Шпаргалка по "Физике"

Автор: Пользователь скрыл имя, 19 Декабря 2010 в 15:50, шпаргалка

Описание работы

Работа содержит ответы на вопросы по предмету "Физика".

Скачать полностью (212.99 Кб) Сколько стоит заказать работу?
Работа содержит 1 файл

Шпора.doc

— 925.50 Кб (Скачать)
Глава 1. "Электростатика. Электрическое поле в вакууме"
 
 
1. 1. Электрические  заряды. Закон сохранения  электрического заряда
В глубокой древности было известно, что янтарь, потертый о шерсть, притягивает легкие предметы. Это же было обнаружено и  для других тел. Такие тела в конце XVI века по предложению врача Джильберта стали называть наэлектризованными. Сейчас известно, что при трении друг о друга тела приобретают электрические заряды. В природе существует только два типа зарядов: положительные и отрицательные. Положительные заряды возникают на стекле, потертом о кожу. Отрицательные заряды возникают на эбоните, потертом о мех.
В 1910 – 1914 г. Американский физик Р. Милликен показал, что электрический заряд  дискретен, т. е. заряд любого тела составляет целое кратное от элементарного электрического заряда e ( ). Электрон массой имеет именно такой отрицательный заряд. Протон с массой обладает таким же положительным зарядом. Электрон и протон являются носителями элементарных зарядов противоположных знаков. 
Электризоваться могут все тела в природе. При этом в процессе их заряжения происходит разделение зарядов, при котором одно из тел (или часть тела) приобретает избыток положительного заряда, а другое – избыток отрицательного заряда. 
Приобретаемые заряды всегда кратны электрическому заряду: 
 
где
Общее количество зарядов обоих знаков, содержащихся в атомах, не изменяется: эти заряды только перераспределяются между телами. 
Английский физик М. Фарадей в 1843 г. экспериментально установил закон сохранения электрического заряда, который является одним из фундаментальных законов природы. Закон гласит: алгебраическая сумма электрических зарядов любой замкнутой системы (системы, не обменивающейся зарядами с внешними телами) остается неизменной, какие бы процессы ни происходили внутри этой системы. 
В настоящее время известны три способа электризации тел: 
1) электризация при контакте с другими заряженным телом. Происходит передача части заряда от заряженного тела к незаряженному. 
2) электризация соприкосновением (трением), трибоэлектризация. При соприкосновении двух разнородных тел друг с другом (эбонит и шерсть, шерсть и шелк и др.) происходит переход электронов из одного тела (с меньшей работой выхода) в другое (с большей работой выхода) и заряжение этих тел разноименными зарядами (стекло – положительным зарядом, шелк – отрицательным зарядом и т. д.). Такие тела в зависимости от знака и степени электризации при трении образуют трибоэлектрические заряды. 
3) электризация наведением без контакта двух тел (явление электростатической индукции). Происходит перераспределение зарядов внутри тела, находящегося вблизи другого заряженного тела. 
Электрические заряды вещества, которые могут свободно перемещаться в пределах всего тела, называют "свободными зарядами". Например, электроны в металлах, ионы в электролитах. Вещества, имеющие свободные заряды, называют проводниками электричества. Электрические заряды вещества, которые не могут перемещаться внутри тела на макрорастояния, а могут перемещаться только в пределах атома или молекулы, называют "связанными зарядами". Вещества в которых имеются только связанные заряды называются диэлектриками. 
Широкий класс веществ занимает промежуточное состояние между диэлектриками и проводниками, их называют полупроводниками. С понижением температуры полупроводники в большой степени проявляют свойства диэлектриков.
1. 2. Закон Кулона
Закон Ш. Кулона (1785 г.) устанавливает силу взаимодействия F между двумя неподвижными точечными электрическими зарядами. Точечным называется заряд, сосредоточенный  на теле, линейными размерами которого можно пренебречь в условиях конкретной задачи. Понятие точечного заряда, как и материальной точки, является физической абстракцией.
Закон Кулона звучит следующим образом: сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам q1 и q2 и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
       (1.1)
 
где k –  коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц. В системе СИ коэффициент пропорциональности равен:
где – электрическая постоянная, относящаяся к числу фундаментальных физических постоянных и равна: Фарад (Ф) – единица электрической емкости.
Рис. 1.1
Сила F кулоновского взаимодействия является центральной, т. е. направленной по прямой, соединяющей взаимодействующие заряды (см. рис. 1.1).
Одноименные заряды отталкиваются (F>0), разноименные заряды притягиваются (F<0). Очевидно, что  , т. е. силы, действующие на заряды, равны по модулю и противоположно направлены. Таким образом, взаимодействие электрических точечных зарядов удовлетворяет третьему закону Ньютона.
Запишем закон Кулона в векторной форме
       (1.2)
 
