Расчетное задание по физике. Электростатика

Типовой расчет №2

Задача 1

     Токи  I₁, I₂, I₃ текут по тонким проводникам. Найти индукцию магнитного поля в точке О, если I₁ = kI, I₂ = mI, I₃ = nI, R – радиус петли. Направление считать положительным при указанных на рисунке направлениях токов.

Дано:

k = 120;

m = -120;

n = 240;

I = 250×10^-3 A

R = 25×10^-2 м

m₀ = 4p×10^-7 Гн/м

B - ?

     Решение

     Система: 3 проводника с токами и сопутствующие им магнитные поля.

     Каждый  проводник создает магнитное  поле в рассматриваемой точке  О, тогда по принципу суперпозиции искомая индукция есть результирующая индукция в точке О.

     Индукцию, создаваемую элементом тока можно найти с помощью закона Био-Савара-Лапласа:

       (1)

     Из (1) видно, что если векторное произведение равно нулю, то и индукция равна нулю.

     Тогда горизонтальные составляющие проводников  не влияют на индукцию в точке О, так как векторы dl и r для них сонаправлены.

     Таким образом, в точке О магнитные  поля создают три элемента: петля  и два бесконечных проводника.

     Найдем  индукцию магнитного поля, создаваемого петлей.

     Введем  в рассмотрение элемент тока , причем dl<<r, тогда по закону (1) найдем индукцию магнитного поля, создаваемую элементом тока.

     

       По принципу суперпозиции , где B₃ – индукция магнитного поля, создаваемая петлей с током I₃, в точке О.

     Направление индукции определяем по векторному произведению, и получаем что индукция направлена от нас.

     Учитывая, что угол между векторами dl и r равен 90⁰ и r = R, найдем модуль индукции:

      (2)

     Найдем  индукцию магнитного поля для бесконечных  проводников.

     Аналогично  предыдущему рассмотрению находим, что направление индукции B, создаваемой током I₁ к нам, для тока I₂ от нас, согласно рисунку 1.

     Модули  индукции можно получить, проведя  аналогичные рассуждения над  элементом тока, или использую  условие, что эти элементы есть бесконечные  проводники. И в том и в другом случае получим, что

       (3)   (4) 

     Используя принцип суперпозиции, найдем искомую  величину.

      .

     Спроецируем на выбранную ось Ох:

     ox: B_x = -B₁+B₂+B₃

     Подставим выражения (2)-(4) и преобразуем

        (проекция на ось ох) 

     В результате:

      - индукция магнитного поля, создаваемого  рассматриваемой системой, в точке  О. 

Проверка  размерности:

     

Анализ  формулы

1. I = 0 Þ B = 0 так как токи создают магнитное поле
2. Так как искомая индукция является результирующей, то коэффициенты токов n, m, k естественно влияют на результат. При k = m, получим формулу индукции для центра петли. При np+m-k = 0 получаем ситуацию, когда индукция в точке О равна нулю, хотя токи ненулевые.

Численное значение

 

       

Ответ: индукция магнитного поля в точке О равна , B = 51 мкТл 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Задача 2

      Прямолинейный медный проводник длиной L, согнутый пополам под прямым углом, находится в однородном магнитном поле с индукцией B. Плоскость, в которой лежит проводник, перпендикулярна к вектору B. Проводник вращается вокруг оси, параллельной вектору B, со скоростью n. Ось вращения отстоит на расстоянии a от вершины прямого угла и проходит через точку О₁. Определить разность потенциалов между концами проводника, возникающую при его вращении.  

Дано:

n = 240 об/с;  Рис. 1

B = 0.40 Тл;

L = 0.40×10^-2 м ;

a = 3.7×10^-2 м

U - ?

     Решение

     Система: медный проводник, элементы, обеспечивающие вращение вокруг точки О₁. (Материал проводника – медь, не изменяет характеристики среды.)

     Среда: однородное магнитное поле с индукцией B.

     При вращении проводника на заряды, движущиеся вместе с ним в магнитном поле, будет действовать сила Лоренца. Следовательно, произойдет разделение зарядов в результате чего, на концах проводника будет разность потенциалов.

     Разобьем  систему на две подсистемы: горизонтальную и вертикальную половинки (согласно рис. 1) проводника. Обозначим потенциалы точек A - j₁ ,B - j₀, C - j₂.

     По  закону Ома, с учетом, что цепь не замкнута (ток – нуль), получим, что

      Þ  , e₁ и e₂ – ЭДС индукции, в подсистемах BA, BC

     Найдем  ЭДС индукции e₁ и e₂.

     Используем  следующие формулы

        

     Рассмотрим  подсистему BA.

     При вращении описывает кольцо с внутренним радиусом a и внешним радиусом

     Рассмотрим  малый промежуток времени dt, за который проводник BA повернулся на угол a. Найдем зависимость ds от da

     Площадке  ds соответствует угол  da, а углу 2p соответствует площадь описываемого проводником BA кольца. Тогда

     

     Найдем  по формулам (1)-(3) и (4) ЭДС индукции:

     

     Аналогичным образом рассмотрим и другую подсистему. 
 

     Рассмотрим  подсистему BC.

     При вращении описывает кольцо с внутренним радиусом a и внешним радиусом , который легко находится из DBCO₁.

     Рассмотрим  малый промежуток времени dt, за который проводник BC повернулся на угол a. Найдем зависимость ds от da

     Площадке  ds соответствует угол  da, а углу 2p соответствует площадь описываемого проводником BC кольца. Тогда

     

     Найдем  по формулам (1)-(3) и (6) ЭДС индукции:

     

     Подставим в формулу (*) полученные данные (5) и(7): 

     

     Тогда - разность потенциалов на концах проводника, вращающегося в однородном магнитном поле.

Проверка  размерности:

     

Анализ  формулы

1. a = 0 Þ U = 0 так как ЭДС в обоих половинках проводника будут равны по модулю.
2. n=0 Þ U=0 так как нет вращения, вследствие которого происходит разделение зарядов
3. B=0 Þ U=0 так как нет внешней среды, которая оказывала бы воздействие на систему
4. L=0 Þ U=0 нет проводника, то есть нет системы, значит нет и её характеристик

Численное значение

 

       

Ответ: разность потенциалов между концами проводника равна , U = 45 мВ