Шпаргалка по "Физике"

 

49 Стандартные условия Ф-функции. Нормировка Ф-функции

Стандартные условия  для стационарного уравнения  Шредингера для энергии и моментов.В  случае, когда пси-функция не зависит  от времени, она удовлетворяет стационарному  уравнению Шредингера. Пси-функции  удовлетворяющие этому уравнению  Шредингера наз. собственными ф-ями. Они существуют лишь при определенных значениях енергии(собственные значения энергии). Совокупность собственных значений энергий образует энергетический спектр частицы.

 

50 Туннельный эффект

Туннельный  эффект, туннелирование — преодоление микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия (остающаяся при туннелировании неизменной) меньше высоты барьера. Туннельный эффект — явление существенно квантовой природы, невозможное в классической механике; аналогом туннельного эффекта в волновой оптике может служить проникновение световой волны внутрь отражающей среды (на расстояния порядка длины световой волны) в условиях, когда, с точки зрения геометрической оптики, происходит полное внутреннее отражение. Явление туннелирования лежит в основе многих важных процессов в атомной и молекулярной физике, в физике атомного ядра, твёрдого тела и т. д.

Теория

Туннельный эффект объясняется квантовой механикой, а именно соотношением неопределённостей. Классическая частица не может находиться внутри потенциального барьера высоты V, если её энергия Е < V, так как кинетическая энергия частицы p² / 2m = E − V становится при этом отрицательной, а её импульс р — мнимой величиной (m — масса частицы). Однако для микрочастицы этот вывод несправедлив: вследствие соотношения неопределённостей фиксация частицы в пространственной области внутри барьера делает неопределённым её импульс. Поэтому имеется отличная от нуля вероятность обнаружить микрочастицу внутри запрещенной, с точки зрения классической механики, области. Соответственно появляется определённая вероятность прохождения частицы сквозь потенциальный барьер, что и отвечает туннельному эффекту. Эта вероятность тем больше, чем меньше масса частицы, чем уже потенциальный барьер и чем меньше энергии недостаёт частице, чтобы достичь высоты барьера (то есть чем меньше разность V − E).

Вероятность прохождения сквозь барьер представляет собой главный фактор, определяющий физические характеристики туннельного эффекта. В случае одномерного потенциального барьера такой характеристикой служит коэффициент прозрачности барьера, равный отношению потока прошедших сквозь него частиц к падающему на барьер потоку. В случае трёхмерного потенциального барьера, ограничивающего замкнутую область пространства с пониженной потенциальной энергией (потенциальную яму), туннельный эффект характеризуется вероятностью w выхода частицы из этой области в единицу времени; величина w равна произведению частоты колебаний частицы внутри потенциальной ямы на вероятность прохождения сквозь барьер. Возможность «просачивания» наружу частицы, первоначально находившейся в потенциальной яме, приводит к тому, что соответствующие уровни энергии частиц приобретают конечную ширину порядка hw (h — постоянная Планка), а сами эти состояния становятся квазистационарными.

Примеры

Примером проявления туннельного эффекта в атомной  физике могут служить процессы автоионизации  атома в сильном электрическом  поле. В последнее время особенно большое внимание привлекает процесс  ионизации атома в поле сильной  электромагнитной волны. В ядерной физике туннельный эффект лежит в основе понимания закономерностей альфа-распада радиоактивных ядер: в результате совместного действия короткодействующих ядерных сил притяжения и электростатических (кулоновских) сил отталкивания, α-частице при её выходе из ядра приходится преодолевать трёхмерный потенциальный барьер описанного выше типа (кулоновский барьер). Без туннелирования было бы невозможно протекание термоядерных реакций: кулоновский потенциальный барьер, препятствующий необходимому для синтеза сближению ядер-реагентов, преодолевается частично благодаря высокой скорости (высокой температуре) таких ядер, а частично — благодаря туннельному эффекту.

Особенно многочисленны  примеры проявления туннельного  эффекта в физике твёрдого тела: автоэлектронная эмиссия электронов из металлов и полупроводников; явления в полупроводниках, помещенных в сильное электрическое поле; миграция валентных электронов в кристаллической решётке; эффекты, возникающие на контакте между двумя сверхпроводниками, разделёнными тонкой плёнкой нормального металла или диэлектрика и т. д.

 

 

51 Гармонический  осциллятор

Гармонический осциллятор в квантовой механике представляет собой квантовый аналог простого гармонического осциллятора. Здесь  правда рассматривают не силы действующие  на частицу, а гамильтониан, то есть полную энергию для гармонического осциллятора, в котором присутствует параболическая потенциальная энергия.