где – равно единичному вектору (орту) расстояния r.
Единицей  электрического заряда в системе  СИ является один Кулон. Кулон - производная единица, так как определяется через силу тока - основную единицу в СИ.
Кулон (Кл) - электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А за время 1 с.
Точечные  заряды, находящиеся в одной диэлектрической  среде с диэлектрической проницаемостью , взаимодействуют с силой в раз меньшей по сравнению с силой в вакууме.
1.3. Электростатическое  поле. Характеристики  поля
Неподвижные электрические заряды создают в окружающем пространстве силовое поле, называемое электростатическим. Это поле является объективной реальностью и наряду с веществом представляет одну из форм существования материи. Посредством этого поля осуществляется взаимодействие между макроскопическими телами или частицами, входящими в состав вещества, а также между электрическими зарядами.
Для обнаружения  и исследования электростатического  поля используется положительный пробный  заряд – такой заряд, который  не искажает исследуемое поле (не вызывает перераспределение зарядов, создающих поле).
Пусть поле создается зарядом q. Поместим в некоторую точку, отстоящую  от q на расстоянии r, пробный заряд q0. На q0 подействует со стороны q кулоновская сила F. Эта сила в разных точках будет различной. Однако отношение не зависит от q0 и характеризует электростатическое поле в той точке, где находится пробный заряд. Эта величина называется напряженностью поля и является силовой характеристикой.
Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина, численно равная силе, действующей на единичный  положительный заряд, помещенный в  эту точку поля.
       (1.4)
 
Как следует  из формулы (1.4) и закона Кулона (1.3) напряженность  поля точечного заряда q на расстоянии r от него в вакууме равна
 
или в  скалярной форме
Если  заряд находится в диэлектрической  среде, то напряженность поля согласно (1.4) и (1.3) будет равна:
       (1.5)
 
Из формулы (1.4) следует, что единица напряженности поля в системе СИ – Ньютон на Кулон (Н/Кл): Единица 1H/Кл – это напряженность такого поля, которое на точечный заряд 1 Кл действует с силой в 1 Н. Более часто применяют другую единицу 1 B/м = 1 Н/Кл, где В (вольт) – единица потенциала электростатического поля.
Направление вектора  в данной точке совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд, мысленно помещенный в эту точку (см. рис. 1.2, рис. 1.3). Этим часто приходится пользоваться при решении задач.
      
Рис. 1.2                                    Рис. 1.3
Для графического представления электростатического  поля используют линии напряженности  поля. Эти линии проводят соблюдая следующие правила:
  1. Касательные к линиям напряженности в каждой точке совпадают с направлением вектора .
Рис. 1.4
 
  1. Линиям  напряженности приписывается направление, совпадающее с направлением вектора  Линии напряженности никогда не пересекаются, поскольку в каждой данной точке вектор имеет лишь одно направление. Линии условились проводить с определенной густотой (рис.1.4): число линий напряженности, пронизывающих единичную площадку расположенную, перпендикулярно линиям напряженности, должно быть пропорционально величине вектора . Тогда, где гуще линии , там напряженность поля больше. На рис.1.4 видно, что в области B напряженность поля больше, чем в области A. Такие поля называются неоднородными. Если вектор в любой точке пространства постоянен по величине и по направлению, то поле называется однородным. Для однородного поля линии параллельны самому вектору
.
 
Рис. 1.5
Для точечного  заряда линии напряженности –  радиальные прямые, выходящие из заряда (q>0) рис. 1.5 а), и входящие в него, если заряд отрицателен (q<0) рис. 1.5 б).
Напряженность поля является основной силовой характеристикой  поля. Однако, как следует из формулы (1.5) величина E зависит от диэлектрической  проницаемости среды, в которой  находится заряд, создающий поле. Поэтому, при наличии нескольких диэлектриков, на границе их раздела линии напряженности терпят разрыв, а модуль меняется скачком. Это неудобно для графического представления полей. Поэтому вводят новую, вспомогательную величину, которая также является силовой характеристикой поля – вектор электрического смещения .
Электрическое смещение .
В любой  точке диэлектрической среды  вектор электрического смещения равен произведению диэлектрической проницаемости этой среды, электрической постоянной и напряженности электрического поля в этой же точке.
       (1.6)
 
Для вектора  отсутствует зависимость от , хотя формально в (1.6) она содержится. Покажем это для точечного заряда, находящегося в безграничной диэлектрической среде:
,
       (1.7)
 
