Симетрія структури кристалічних речовин

План лекції

1. Симетричні тіла. Елементи симетрії. 
2. Елементи симетрії нескінченних фігур. 
3. Гвинтові осі симетрії. 
4. Площини ковзаючого відбивання. 
5. Гратка Браве. Умови вибору комірки Браве. 
7. Характеристика граток Браве. 
8. Трансляційна група, базис комірки. 
9. Приклади вибору елементарної комірки Браве.

 

Симетрія  структури кристалічних речовин

Симетричні тіла. Елементи симетрії.

 

 Симетричні тіла - це тіла, що складаються з однакових частин, які мають закономірне повторення і можуть суміщатись одна з одною. Симетрія форм кристалів відображає симетрію їх фізичних властивостей, в першу чергу, симетрію швидкостей росту. Кристали  являють собою однорідні тверді  анізотропні тіла, які мають плоскі грані. Це обумовлено тим, що частки (атоми, іони, молекули), які складають кристал, розташовані в тривимірному просторі прямолінійно. Отже, правильна симетрична форма і є однією з характерних ознак кристала. В правильних кристалічних багатогранниках характерним виступає закономірне повторення елементів їх огранки (граней, ребер, вершин). При відповідних перетвореннях – в цьому і проявляється симетрія кристалів.

 

 Основними перетвореннями, які підкреслюють симетрію кристалів,  тобто  які  встановлюють  повторювальність  елементів  є:  відображення та обертання, що приводять багатогранник у суміщення з самим із собою – називається перетворенням симетрії.

 Уявні площини, лінії, точки, за допомогою яких здійснюються ці відображення й обертання, називаються елементами симетрії. (центр симетрії (або центр інверсії), вісь симетрії, площина симетрії).

 Операції точкової симетрії - це такі переміщення, при яких хоча б одна точка об’єкта залишається нерухомою. До них відносять перш за все прості операції: поворот навколо осі симетрії, відбивання в площині симетрії, інверсія, відбивання з поворотом та інверсія з поворотом.

 

Прості (а-в) та складні (г, д) точкові операції симетрії:

а - поворот навколо осі (на прикладі осі 3-го порядку);

б - відбивання в площині;

в – інверсія;

г - відбивання з поворотом;

д - інверсія з поворотом

 

Елементи симетрії нескінченних фігур.

 

 В симетрії кристалічних структур, як і в симетрії багатокутників, можливі площини симетрії, прості та інверсійні осі, але, крім того, є і елементи, які можливі тільки в кристалічних структурах. Це нескінченно повторені ряди, сітки, гратки із частинок, які пов’язані між собою симетричними перетвореннями. Основна властивість кристалічної структури і характеристичної просторової гратки – нескінченна періодичність, і будь-які два вузли гратки можна сумістити одне з одним з допомогою трансляції.

 У випадку нескінченних об’єктів до точкових операцій симетрії додаються трансляції (Т) - нескінченно повторюване паралельне перенесення об’єкта на деяку відстань, що називається періодом трансляції, а відповідний вектор – вектором трансляції. Три таких некомпланарних вектори найменшої довжини, називають основними векторами трансляції. Цим терміном позначають: симетричне перетворення, елемент симетрії, період трансляції або ребро елементарної комірки.

 

Рис. Приклад трансляції точки а, та основні вектори трансляцій.

Гвинтові осі симетрії.

 

 Гвинтова вісь симетрії – це лінія, при повертанні навколо якої, на певний кут і наступної трансляції вздовж цієї лінії на певну відстань, фігура суміщається сама з собою, а при повороті на 360^○ – зі своїм вихідним положенням в просторі.

 Елементарний кут повороту - це найменший кут, на який треба повернути фігуру, щоб вона сумістилась сама з собою (360^○,180^○,120^○,90^○,60^○). Крок (елементарна трансляція) гвинтової осі - це число суміщень фігури при повороті її навколо гвинтової осі на 360^○. Порядок гвинтової осі - це число суміщень фігури при повороті її навколо гвинтової фігури на 360^○. Гвинтова вісь є правою, якщо поворот (за напрямком трансляцї) відбувається за годинниковою стрілкою, і лівою, якщо поворот відбувається проти годинникової стрілки.

 Позначення гвинтової осі відбувається з допомогою двох цифр (6₁). Перша цифра це порядок осі, а частка від ділення індексу на цифру (1/6 = 0,167) дає величину переносу (трансляції) вздовж осі по відношенню до елементарної трансляції структури в напрямку, паралельному даній осі.

 

Рис.2 Вісь 4 порядку.

Рис.2 Вісь 4 порядку.

Площини ковзаючого відбивання.

 

 Площина ковзаючого відбивання - це сукупність сумісно діючих площин симетрії та паралельної до неї трансляції. Тобто це така площина, в якій, при відображенні і наступній (попередній) трансляції паралельно цій площині на певну відстань, відбите геометричне зображення суміщається з рівним собі. При цьому, перенос  відбувається  на  величину,  рівну  половині  періоду  трансляції.

 

 

Рис. 4 Дія площини ковзаючого відбивання

 

 Площини n-типу можна спостерігати в ОЦК гратці. У неї компонента ковзання направлена по діагоналі паралелограма, який побудований на елементарних трансляціях, що лежать у цій площині.. Проекція ОЦК гратки показана на малюнку. Атоми на вершинах комірки знаходяться в площині малюнку, а атом в центрі комірки є на відстані с/2 по осі z. Атом із вершини може суміститись з атомом в центрі, якщо відбудеться відбиття в площині n і ковзання в цій площині на величину: (b+с)/2.

