Силовые поля и заряды

Содержание

Страница              

1.Общее теоретическое обоснование………………………………………………....3

2.практичесая часть……………………………………………………………………………….8

2.1.задание 1………………………………………………………………………………………….8

2.1.1теоретическое обоснование к  заданию1……………………………………...8

2.1.2.решение задания1……………………………………………………………………….10

2.2.задание2………………………………………………………………………………………....12

2.2.1.теоретическое обоснование  к заданию2…………………………………….12

2.2.2.решение задания 2……………………………………………………………………….16

3.Общий вывод……………………………………………………………………………………..19

Список литературы………………………………………………………………………………..20

 

1.Общее теоретическое обоснование

 Основные положения электростатики

Статические поля характеризуются постоянством всех величин во времени и отсутствием электрических токов . При этих условиях система уравнений Максвелла разделяется на две полностью независимых системы, одна из которых

,        (1)

        (2)

описывает электростатическое поле. Здесь  - вектор напряжённости электрического поля, - вектор электрической индукции, - объёмная плотность заряда.

При рассмотрении полей в однородных изотропных линейных диэлектриках, в следствие

,       (3)

где - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, уравнение (2) принимает вид

.       (4)

В случае расчёта поля в вакууме или  воздухе  . В диэлектрике , где - относительная диэлектрическая проницаемость.

В проводящей среде удельная проводимость . Из дифференциальной формы закона Ома и условия отсутствия электрических токов (плотность тока проводимости ) следует, что внутри проводящей среды электростатическое поле отсутствует. Это значит, что и, в соответствии с (3) . При подстановке последнего в (2) имеем

.        (5)

Это означает, что внутри проводника нет зарядов. В условиях электростатики электрические  заряды сосредоточены на поверхности  проводника, где их распределение  характеризуется поверхностной  плотностью заряда .

Если  незаряженное проводящее тело помещено в электростатическое поле, то под  действием сил поля свободные  заряды тела начнут перемещаться. Это  перемещение зарядов к поверхности  завершится тогда, когда поверхностные  заряды полностью компенсируют электрическое  поле внутри проводника. Наступит электростатическое равновесие, при котором поверхность  тела будет границей электростатического  поля в диэлектрике, окружающем проводник.

На границе  раздела диэлектрик – проводник  граничные условия записываются в виде

,        (6)

.      (7)

Из выражений (6), (7) следует, что на границе вектор ориентирован перпендикулярно поверхности проводника, силовые линии начинаются на положительных поверхностных зарядах и оканчиваются на отрицательных .

 

  Скалярный потенциал электростатического поля

Уравнение (1) представляет собой условие потенциальности  электростатического поля. Действительно, вследствие тождества  , электростатическое векторное поле может быть выражено через скалярную функцию, называемую скалярным электрическим потенциалом

.      (8)

Очевидно, что электростатический потенциал  определяется с точностью до произвольной постоянной, так как

.      (9)

Подставив (8) в (4), получаем уравнение

,       (10)

называемое  скалярным уравнением Пуассона.

В тех  областях, где нет зарядов  , оно переходит в скалярное уравнение Лапласа

.         (11)

При распределении  заряда с плотностью в области V однородного безграничного диэлектрика потенциал в некоторой точке даёт выражение

,       (12)

где вектор задаёт положение точки наблюдения M, вектор задаёт положение точки с зарядом, r – расстояние между этими точками, а интегрирование производится по всем точкам с зарядами (рис.1).

Рис.1. Геометрия задачи

 

Если  размеры объёма V много меньше расстояния от него до точек, где определяется его поле, то его можно считать точечным и имеющим величину заряда

.              (13)

Тогда  для точечного заряда, помещённого  в начало координат О, имеем

,          (14)

где r – расстояние от заряда  до точки наблюдения. Из (14) следует, что поверхности постоянного потенциала (U=const) будут сферами (r=const).

Применив  выражение (8), взятое в сферической  системе координат, получаем напряжённость  электрического поля

,        (15)

где - орт сферической системы координат.

Определим работу А сил поля при переносе пробного заряда q из точки N в точку M (рис.2)

.        (16)

Рис.2. К определению работы сил поля

 

Известно, что  , поэтому

.      (17)

Если  принять  , то выражение (17) определит потенциал точки М.

Обычно  точку N нулевого потенциала размещают в бесконечности или совмещают с корпусом прибора и землёй.

Электростатический  потенциал определяется как работа сил поля по переносу положительного единичного точечного заряда из заданной точки в точку нулевого потенциала (в бесконечность).

.         (18)

2.Практическая часть:

2.1Задание 1

В свободном  пространстве расположено n точечных зарядов q₁, q₂, q₃,…q_n в точках с координатами x₁, y₁; x₂, y₂; x₃, y₃;…x_n, y_n  соответственно.

Найти поле скалярного электрического потенциала системы зарядов. Построить эквипотенциальные  линии и силовые линии напряжённости  электрического поля.

N	x1	y1	x2	y2	q1	q2
2	2	0	4	3	3	1

 

2.1.1Теоретическое обоснование к заданию 1

Если  поле создаётся несколькими точечными  зарядами (рис.3), то вследствие линейности уравнений (1) и (4) можно использовать принцип суперпозиции, суммирую потенциалы зарядов алгебраически, а их поля электрической напряжённости  векторно

Рис.3. Система  нескольких точечных зарядов

 

,         (19)

,      (20)

где - расстояние от i-го заряда до точки М, - орт этого направления.

Очевидно, что расчёты по выражению (19) существенно  проще, чем по (20). Полученное в результате скалярное поле потенциала изображают в виде поверхностей постоянного  потенциала. В плоском сечении  имеем картину линий равного  потенциала U=const.