Из формулы (1.7) видно, что единицей электрического смещения является кулон деленный на метр в квадрате: 1 Кл./м2;
Рис. 1.6
Легко убедиться, что формула (1.7) справедлива  и для вакуума . Таким образом, линии вектора на границе раздела двух диэлектриков непрерывны (не разрываются), а модуль D одинаков в различных средах (см. рис. 1.6).
На  рис.1.6, а) представлены линии вектора  напряженности  и на рис.1.6, б) представлены линии вектора электрического смещения для точечного заряда, помещенного в центр диэлектрической среды, изготовленной в виде сферы.
Потенциал поля .
Электростатические силы являются консервативными. Следовательно для них справедливо равенство, выражающее связь между консервативной силой F и потенциальной энергией П:
= – grad П 
или для  радиальной зависимости силы проекция силы на направление равна:
       (1.8)
 
Потенциалом электростатического поля в данной точке называется физическая величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда, помещенного в эту точку:
       (1.9)
 
Единицей  потенциала в системе Си является один вольт: 1 В. = 1 Дж. / 1 Кл. Потенциалом  в 1 В называется физическая величина, численно равная потенциальной энергии  в 1 Дж, которой обладает пробный  единичный заряд (q0 = 1 Кл)
 
Поле  точечного заряда q выражается формулой (1.4). Из выражения  , в случае поля точечного заряда (Еr = E), проинтегрировав левую и правую части, получим:
;
Разделим  полученные выражения на q0, получим новую скалярную характеристику – потенциал поля, точечного заряда q на расстоянии r от него.
       (1.10)
 
С учетом уравнений (1.4) и (1.9) выражения (1.8) и (1.8`) принимают  вид:
    = –grad    (1.11)
 
       (1.12)
 
выражения (1.10) и (1.12) отражают связь между напряженностью поля Е и потенциалом того-же поля в дифференциальной форме.
Из  формулы (1.10) следует, что потенциал  поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r от него равен:
Полагая, что в бесконечности ( ) потенциал поля равен нулю. Получим, что и постоянная С равна нулю. С учетом этого для вакуума выражение (1.10) примет вид:
Для безграничной диэлектрической среды с проницаемостью потенциал поля точечного заряда q уменьшается в раз по сравнению с вакуумом.
       (1.12')
 
Из формул (1.10) и (1.12) видно, что потенциал положительного заряда положителен, потенциал отрицательного заряда – отрицателен.
Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля используют эквипотенциальные поверхности  – поверхности, во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значение.
Для поля точечного заряда эквипотенциальные  поверхности – концентрические сферы, в центре которых расположен заряд, создающий поле. Эквипотенциальных поверхностей можно провести бесчисленное множество. Однако, их проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциалями были одинаковыми. Это облегчает графическое изображение полей.
1. 4. Принцип суперпозиции  электростатических  полей
Принцип суперпозиции для  напряженности поля.
Пусть в пространстве расположены несколько  точечных электрических зарядов q1, q2, : qn. Эти заряды создают поле. Внесем в некоторую точку, где есть поле, пробный заряд qo. На него будут действовать силы со стороны каждого заряда q1,q2,...qn. Согласно принципу независимости действия сил, результирующая сила F, действующая на qo, равна геометрической сумме всех кулоновских сил взаимодействия между qo и q1, q2,...qn.
Разделив  левую и правую части на , получим:
или
       (1.13)
 
Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей: напряженность  результирующего поля, создаваемого системой точечных зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.
Принцип суперпозиции позволяет рассчитать электрические поля любой системы неподвижных зарядов. Если заряды не точечные, то их можно всегда свести к совокупности точечных зарядов.
   
Принцип суперпозиции для  электрического смещения.
Принцип суперпозиции для вектора  аналогичен (1.13) и в записи и в формулировке:
       (1.13`)
  
 
Принцип суперпозиции для потенциала поля.
Для потенциала поля принцип суперпозиции наиболее удобен, поскольку  – скалярная величина. При решении задач расчеты значительно упрощаются.
Потенциал результирующего поля в некоторой  точке, равен алгебраической сумме  потенциалов полей, создаваемых  в этой же точке отдельными точечными  зарядами q1,q2:qn.
       (1.14)
 
В формуле (1.14) необходимо учитывать знак потенциала. Потенциал поля отрицательных зарядов, будет отрицательным. Потенциал  поля положителен, если поле создается  положительным зарядом.
1. 5. Поле диполя
Рассмотрим  применение принципа суперпозиции для  расчета электростатического поля системы двух зарядов, называемым электрическим  диполем.
Электрическим диполем называют систему двух точечных равных по модулю разноименных зарядов, находящихся на расстоянии ℓ друг от друга, значительно меньшем расстояния r до исследуемых точек. Диполь характеризуют осью, плечом и электрическим моментом.
Осью  диполя называют линию, проведенную  через центры электрических зарядов (рис. 1.7)
Рис. 1.7
Плечом  диполя называют расстояние между электрическими зарядами. Плечо – векторная характеристика. Ему приписывают направление от отрицательного к положительному заряду.
Электрическим моментом диполя называют произведение величины заряда на плечо диполя.
       (1.15)
 