 

Рис.5 Площини n-типу в ОЦК гратці.

Рис.6 Переміщення атома із вершини в центр комірки

 

 Площини d-типу (алмазні) можливі лише в гранецентрованих гратках. Розглянемо її на прикладі елементарної комірки алмазу. Комірка алмазу це ГЦК комірка, всередині якої є ще 4 атоми в центрах октантів, два на висоті ¼ і два на висоті ¾. Компонента ковзання площини d-типу направлена також вздовж діагоналі елементарного паралелограма, який розміщений в площині відбивання, але величина переносу складає ¼ довжини діагоналі (1/4(a+b)).

 

Рис.8 Структура алмазу та площина d-типу в ГЦК гратці.

Гратка Браве. Умови вибору комірки Браве.

 

 Характерною особливістю як кристалічної структури, так і зовнішніх форм кристалу є симетрія. Симетрія зовнішньої форми кристалу відображає симетрію і закономірність його внутрішнього стану, також по ній можна судити про внутрішню будову і фізичні властивості кристалу. Симетрія характеризує просторову гратку, яка будується на основі трьох параметрів гратки a,b,c. В залежності від величин і взаємної орієнтації трансляцій, існують гратки, які відрізняються одне від одного за своєю симетрією. Симетрія кристалічного простору обмежує число можливих граток. Основні трансляції, а отже і гратка, повинні бути сумісні з симетрією простору.

 

 

 

Умови вибору комірки  Браве:

1. Симетрія вибраної комірки повинна відповідати симетрії гратки, і ребра елементарного паралелепіпеда повинні бути трансляціями.
2. Число рівних ребер і рівних кутів між ребрами елементарної гратки має бути найбільшим.
3. При наявності прямих кутів між ребрами елементарної гратки, їх число має бути максимальним.
4. При виконанні умов 1-3, об’єм елементарної гратки має бути найменшим.

Характеристика  граток Браве.

 

• 14 граток Браве діляться на чотири типи:
6. Примітивні (Р) – мають вузли тільки по вершинах комірки. Якщо вибрати один з вузлів за початок координат, то решту можна отримати, повторюючи цей атом періодично в просторі, з допомогою трьох трансляцій a,b,c.
7. Об’ємоцентровані (J) – мають вузли у вершинах і центрі гратки. Вузол у центрі комірки пов’язаний з початком координат трансляцією (a+b+c)/2.
8. Гранецентровані (F) – крім вузлів у вершинах комірки, мають вузли у центрі кожної гратки, які характеризуються трансляціями: (a+b)/2, (b+c)/2, (a+c)/2.
9. Базоцентровані (A, B, C) – вузли розташовані в центрах двох протилежних граней.

У гратки А центрована грань, перпендикулярна осі Х (a,b,c, (b+c)/2).

У гратки B центрована грань, перпендикулярна осі Y (a,b,c, (a+c)/2).

У гратки C центрована грань, перпендикулярна осі Z (a,b,c, (a+b)/2).

 

Трансляційна група, базис комірки.

 

Прийнявши один з вузлів просторової гратки за початок координат [[000]], можна знайти решту вузлів гратки з допомогою трансляційної групи – сукупності основних трансляцій елементарної гратки.

Щоб виділити в структурі елементарну гратку Браве, потрібно знайти три найкоротші непаралельні трансляції a,b,c , і при цьому, кожна трансляція повинна починатись і закінчуватись на однакових вузлах. Далі слід перевірити основні вимоги:

1.  Чи можна на цих трансляціях побудувати комірку, яка відповідає правилам вибору комірки Браве.
2.  Чи всі частинки в структурі можна отримати з допомогою такого набору трансляцій.

 

14 граток Браве розподіляються за сингоніями. Сингонія - це група видів симетрії, які володіють одним або декількома схожими елементами симетрії, при однаковій кількості одиничних напрямків.  В загальному випадку, кожній сингонії можуть відповідати гратки усіх чотирьох типів, але, на практиці у всіх сингоніях, крім ромбічної, число можливих граток Браве скорочується за рахунок зведення одних типів граток до інших. Наприклад, у кубічній сингонії не може бути базоцентрованої гратки: якщо дві грані кубічної елементарної гратки є центровані, то, на основі кубічної симетрії, центруються усі решта грані, і замість базоцентрованої гратки отримуємо гранецентровану.

Базис комірки – це сукупність координат вузлів, що входять в елементарну комірку. Всю кристалічну структуру можна отримати, повторяючи вузли базису, сукупністю трансляцій комірки Браве. При цьому, початок координат, вибирається у вершині комірки, і координати вузлів виражаються в частинах елементарних трансляцій a,b,c. Наприклад, для примітивної гратки, достатньо вказати координати вузла початку, а всі решта вузли можна отримати з цього вузла, повторюючи його з допомогою основних трансляцій.

Приклад вибору елементарної комірки Браве.  

 

Як приклад, розглянемо структуру кам’яної солі NaCl. В моделі червоними кульками позначено іони натрію, а чорними – іони хлору. Елементарною трансляцією у цьому випадку вважається відстань між Na-Na або Cl-Cl. Елементарні трансляції є в трьох взаємно-перпендикулярних напрямках:a=b=c, α=β=γ. Крім цих трансляцій, також є трансляції для іонів натрію і хлору: (a+b)/2,(b+c)/2,(c+a)/2.