Гамильтониан квантового осциллятора выглядит так

В координатном представлении  , . Задача об отыскании уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению таких чисел E при которых следующее дифференциальное уравнение в частных производных

- функции Hn - полиномы Эрмита:

Уровни энергии соответсвующих уровней даются формулой

Данный спектр значений заслуживает внимания по двум причинам: во-первых уровнии энергии дискретны и эквидистантны, то есть разница в энергии между двумя соседними уровнями постоянна и равна . Во-вторых наименьшее значение энергии равно . Этот уровень называют основным, вакуумом, или уровнем нулевых колебаний.

52. Квантовомеханическая теория атома водорода.

 

Квантовомеханическая теория атома. Ограниченность боровской модели атома коренилась в ограниченности классических представлений о движении микрочастиц. Стало ясно, что для дальнейшего развития теории атома необходимо критически пересмотреть основные представления о движении и взаимодействии микрочастиц. Неудовлетворительность модели, основанной на классической механике с добавлением условий квантования, отчётливо понимал и сам Бор, взгляды которого оказали большое влияние на дальнейшее развитие А. ф. Началом нового этапа развития А. ф. послужила идея, высказанная французским физиком Л. де Бройлем (1924) о двойственной природе движения микрообъектов, в частности электрона. Эта идея стала исходным пунктом квантовой механики, и разработанной на её основе современной квантовомеханической теории атома.  Представления квантовой механики о движении электрона (вообще микрочастицы) коренным образом отличаются от классических. Согласно квантовой механике, электрон не движется по траектории (орбите), подобно твёрдому шарику; движению электрона присущи также и некоторые особенности, характерные для распространения волн. С одной стороны, электрон всегда действует (например, при столкновениях) как единое целое, как частица, обладающая неделимым зарядом и массой; в то же время электроны с определённой энергией и импульсом пространяются подобно плоской волне, обладающей определённой частотой (и определённой длиной волны). Энергия электрона Е как частицы вязана с частотой v электронной волны соотношением: E=hv, а его импульс р — с длиной волны l соотношением: р =h/l. Устойчивые движения электрона в атоме в некотором отношении аналогичны стоячим волнам, амплитуды которых в разных точках различны. При этом в атоме, как в колебательной системе, возможны лишь некоторые «избранные» движения с определёнными значениями энергии, момента количества движения и проекции момента электрона в атоме. Каждое стационарное состояние атома описывается при помощи некоторой волновой функции, являющейся решением волнового уравнения особого типа — уравнения Шрёдингера; волновой функции соответствует «электронное облако», характеризующее (в среднем) распределение плотности электронного заряда в атоме водорода.  На основе квантовой механики удалось путём решения уравнения Шрёдингера правильно рассчитать энергии электронов в сложных атомах. При этом выяснилось, что состояние электрона в атоме существенно зависит от его спина — собственного механического момента количества движения. Было дано объяснение действия внешних электрических и магнитных полей на атом. В каждом электронном состоянии в атоме может находиться только один электрон; если данное состояние уже занято каким-либо электроном, то последующий электрон, входя в состав атома, вынужден занимать другое состояние. На основе принципа Паули были окончательно установлены числа заполнения электронных оболочек в сложных атомах, определяющие периодичность свойств элементов.