Единицей  электрического момента в в системе  Си является единица 1 Кл · м, не имеющая  особого названия.
1. Напряженность поля  на продолжение  оси диполя.
Согласно  принципу суперпозиции напряженность  поля диполя в произвольной точке  А на продолжение оси диполя (рис. 1.8) равна:
Рис. 1.8
где и – напряженности полей, создаваемых соответственно положительными и отрицательными зарядами (рис. 1.8).
Точка А находится на расстоянии r до точки  О, т. е. до середины оси диполя, электрический  диполь находится в вакууме, .
В точке  А напряженность поля точечного  заряда +q равна:
Напряженность поля отрицательного заряда в этой же точке А равна:
Векторы и направлены в противоположные стороны, поэтому модуль напряженности результирующего поля равен:

 

Таким образом, напряженность поля в точке  А на оси диполя прямо пропорционально  удвоенному электрическому моменту  диполя и обратно пропорционально  кубу расстояния до центра диполя.
2. Напряженность поля  на перпендикуляре  к оси диполя.
Найдем  напряженность поля в точке которая  находится на расстоянии r от центра диполя (рис.1.9). Аналогично рассмотренному ранее случаю имеем:
 
r`–  расстояние точечных зарядов  до точки С. Используя геометрические  соображения, получим:
Рис. 1.9
При выводе этой формулы использовали следующее  очевидное допущение. Т. к. расстояние между зарядами мало то  есть r >>l, значит r`≈ r. Окончательно получаем:
В этом случае напряженность поля в два  раза меньше, чем в точке А.
1. 6. Поведение диполя во внешнем поле
1. Диполь в однородном  поле.
Рис. 1.10
Рассмотрим  диполь во внешнем поле расположенный  как показано на рис.1.10.
На  заряды диполя в электрическом поле действуют силы: на положительный  заряд –  , на отрицательный – . Эти силы направлены в противоположные стороны. По модулю они равны, т. е.
Эта пара сил, создает вращающий момент:
или в векторном виде можно записать:
Вектор  момента силы направлен перпендикулярно к чертежу и вызывает поворот диполя по часовой стрелке. Диполь в однородном поле поворачивается до тех пор, пока вектор Р станет параллельным вектору Е. Во внешнем поле диполь стремится расположиться вдоль линий Е. Это положение его устойчивого равновесия.
2. Диполь в неоднородном  поле.
(рис.1.11)
 
Пусть диполь находится в неоднородном поле, обладающем симметрией относительно оси Х. Центр диполя лежит на этой оси (рис. 1.11). Электрический момент диполя образует с осью Х угол α,  отличный от π/2. В этом случае силы, действующие на заряды диполя, не одинаковы по величине: . Поэтому, кроме вращательного момента, на диполь будет действовать сила, стремящаяся переместить его в направлении оси Х. Найдем величину силы, вызывающей поступательное перемещение диполя. Для этого используем связь между консервативной силой и потенциальной энергией диполя:
Найдем  потенциальную энергию диполя во внешнем неоднородном поле.
 
Здесь и – значения потенциала внешнего поля в тех точках, где находятся заряды, образующие диполь.
Разность  потенциалов  равна приращению потенциала на отрезке :
 
Подставив значение в выражение для П, получим:
или в  векторной форме имеем:
Отметим, что выражение не учитывает энергию  взаимодействия зарядов, образующих диполь.
На  основании связи между силой и потенциальной энергией получим выражение для силы, вызывающей поступательное движение диполя:
 
При , величина положительна. Это означает, что под действием силы диполь втягивается в область более сильного поля. При диполь выталкивается из поля.
1. 7. Потоки векторов E и D
Рассмотрим  однородное электростатическое поле. Линии вектора  параллельны друг другу. Внесём в поле плоскую поверхность площадью (рис. 1.12 а). Пусть нормаль к поверхности составляет с вектором угол и и проекция вектора на нормаль равна .
Величина  равная
       (1.16)
 
называется  потоком вектора D через поверхность S.
Единицей  потока в системе СИ является Кл.
Поток существенно зависит от угла . При значение , т. е. поток положителен. При значение , т. е. поток отрицателен. Поток – величина алгебраическая. Определение потока можно дать следующее: потоком вектора через произвольную поверхность называется физическая величина численно равная количеству линий пронизывающих эту поверхность при условии, что .
Рассмотрим  теперь неоднородное поле. Пусть поверхность S произвольная (рис. 1.12 б)
а)         б)
Рис. 1.12
На  поверхности  выбираем элементарную плоскую площадку dS, строим к ней нормаль. Полагаем, что в пределах dS поле однородно. Тогда к dS применимо всё изложенное ранее.
Поток через площадку dS равен:
 
