Шпаргалка по "Физике"

1. Теорема о движении центра масс механической системы.

Рассмотрим движущуюся систему мат. точек М₁, М₂, М_i, M_n, находящихся под действием внешних и внутренних сил (рис). Положение центра масс системы С определяется равенством

r_c = ∑m_ir_i/m. Уравнения движения точек этой системы имеют вид

m_i d²r_i/dt² = P_i^E + P_i^J ; (i = 1, 2, …, n), суммируем эти уравнения:

∑m_i d²r_i/dt² =∑ P_i^E + ∑ P_i^J (а). Преобразуем левую часть равенства, учитывая (r_c = ∑m_ir_i/m) получаем: ∑m_i d²r_i/dt² = d²/dt² * ∑m_i r_i = d²/dt² * (mr_c) = md²r_c/dt². Геометрическая сумма внутренних сил равна 0. Уравнение (а) приобретает вид: md²r_c/dt² = ∑P_i^E = R^E  или

ma_C = ∑ P_i^E = R^E   (в). т.е. произведение массы системы на ускорение её центра масс = геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил или главному вектору этих сил. Уравнение (в) выражает теорему о движении центра масс системы, которая формулируется следующим образом: Центр масс мех. сис. движется как мат. точ. массой, равной массе всей системы, к которой приложены все внешние силы действующие на систему.

Проецируя на оси  x, y, z – mx_C = ∑ X_i^E = X^E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Теорема о моментах  инерции твёрдого  тела относительно  параллельных осей.

Момент  инерции твердого тела относительно некоторой  оси равен моменту  инерции тела относительно параллельной оси проходящей через его центр масс, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями. Допустим, что задана ось Oz₁. Для доказательства теоремы проведём через центр масс тела С три взаимно перпендикулярные оси, из которых ось Сz параллельна заданной оси Oz₁, а ось Су лежит в плоскости параллельных осей Сz и Oz₁ (рис а, в). Обозначим d – расстояние между осями Cz и Oz₁. для вычисления моментов инерции тела относительно осей Cz и Oz₁ опустим из каждой точки M_i рассматриваемого тела перпендикуляры r_i и h_i  на оси Cz и Oz₁. Выразим длины этих перпендикуляров через координаты этих точек:

r_i² = x_i² + y_i², h_i² = x_i² + (y_i – d)² = x_i² + y_i² + d² – 2y_id = r_i² + d² – 2y_id. (a)

Определим моменты  инерции тела относительно осей Cz и Oz₁:

J_Cz = ∑ m_ir_i², J_z1 = ∑ m_ih_i².

Применив зависимость (а): J_z1 = ∑ m_ir_i² + ∑ m_id² – 2∑m_iy_id. (в)

Здесь ∑ m_i = m. – масса тела. Из формулы y_c = ∑ m_iy_i/m, получим:

∑ m_iy_i = my_c, так как y_c = 0, то ∑m_iy_i = 0. Подставляя это значение в равенство (в), получаем зависимость, установленную теоремой:

J_z1 = J_cz + md² . (г). Формула (г) показывает, что из совокупности паралельных осей ось, проходящая через центр масс тела, характеризуется наименьшим моментом инерции. Полярный момент тв. тела относительно центра масс: J_c = ½ * (J_cx + J_cy + J_cz). Отсюда следут, что ценр масс тела явл. полюсом, относительно которго полярный момент инерции тела имеет наименьшее возможное значение.

Воспользуемся формулой (г) для установления зависимости между  радиусами инерции  твёрдого тела i_cz и i_z1 относительно осей Cz и Oz_1.

J_z1 = mi_z1², J_cz = mi_cz², тогда mi_z1² = m_cz² + md², откуда i_z1² = i_cz² + d². 
 
 
 

3. Теорема  об  изменении количества  движения механической  системы.

Изменение количества движения мех. сис. за некотрый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил приложенных к системе за тотже промежуток времени.

K = ∑ m_кυ_к; K = ∑ m_кdr_к/dt = d/dt * ∑m_кr_к = d/dt * mr_c = mdr_c/dt = mυ_c => K = mυ_c. Найдём призводную: dK/dt = d(mυ_c)/dt = mdυ_c/dt = ma_c

Но из теоремы  о движении ценра масс мех. сис. ma_c = R^E = ∑ P_к^E; dK/dt = ∑ P_к^E. Проинтегрируем это выражение: ∫_к1^к2 dK = ∫_t1^t2∑P_к^Edt;

k₂-k₁=∑S_к^E – ч.т.д. 
 
 
 

6. Теорема о работе  силы.

Работа  постоянной по модулю и направлению силы на результирующем перемещении  равна алгебраической сумме работ этой силы на составляющих перемещениях.

Предположим, что  точка приложения постоянной по модулю и напрвлению силы Р получает совокупность последовательных перемещений u₁, u₂, …, u_n (рис выполнен для n = 3). Результирующее перемещение точки М: u = u₁ + u₂ +…+u_n. Работа силы Р на этом перемещении определяется по формуле: A = Pu = P(u₁ + u₂ +…+u_n). полученная сумма представляет собой сумму работ силы на составляющих перемещениях. Т.о., A = A₁ + A₂+…+ A_n.

На основании  этой теоремы при вычислении работы постоянной силы на криволинейном перемещении криволинейное перемещение можно заменить прямолинейным. При u = 0, т.е. в случае замкнутого контура, работа постоянной силы = 0.

            u₂           M₂

  M₁

                             u₃

 u₁             P                  

                                M₃

              u 
 
 

8. Теорема об изменении  кинетической энергии  механической системы.