   53  Спектральные серии. Вырождение

Dn	1	2	3	4	5	6	7	8
Индекс	a	b	g	d	ε	ζ	η	θ

Спектральной  серией называется совокупность переходов  с общим нижним уровнем. Например, серию Лаймана атома водорода и водородоподобных ионов составляют переходы на первый уровень: n→1, где главное квантовое число верхнего уровня, или его номер n, принимает значения 2, 3, 4, 5 и т.д., а серию Бальмера — переходы  n→2 для n > 2. Серия Лаймана атома водорода целиком попадает в область вакуумного ультрафиолета. В оптическом диапазоне находится серия Бальмера, а в ближней инфракрасной области — серия Пашена. Первые несколько переходов любой серии нумеруются буквами греческого алфавита по схеме табл.14.1.2:Таблица 14.1.2 Обозначения первых линий спектральной серии В результате спонтанного перехода с верхнего уровня i на нижний j атом излучает квант, энергия E_ij которого равна разности .При радиационном переходе с j на i поглощается квант с такой же энергией. В планетарной модели атома водорода энергия уровней вычисляется по формуле (13.5.2), причём заряд ядра равен единице: .Разделив эту формулу на hc, получим волновое число перехода: Длина волны в вакууме равна обратной величине волнового числа: По мере увеличения номера верхнего уровня i длина волны перехода монотонно уменьшается. При этом линии неограниченно сближаются. Существует нижний предел длины волны серии, соответствующий границе ионизации. По формулам (1.3) и (1.4) с постоянной Ридберга (13.6.4) мы можем вычислить длины (1.6)           N - 1 = 28.71·10^-5(1+5.67·10^-3λ²_атм.)ВЫРОЖДЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙ, существование двух или более стационарных состояний квантовой системы (атома, молекулы) с одинаковыми значениями энергии. Система, полная энергия к-рой определяется заданием оператора Я (гамильтониана), может иметь т стационарных состояний, для к-рых ур-ние Шрёдингера определяет соответствующие волновые ф-ции (i = 1, 2, ..., т)и одно значение энергии Е, одинаковое для всех т состояний. Энергетич. уровень с энергией Е при наз. вырожденным, число т разл. независимых волновых ф-ций - кратностью вырождения уровня. О состояниях с волновыми ф-циями говорят как о состояниях, вырожденных по энергии, или вырожденных состояниях. Если одному значению энергии отвечает одно состояние, т.е. m=1, уровень наз. невырожденным. В.э.у. играет важную роль при вычислении макроскопич. характеристик в-ва методами статистич. термодинамики. В выражении для статистич. суммы (суммы по состояниям) газа, состоящего из одинаковых молекул, m-кратно вырожденному энергетич. уровню молекулы с энергией Е отвечает вклад mехр( — E/kT), где k - постоянная Больцмана, Т - абс. т-ра. Т. обр., в условиях термодинамич. равновесия заселенность энергетич. уровня определяется не только значением энергии системы, но и кратностью вырождения этого уровня.Как правило, В.э.у. связано с определенными св-вами симметрии квантовой системы. Для таких систем, у к-рых все направления в пространстве равноправны (напр., для своб. частиц), В. э. у. обусловлено наличием состояний с разными направлениями импульса, но с одинаковыми значениями квадрата импульса. Помимо В.э.у., явно связанного с определенными св-вами симметрии системы, возможно и т. наз. случайное вырождение, когда совпадение энергий для ряда состояний происходит без видимых причин. Важный пример случайного вырождения - совпадение энергий возбужденных колебат. состояний для разных степеней свободы молекулы

54 Спин

Спин (англ. spin — вертеть[-ся]) — собственный момент количества движения элементарных частиц, имеющий квантовую природу и не связанный с перемещением частицы как целого. Спином называют также собственный момент количества движения атомного ядра или атома; в этом случае спин определяется как векторная сумма (вычисленная по правилам сложения моментов в квантовой механике) спинов элементарных частиц, образующих систему, и орбитальных моментов этих частиц, обусловленных их движением внутри системы.

Спин измеряется в  единицах (постоянных Планка) и равен J, где J — характерное для каждого сорта частиц целое (в т. ч. нулевое) или полуцелое положительное число — т. н. спиновое квантовое число, которое обычно называют просто спином (одно из квантовых чисел). В связи с этим говорят о целом или полуцелом спине частицы.

Однако не следует  путать понятия спин и спиновое квантовое число. Спиновое квантовое число - это квантовое число, определяющее величину спина квантовой системы (атома, иона, атомного ядра, молекулы), т. е. её собственного (внутреннего) момента количества движения (момента импульса).

Свойства спина

Любая частица может  обладать двумя видами углового момента: орбитальным угловым моментом и спином. В отличие от орбитального углового момента, который порождается движением частицы в пространстве, спин никак не связан с движением в пространстве. Спин — это внутренняя характеристика частицы, причём характеристика исключительно квантовая, не имеющая места в классической механике (вспомним, что в классической механике материальная точка, по определению, есть объект без каких-либо внутренних степеней свободы). Поэтому часто встречающаяся аналогия между электроном (вращение электрона вокруг собственной оси наподобие волчка) и «быстро вращающимся волчком» неудачна, и при сколько-нибудь аккуратном обсуждении её использовать нельзя.

Будучи одним из проявлений углового момента, спин в квантовой  механике описывается векторным  оператором спина  , алгебра компонент которого полностью совпадает с алгеброй операторов орбитального углового момента . Однако, в отличие от орбитального углового момента, оператор спина не выражается через классические переменные (чисто квантовая величина!). Следствием этого является тот факт, что спин (и его проекции на какую-либо ось) может принимать не только целые, но и полуцелые значения (в единицах постоянной Планка ).

Примеры

На июль 2004 года, максимальным спином среди известных элементарных частиц обладает барионный резонанс Δ(2950) со спином 15/2. Спин ядер может превышать 20 ..

Математически теория спина  оказалась очень прозрачной, и  в дальнейшем, по аналогии с ней, была построена теория изоспина.

Спин и магнитный момент

Несмотря на то, что спин не связан с реальным вращением частицы, он тем не менее порождает определённый магнитный момент, а значит, приводит к дополнительному (по сравнению с классической электродинамикой) взаимодействию с магнитным полем. Отношение величины магнитного момента к величине спина называется гиромагнитным отношением, и, в отличие от орбитального углового момента, оно не равно магнетону (μ₀):

Введённый здесь множитель g называется g-фактором частицы; значения этого g-фактора для различных элементарных частиц активно исследуется в физике элементарных частиц.