 
Полный  поток через всю поверхность S будет:
       (1.17)
 
где – скалярное произведение двух векторов. Вектор направлен по нормали к поверхности S.
Если  поверхность S замкнута, то обычный  интеграл в 1.17 превращается в интеграл по замкнутой поверхности:
       (1.17')
 
Представление о потоке вектора  вводится аналогично изложенному выше для потока вектора . При замене вектора на вектор в формуле (1.16) и (1.17) получаем выражение для потока в случаях однородного и неоднородного полей.
Единицей  потока вектора напряженности электростатического  поля является вольт умноженный на метр.
.
1. 8. Теорема Гаусса  в интегральной  форме
Рассмотрим  поток линий вектора электрического смещения сквозь сферическую поверхность произвольного радиуса r, создаваемый точечным положительным зарядом q находящимся в центре этой сферы (рис. 1.13).
Рис. 1.13
Линии вектора  в каждой точке сферической поверхности пересекают её вдоль радиуса или нормали к поверхности, поэтому кроме того, во всех точках сферической поверхности значения вектора одинаковые и согласно формуле (1.5) равны . Полный поток линий вектора через сферическую поверхность оказывается равным:
В итоге  мы получили, что поток линий вектора  электрического смещения сквозь сферическую  поверхность произвольного радиуса, создаваемый зарядом q помещенным в  центр сферы, равен этому заряду.
Следует отметить, что поток не зависит от радиуса сферы и одинаков сквозь поверхности и различных радиусов (см. рис. 1.13), т. е. в зазоре между поверхностями и , где нет зарядов, линии вектора непрерывны. Если заряд q будет находится внутри поверхности произвольной формы (поверхность на рис. 1.13), то число линий , пронизывающих её, не изменится, т. е. поток останется прежним и равным заряду q. Если замкнутая поверхность не охватывает заряда (поверхность на рис. 1.13), то поток сквозь неё равен нулю, так как число линий входящих в поверхность, равно числу линий , выходящих из неё.
Рассмотрим  общий случай произвольной поверхности, окружающей электрических зарядов:q1,q2,:,qi,:qn. Для каждого из зарядов справедливо соотношение:
где – вектор электрического смещения, создаваемый –м зарядом. Суммируем левую и правую часть этого выражения по всем зарядам, получаем:
или
;
но  ; окончательно имеем
       (1.18)
 
Полученное  выражение называется теоремой Гаусса для электростатического поля. Такая  запись называется интегральной, поскольку величины, стоящие в (1.18) слева и справа относятся к разным точкам пространства: поток вычисляется сквозь поверхность , а заряды находятся внутри .
Сумму зарядов в (1.18) нужно находить с учётом их знака, т. е. вычисляется алгебраическая сумма зарядов.
В общем  случае электрические заряды могут быть распределены непрерывно с некоторой объёмной плотностью , различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключённый внутри замкнутой поверхности , охватывающей некоторый объём V, будет равен:
С учётом непрерывного распределения заряда внутри поверхности теорему Гаусса можно записать:
       (1.19)
 
Если электрические  заряды распределены в вакууме ( ) и учитывая связь между векторами и (формула 1.4) теорема Гаусса для потока вектора напряженности электростатического поля запишется следующим образом:
       (1.20)
  
1. 9. Применение теоремы  Гаусса для расчета  электростатических  полей
1. Поле равномерно  заряженной бесконечной  плоскости.
В случае рассмотрения заряженной поверхности вводится понятие поверхностной плотности заряда: , т. е. заряда приходящегося на единицу поверхности. Рассмотрим плоскость (пластину), заряженную с постоянной поверхностной плотностью . Пусть пластина находится в вакууме, т. е. . Линии электрического смещения поля плоскости перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от неё в обе стороны (рис. 1.14).
Рис. 1.14
В качестве замкнутой поверхности выберем  цилиндр, основания которого параллельны  заряженной плоскости, а ось перпендикулярна  ей. Поскольку образующие цилиндра параллельны линиям вектора поля, то поток вектора электрической индукции сквозь боковую поверхность равен нулю. Полный поток сквозь поверхность цилиндра равен сумме двух потоков сквозь его основание:
где –- значение электрической индукции поля плоскости на расстоянии от неё.
Заряд, заключённый внутри цилиндра, равен  . Согласно Теореме Гаусса, имеем:
,
       (1.21)
 
или
       (1.21')
 
Из формул (1.21) и (1.21`) вытекает, что напряженность поля и его электрическое смещение не зависят от расстояния от плоскости, поле однородно (рис. 1.15).
Рис. 1.15
 
2.  Поле двух бесконечных параллельных разноимённо заряженных плоскостей.
Пусть плоскости находятся на расстоянии друг от друга и равномернозаряженные разноимёнными зарядами с поверхностными плотностями и . По принципу суперпозиции полей результирующее значение поля в областях , и будет равно:
В области 
между пластинами векторы
и
имеют одно направление и
Поле  между плоскостями во всех точках одинаково и по величине и по направлению, т. е. является однородным. В областях и слева и справа от плоскостей векторы направлены навстречу друг другу, поэтому в области и в области (смотрите рис 1.16)

Рис. 1.16
3. Поле равномерно  заряженной сферической  поверхности.
Сферическая поверхность радиуса  заряжена равномерно с поверхностной плотностью заряда . Общий заряд на сфере равен . Электрическое поле, создаваемое им , будет сферически симметричным. Линии вектора направлены радиально, начинаются на зарядах на поверхности сферы и уходят в бесконечность.
Найдём  в точках и внутри и вне заряженной поверхности (см. рис. 1.17). Построим мысленно замкнутую сферическую поверхность радиусом так, чтобы точка оказалась на поверхности . Поверхность имеет общий центр с заряженной сферой. Внутрь поверхности электрические заряды не попадают, значит поток вектора сквозь эту поверхность равен нулю. Поэтому в любой точке внутри заряженной поверхности вектор равен нулю. т. е. электростатическое поле внутри равномерно заряженной сферы отсутствует.
Рис. 1.17
 
Вне заряженной поверхности ( ) ситуация будет иной. Рассмотрим поле в точке вне сферы. Построим мысленно сферическую поверхность так, чтобы и точка оказалась на поверхности .
Поток вектора  сквозь сферическую поверхность вычисляется с учётом центральной симметрии электростатического поля, радиального направления вектора ( ) и одинакового значения во всех точках поверхности .
Согласно (1.17)
       (1.22)
  
       (1.22')
 
Таким образом, вне поверхности поле убывает  с расстоянием  по такому же закону, как у точечного заряда (рис. 1.18).
Рис.1.18
4. Поле объёмно-заряженного  шара.
Шар радиуса  заряжен равномерно по объёму с объёмной плотностью ( – заряд, приходящийся на единицу объёма). Весь заряд шара . Диэлектрическая проницаемость шара равна . Шар находится в вакууме, для которого проницаемость равна единице. Электрическое поле такого шара будет сферически симметричным (рис. 1.19).
Рис. 1.19
Линии вектора направлены радиально, начинаются на зарядах равномерно распределённых по всему объёму шара и уходят в бесконечность. Расчетаем поле внутри шара в произвольной точке , отстоящей на расстоянии от центра.
Построим  мысленно замкнутую сферическую  поверхность радиуса  так, чтобы точка оказалась на поверхности . В силу того, что поле радиально ( ) и заряды по объёму шара распределены равномерно ( ), значения во всех точках поверхности будут одинаковы и поток вектора сквозь эту поверхность может быть посчитан:
 
Согласно  теореме Гаусса (1.19) этот поток  равен сумме зарядов, заключённых внутри поверхности .
откуда 
    ,    (1.23)
 
а напряженность  поля
    ,    (1.23')
 
Для точек  вне шара ( , точка ) вычисление поля и аналогично вычислению поля для заряженной сферы, (1.22) и (1.22`)
,
,
Таким образом, электростатическое поле для  точек вне шара убывает обратно  пропорционально квадрату расстояния от центра шара, т. е. как у точечного  заряда. При этом на поверхности  шара (на границе раздела двух диэлектрических  сред) напряженность поля претерпевает изменения скачком. Так, при приближении точки к поверхности шара ( ) согласно (1.23`) имеем
При приближении  точки  к поверхности шара ( ) согласно (1.22`) получим:
Очевидно, что по модулю . Если окружающая шар среда – вакуум, то (рис.1.20, а). Для электрического смещения будем иметь равенство ,т. е. смещение не претерпевает скачкообразного изменения (рис.1.20, б).
  
                а)    б)
 
Рис. 1.20
 
5. Поле равномерно  заряженной нити (цилиндра).
Бесконечно  тонкая нить заряжена равномерно с  линейной плотностью ( –- заряд, приходящийся на единицу длины). Электростатическое поле такой заряженной нити является радиально симметричным, т. е. линии напряженности поля будут радиальными прямыми, перпендикулярными оси нити (рис. 1.21).
Рис. 1.21
Для вычисления поля на расстоянии от нити вновь реализуем теорему Гаусса. В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр радиуса и длиной . Заряженная нить расположена по оси цилиндра.
Поток вектора  сквозь два основания (торцы) цилиндра равен нулю, так как линии параллельны основаниям и перпендикулярны нормалям к ним. Поток сквозь боковую поверхность цилиндра равен . По теореме Гаусса имеем:
;
Искомое значение электрического смещения на расстоянии от оси нити будет:
       (1.24)
 
А напряженность  электрического поля равна:
       (1.24')
 
Формулы (1.24) и (1.24`) оказываются справедливыми  для поля бесконечного цилиндра радиуса , заряженного равномерно с линейной плотностью , при условии . Внутри равномерно заряженного цилиндра электрическое поле согласно теореме Гаусса отсутствует.
1. 10. Теорема Гаусса  в дифференциальной  форме
В случае неравномерного распределения электрического заряда и несимметричной конфигурации заряженных тел применение теоремы  Гаусса в интегральной форме для  расчёта вектора напряженности (или ) поля затруднительно. В этих случаях легко решаются задачи на вычисление полей с помощью теоремы Гаусса в дифференциальной форме.
Введём  прямоугольную систему координат  , , и обозначим электрическое смещение в какой-либо точке через .
Построим  в окрестности точки  элементарный объём в виде параллелепипеда со сторонами , , (рис 1.22).
Рис. 1.22
Вычислим  поток вектора смещения через  его поверхность. Объём параллелепипеда  равен  . Поток через грань , проходящую через точку равен , где знак минус показывает, что внешняя нормаль к ( ) направлена против оси . Поток через параллельную ей грань, смещённую вдоль оси на равен . Поток вдоль оси через обе грани равен
Вычисляя  аналогичным образом, потоки через  две другие пары граней и складывая  их, получим полный поток через  всю поверхность параллелепипеда:
Если  в рассматриваемом пространстве имеется распределённый в объёме заряд с объёмной плотностью , то внутри параллелепипеда находится заряд . Применяя теорему Гаусса (1.19) к рассматриваемому параллелепипеду, получим:
       (1.25)
 
Выражение, стоящее слева в формуле 1.25, как  известно из математики, называется дивергенцией (расхождением) вектора . Дивергенция является скаляром и равна:
;
С учётом изложенного выражение (1.25) перепишем  в следующем виде:
       (1.26)
 
Это и есть теорема Гаусса в дифференциальной форме: дивергенция вектора электрического смещения в данной точке пространства численно равна объёмной плотности заряда в этой точке.
Из (1.26) очевидно, что, если , то и . При этом линии вектора выходят из точки (исток, исхождение линий). При отрицательном заряде ( ) и . При этом линии вектора сходятся к точке (сток, вхождение). Таким образом, теорема Гаусса показывает, что источниками электростатического поля являются электрические заряды.
1.11. Работа сил электростатического  поля. Потенциал поля
Вычислим работу сил поля по перемещению точечного заряда q0 вдоль произвольной траектории из точки 1 в точку 2 (рис.1.23) в поле другого точечного заряда q. Оба заряда положительные.
 
Рис. 1.23.
Работа  по перемещению заряда на элементарном пути равна:
где – приращение радиуса-вектора. Полная работа на участке пути между точками 1 и 2 равна:
Воспользуемся связью между F и напряженностью поля E, (формула 1.4), и преобразуем выражение для полной работы к виду
       (1.27)
 
В формулу (1.27) введем кулоновскую силу взаимодействия двух зарядов (1.1), получим:
Откуда  имеем:
       (1.28)
 
Или согласно (1.10), получим
       (1.29)
 
т. е. работа по перемещению заряда ( ) равна произведению величины этого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках перемещения.
Из  выражения (1.28) следует, что работа сил  поля не зависит от формы траектории перемещаемого заряда, а зависит  только от начального и конечного  взаимного расположения зарядов и . Таким образом, электростатические силы являются консервативными, а электростатическое поле потенциальным.
Дадим определение (новое) потенциала на основании  формулы (1.29). Рассмотрим перемещение  положительного заряда q0 из данной точки с потенциалом j 1 = j в бесконечно удаленную точку, в которой j 2 = j ∞= 0. При этом совершится работа А∞, на основании (1.29) равная:
А∞ =q0j ,
       (1.30)
 
Откуда следует: потенциал поля в данной точке равен работе по перемещению силами этого поля единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.
Единицей  потенциала, как следует из (1.30) является Вольт:
1. 12. Теорема о циркуляции  вектора напряженности  электростатического  поля. Потенциальный  характер электростатического  поля
Рассмотрим  перемещение заряда q0 в электростатическом поле, созданном зарядом q вдоль замкнутой траектории. Работа сил поля по перемещению заряда q0 согласно (1.28) и (1.29) равна нулю, поскольку j1 = j2 и r1 = r2, то выражение (1.27) принимает вид:
Поскольку , имеем:
       (1.31)
 