Установим зависимость  между изменением кинет. энергии  мех. сис. и работой приложенных  к её точкам сил. Для этого разделим силы .действующие на точки М_1, М_2, М₃, …, М_n, на внешние силы P₁^E_, Р₂^Е, …, Р_i^E, …, Р_n^Е и внутрение силы P₁^J, P₂^J, P_i^J, …, P_n^J. Применим к движению каждой точки М_i теорему об изменении кинетической энергии. Предположим, что при перемещении механической системы из первого положения во второе каждая точка М_i перемещается из М_i(1) в M_i(2), причём скорость её изменяется от υ_i(1)  до v_i(2) (рис.).

Тогда по уравнению  mυ₂²/2 – mυ₁²/2 = ∑ A_i для каждой материальной точки

(m_iυ_i² ₍₂₎ / 2) – (m_iυ_i² ₍₂₎ / 2) = A_i^E + A_i^J _, (i = 1, 2, …, n),

где A_i^E  - работа силы Р_i^E и A_i^J  - работа силы P_i^J на перемещении М_i(1) M_i(2).  Просумируем левые и правые части составленных n равенства:  (∑(m_i^υ2_i / 2))₂ – (∑(m_iυ_i² / 2))₁ = ∑A_i^E + ∑A_i^J.

Согласно T = ∑T_i, (∑(m_iυ_i² / 2)) = T₁ – кинетическая энергия системы в первом её положении; (∑(m_iυ_i² / 2))₂ = T₂ – кинетическая энергия системы во втором положении. Таким образом,

T₂ - T₁ = ∑A_i^E + ∑A_i^J. (a)

Уравнение (a) выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы: изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутрених сил, действующих на материальные точки системы на этом перемещение.

Cумма работ внутрених сил твёрдого тела на любом перемещении равна нулю, т.е. ∑A_i^J = 0.

Для твёрдого тела уравнение (a) принимает вид

T₂ - T₁ = ∑A_i^E,                                                                                             

т.е. изменение  кинетической энергии твёрдого тела на некотором перемещении равно сумме работ внешних сил, действующих на тело на этом перемещении.

 

                                              υ_i(2)

 

                        M_i(2)

                   Mi

        υ_i(1)                                                     P_i^J 

                                  P_i^E 

   M_i(1)

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

9. Определение динамических  реакции при вращении  тв. тела вокруг  неподвижной оси.

Рассмотрим тв. тело под действием приложенных  к нему внешних сил Р₁^Е, Р₂^Е,…, Р_n^E. Предположим, что в рассматриваемый момент тело имеет угловую скорость ω и угловое ускорение ε. Чтобы воспользоваться принципом Даламбера, приложим к каждой точке тела М_к силу инерции Ф_к. При неравномерном вращении эта сила состоит из Ф_к^ω – вращ. и Ф_к^ε – центроб. состояния силы инерции. Применим принцип освобождения от связей, заменим действие на тело подпятника А и подшипника В реакции. На основании принципа Даламбера все силы должны удовлетворять уравнению:

P^E + R_A + R_B + Ф^A = 0,

M_A^E + M_A^RA + M_A^RB + M_A^ФA = 0

Или спроецируем  на оси координат: получим новую  систему линейных уравнений:

∑ x_к^E + x_A + x_B + ∑ P_кx = 0

∑ y_к^E + y_A + y_B + ∑ Ф_кy = 0

∑ z_к^E + z_A = 0

∑ M_кx^E – y_Bh + ∑ M^Ф_кx = 0

∑ M_кy^E + x_Bh + ∑ M^Ф_кy = 0

∑ M_кz^E + ∑ M_к^Ф = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

10. Вывод общего уравнения динамики.

Если система  получит возможное помещение  при котором каждая точка имеет  возможное перемещение δS_к, то сумма работ этих сил на перемещении δS_к должна быть равна 0.

Pk δS_к cos(Pk, δS_к) + Rk δS_к cos(Rk, δS_к) + Фк δS_к cos(Фк, δS_к) = 0,

(k = 1, 2, …, n). Просуммируем все n уравнения:

∑ Pk δS_к cos(Pk, δS_к) + ∑ Rk δS_к cos(Rk, δS_к) + ∑ Фк δS_к cos(Фк, δS_к) = 0

Положим, что  связи в рассматриваемой мех. сис. двухстороннеидеальные тогда  ∑ работ рекции связи = 0, тогда

∑ Pk δS_к cos(Pk, δS_к) + ∑ Фк δS_к cos(Фк, δS_к) =0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

11. Вывод уравнения  Лагранжа 2 рода.

Общее уравнение  динамики сис. мат. точек в обобщённых координатах имеет вид: δq₁ (δ/ δt *( δT/ δq₁) – δT/ δq₁  -Q₁) + δq₂(δ/ δt  - δT/ δq₂ – δT/ δq₂ – Q₂) + … + δq_S(δ/ δt  - δT/ δq_S – δT/ δq_S - Q_S) = 0

Где  q₁, q₂,…, q_S – обобщённые координаты, q₁, q₂,…, q_S -  обобщённые скорости, δq_1, δq₂,…, δq_S - обобщённые возможные перемещения системы явл. вариациями соотвств. обобщ. координат,

Q₁, Q₂,…, Q_S - обобщ. силы системы,  Т – кин. энергия системы. Т.к. δq_1, δq₂,…, δq_S в случае системы, подчиненной голомным связями, явл. независимыми обобщ. возможн. перемещ., то общ. ур–е динамики удовлетворяет лишь при условии, что коэф., стоящие при возможных перемещениях = 0, т.е.

δ/ δt *( δT/ δq₁) – δT/ δq₁ = Q₁ } – уравнение Лагранжа 2 рода.