 

 

55 Атомные спектры,

Атомные спектры,получающиеся при испускании или поглащении света (электромагнитных волн) свободными или слабо связанными атомами; такими спектрами обладают, в частности, одноатомные газы и пары. А. с. являются линейчатыми — они состоят из отдельных спектральных линий. А. с. наблюдаются в виде ярких цветных линий при свечении газов или паров в электрической дуге или разряде (спектры испускания) и в виде тёмных линий (спектров поглощения). Каждая спектральная линия характеризуется определённой частотой колебаний v испускаемого или поглощаемого света и соответствует определённому квантовому переходу между уровнями энергии E_i и E_k атома согласно соотношению: hv = E_i - E_k, где h — Планка постоянная). Наряду с частотой спектральную линию можно характеризовать длиной волны l = c/v, волновым числом 1/l = v/c (c — скорость света) и энергией фотона hv.  А. с. возникают при переходах между уровнями энергии внешних электронов атома и наблюдаются в видимой, ультрафиолетовой и близкой инфракрасной областях. Такими спектрами обладают как нейтральные, так и ионизованные атомы; их часто называют соответственно дуговыми и искровыми спектрами (нейтральные атомы легко возбуждаются и дают спектры испускания в электрических дугах, а положительные ионы возбуждаются труднее и дают спектры испускания преимущественно в искровых электрических разрядах). Спектры ионизованных атомов смещены по отношению к спектрам нейтральных атомов в область больших частот, т. е. в ультрафиолетовую область. Это смещение тем больше, чем выше кратность ионизации атома — чем больше электронов он потерял. Спектры нейтрального атома и его последовательных ионов обозначают в спектроскопии цифрами I, II, III, ... В реально наблюдаемых спектрах часто присутствуют одновременно линии нейтрального и ионизованных атомов; так говорят, например, о линиях FeI, FeII, FeIII в спектре железа, соответствующих Fe, Fe⁺, Fe²⁺.  Линии А. с. образуют закономерные группы, называются спектральными сериями. Промежутки между линиями в серии убывают в сторону коротких длин волн, и линии сходятся к границе серии. Наиболее прост спектр атома водорода. Волновые числа линий его спектра с огромной точностью определяются формулой Бальмера:1/l = R(1/n²₁ - 1/n²₂),  где n₁ и n₂ значения главного квантового числа для уровней энергии, между которыми происходит квантовый переход Спектры атомов щелочных металлов, обладающих одним внешним (оптическим) электроном помимо заполненных оболочек, схожи со спектром атома водорода, но смещены в область меньших частот; число спектральных серий увеличивается, а закономерности в расположении линий усложняются  Для атомов с двумя или несколькими внешними электронами спектры значительно усложняются, что обусловлено взаимодействием электронов. А. с. особенно сложны для атомов с заполняющимися d- и f-оболочками; число линий доходит до многих тысяч, и уже нельзя обнаружить простых серий, аналогичных сериям в спектрах водорода и щелочных металлов. Однако и в сложных спектрах можно установить определённые закономерности в расположении линий, произвести систематику спектра и определить схему уровней энергии.  Систематика спектров атомов с двумя или более внешними электронами основана на приближённой характеристике отдельных электронов при помощи квантовых чисел n и l с учётом взаимодействия этих электронов друг с другом. При этом приходится учитывать электростатические взаимодействия электронов — отталкивание по закону Кулона, и магнитные взаимодействия спиновых и орбитальных моментов  которые приводят к тонкому расщеплению уровней энергии Благодаря этому у большинства атомов спектральные линии представляют собой более или менее тесную группу линий, называемую мультиплетом. Так, у всех щелочных металлов линии двойные (дублеты), причём расстояния между мультиплетными уровнями увеличиваются с увеличением атомного номера элемента. У щёлочноземельных элементов наблюдаются одиночные линии (сингулеты) и тройные (триплеты). Спектры следующих столбцов таблицы Менделеева образуют всё более сложные мультиплеты, причём нечётным столбцам соответствуют чётные мультиплеты, а четным столбцам — нечётные.  В А. с. проявляются не все переходы между уровнями энергии данного атома или иона, а лишь вполне определённые, допускаемые (разрешенные) т. н. отбора правилами, зависящими от характеристик уровней энергии. В случае одного внешнего электрона возможны лишь переходы, для которых азимутальное квантовое число l увеличивается или уменьшается на 1; правило отбора имеет вид: Dl = ±1. В результате s-yровни (l = 0) комбинируют с р-уровнями (l = 1), р-уровни — с d-yровнями (l = 2) и т. д., что определяет возможные спектральные серии для атомов щелочных металлов