Интеграл  такого вида, вычисленный по замкнутой  траектории, называется циркуляцией  вектора напряженности электростатического  поля. Теорема о циркуляции вектора  Е: циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутой траектории (контура) произвольной формы равна нулю. Эта теорема является следствием потенциального характера электростатического поля. Если (1.31) не выполняется, то поле называется не потенциальным, а вихревым.
1.13. Вычисление разности  потенциалов по  напряженности поля
Сопоставляя выражения (1.27) и (1.29), получаем уравнение, выражающее связь между разностью  потенциалов и напряженностью поля в интегральной форме:
       (1.32)
 
Формула (1.32) позволяет по известной напряженности  вычислить разность потенциалов.
Рассмотрим  несколько примеров:
1. Поле бесконечной  равномерно заряженной нити с линейной плотностью заряда τ.
Напряженность поля на расстоянии r от оси равна (см. ф-лу (1.24′)):
Вычислим разность потенциалов между зарядами расположенными на расстоянии r1 и r2 от нити. Поскольку поле нити радиально симметрично, то удобно вычислять ∆φ в радиальном направлении.
 
   (1.33)
 
2. Поле равномерно  заряженной бесконечной  плоскости.
Напряженность поля вычисляется по формуле (1.21′):
Разность  потенциалов между точками 1 и 2, лежащих  на расстоянии и от плоскости, равна
       (1.34)
 
3. Поле двух бесконечных равномерно заряженных плоскостей с поверхностной плотностью заряда σ.
Напряженность поля между пластинами равна  .
Разность потенциалов между плоскостями, расстояние между которыми равно d, будет:
       (1.35)
 
4. Поле равномерно  заряженной сферической  поверхности радиуса R и общим зарядом q.
Для точек  вне сферы (r>R) напряженность поля выражается формулой (1.22′)
Разность  потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от центра сферы (r1>R,r2<R) равна:
       (1.36)
 
Если принять r1=R и r2=¥ , то потенциал заряженной сферической поверхности
       (1.37)
 
5. Поле равномерно заряженного шара радиуса R и общим зарядом q.
Вне шара (r>R) напряженность поля выражается формулой (1.22´) и равна
Разность  потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r1 и r2 от центра шара (r1>R,r2>R) определяется формулой (1.33).
В любой  точке внутри шара на расстоянии r´  от центра напряженность поля определяется выражением (1.23´)
Следовательно, разность потенциалов между двумя  точками, лежащими на расстояниях r´1 и r´2 от центра шара (r´1<R, r´2<R), равна:
       (1.38)
 
1.14. Связь между напряженностью  поля и потенциалом  в дифференциальной  форме. Градиент  потенциала
Рассматривая  основные характеристики электростатического  поля, нами были получены выражения, связывающие  между собой напряженность Е электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом φ, являющейся энергетической характеристикой поля. Аналогичные выражения могут быть получены и из рассмотрения работы поля при перемещении точечного положительного заряда q0 на элементарное расстояние вдоль произвольной траектории (рис.1.23):
   dA = q0El dl    (1.39)
 
где El = Еcosa – проекция вектора напряженности на выбранное направление. В то же время работа, совершаемая консервативными силами поля, равна убыли потенциальной энергии:
   dA = – q0 dj = –dП    (1.40)
 
где dj – разность потенциалов между точками расположенными на расстоянии dl .
Приравнивая (1.39) и (1.40) получим:
       (1.41)
 
что аналогично выражению (1.12).
Таким образом, проекция вектора напряженности  поля на произвольное направление l равна взятой с обратным знаком производной от потенциала по этому направлению в исследуемой точке.
Если  напряженность поля является функцией от x, y, z – координат, т. е. Е = f(x,y,z), то можно выбрать в качестве направлений  перемещения три координаты оси. Тогда на основании (1.41) для трех проекций вектора напряженности имеем:
С учетом того, что  можно записать следующее равенство:
       (1.42)
 
Или:
       (1.43)
 
т. е. напряженность  поля в данной точке равна взятому  с обратным знаком градиенту потенциала в этой же точке. Формулы (1.42) и (1.42`) представляют собой дифференциальную форму связи между Е и .
Градиент  потенциала является вектором и равен:
Градиент  потенциала показывает быстроту изменения  потенциала и направлен в сторону  увеличения потенциала. С учетом этого, как следует из (1.41), вектор напряженности поля всегда направлен в сторону уменьшения потенциала.
Вектор  напряженности поля в любой точке  всегда направлен перпендикулярно  к эквипотенциальным линиям. Докажем  это.
Пусть точечный заряд q0 перемещается вдоль эквипотенциали (т. е. = const) на элементарное расстояние .
Тогда
и
Поскольку , следует считать

Информация о работе Шпаргалка по "Физике"