с табличным значением постоянной Ридберга. R_{H табл}=109678 см^-1. Усреднённое значение для неравноточных измерений в пределах погрешности совпадает с табличным. 

      Получим значение постоянной Ридберга с помощью метода наименьших квадратов для прямопропорциональной зависимости – формула (1). 

      (23) 

      (24) 

Расчеты погрешности  проведены по формулам (25) – (27) для доверительной вероятности α = 0,95:

     (25) 

      (26) 

      (27) 
 

Расчет по формулам (23) – (27) даёт значение для постоянной Ридберга

(R_H)₂= 109540 ± 570 см^-1

Сравним полученный результат с табличным значением  и результатом, полученным методом неравноточных измерений. Все три значения совпадают друг с другом в пределах погрешностей. Это можно увидеть в таблице 8. 

Таблица 8. Сравнение значений постоянной Ридберга. 

 

Значение, полученное методом наименьших квадратов, ближе  к табличному значению.

 

Выводы:

• Был исследован спектр излучения атома водорода в видимом диапазоне с помощью оптического монохроматора.

 

• Были измерены длины волн спектральных линий видимого диапазона. Экспериментальные значения с учетом погрешности отличаются от табличных в разряде единиц. Это объясняется наличием систематической погрешности эксперимента.

 

• Используя формулу Бальмера (1) и полученные значения длин волн, вычислили постоянную Ридберга для видимых спектральных линий. Усреднённое значение для неравноточных измерений в пределах погрешности совпадает с табличным значением:

  (R_H)₁=109400±480 см^-1

  R_{H табл}=109678 см^-1 

• Значение  константы Ридберга было рассчитано с помощью метода наименьших квадратов:

  (R_H)₂= 109540 ± 570 см^-1.

  Полученное  значение в пределах погрешности  совпадает с табличным. 

• Были сравнены значения (R_H)₁, (R_H)₂ и R_{H табл}. Все они в пределах погрешностей совпадают друг с другом. Значение, полученное методом наименьших квадратов, ближе к табличному значению.