Для плоской  задачи (рис.3)

           (21)

Вследствие (8) силовые линии вектора  в каждой точке перпендикулярны линиям равного потенциала и направлены в сторону убывания потенциала: от положительных зарядов и отрицательным или земле, от земли к отрицательным зарядам.

 

 

2.1.2.Решение:

В программе  POLE.EXE создадим систему из 2 свободных зарядов и построим эквипотенциальные линии в произвольно выбранных точках.

С помощью  программы paint достроим силовые линии напряжённости электрического поля. Вследствие (8) силовые линии вектора в каждой точке перпендикулярны линиям равного потенциала и направлены в сторону убывания потенциала

Заметим, что линии эквипотенциального поля при отдалении от зарядов образуют общую замкнутую эквипотенциальную линию поля. Так же наблюдается более высокий потенциал электрического поля вокруг большого заряда. Вычислим значение потенциала в точках с помощью формул:

_{Возьмём точку  P с координатами}

r₁=

r₂=

  

Сравним со значением полученным с помощью  программы

Заметим, что  не считая погрешности связанной с толщиной линии и округлением программы до кВ, значение потенциала полученное в точке Р с помощью расчёта по формуле на 3 порядка больше от значения считаемого программой. Соответственно предполагаем, что программа ошибается на 3 порядка(если значение потенциала для точки над мет. Поверхностью с помощью формулы будет так же на 3 порядка больше, чем полученное с помощью программы, а так же аналогичная ошибка будет у одногрупника, выполняющего ту же курсовую, то будем считать, что программа  работает неверно).

 

2.2.Задание 2

В пространстве над идеально проводящей плоскостью xOy расположено n точечных зарядов q₁, q₂, q₃,…q_n в точках с координатами x₁, y₁; x₂, y₂; x₃, y₃;…x_n, y_n  соответственно.

Найти поле скалярного электрического потенциала системы зарядов над плоскостью. Построить эквипотенциальные линии  и силовые линии напряжённости  электрического поля.

N	x1	y1	x2	y2	q1	q2
2	2	1	4	3	3	1

 

2.2.1.Теоретическое обоснование к заданию 2

  Метод зеркальных изображений

При решении  ряда  технических задач требуется  найти электростатическое поле нескольких зарядов в присутствии металлических  тел. При этом общее электростатическое поле определяется не только точечными зарядами, но и наведёнными поверхностными зарядами на металлических телах. Задача нахождения поверхностной плотности наведённых зарядов достаточно сложна. Однако, существует метод, позволяющий для ряда форм металлических тел найти электростатическое поле без нахождения . Суть метода заключается в замене исходной задачи задачей, где металлическое тело удалено, а влияние распределённого по его поверхности заряда учитывается введением фиктивных дополнительных точечных зарядов, величина и положение которых подбираются. Теорема единственности позволяет легко проверить правильность совершённой замены. В рассматриваемой области пространства должны выполняться уравнения электростатики (1), (4), а на границе поверхности удалённого металлического тела должны удовлетворяться граничные условия (6), (7). 

Этот  метод носит название метод электрических  изображений. Рассмотрим его  на примере  задачи нахождения поля точечного заряда у бесконечной металлической  плоскости.

 

  Заряд у металлической плоскости

Пусть точечный заряд q расположен на высоте h над идеально проводящей плоскостью (рис.4а).

Рис.4. Точечный заряд над металлической плоскостью и 

его зеркальное изображение

 

Если  ввести фиктивный заряд –q, симметрично расположенный относительно плоскости (рис.4б) и убрать из рассмотрения металлическую плоскость, то поле в верхней части такой системы зарядов совпадает с полем системы заряд – плоскость. Действительно, граничные условия на бесконечности и расположение заряда в верхнем полупространстве неизменны, а граничные условия в плоскости симметрии системы двух зарядов совпадают с граничными условиями на металлической плоскости. В любой точке плоскости симметрии вследствие  равенства расстояний до зарядов потенциалы, создаваемые зарядами равны по величине и противоположны по знаку. Плоскость симметрии, как и металлическая плоскость, имеет постоянный нулевой потенциал. Поля напряжённостей поля электрических зарядов в плоскости симметрии имеют равные и противоположные по знаку касательные составляющие. Суммарное поле, как и на металлической плоскости, имеет нулевую касательную составляющую.

В силу принципа суперпозиции такой поход можно  использовать и при большем числе  зарядов. Пусть над металлической  плоскостью расположено несколько  зарядов (рис.5). Для каждого из зарядов  введём зеркально отображённый фиктивный  заряд и найдём поле скалярного электрического потенциала в такой системе.

Рис.5. Заряды над плоскостью и их зеркальные изображения

 

Если  в исходной задаче мы имели n зарядов, то после введения фиктивных зарядов и изъятия металлической плоскости xOz получаем 2n зарядов.

Тогда потенциал  в произвольной точке M(x,y)

,    (22)

где    ,   .       (23)

 

 

2.2.2.Решение:

В программе  POLE.EXE создадим систему из 2 зарядов находящихся в пространстве над идеально проводящей плоскостью xOy и построим эквипотенциальные линии в произвольно выбранных точках метод зеркальных изображений.

С помощью  программы paint достроим силовые линии напряжённости электрического поля. Вследствие (8) силовые линии вектора в каждой точке перпендикулярны линиям равного потенциала и направлены в сторону убывания потенциала.

Заметим, что  линии эквипотенциального поля при  отдалении от зарядов образуют общую  замкнутую эквипотенциальную линию  поля. Так же наблюдается более  высокий потенциал электрического поля вокруг большого заряда. Вычислим значение потенциала в точках с помощью  формул: