Применение преобразований Лапласа к исследованию колебательных систем с двумя степенями свободы

 
 
 
 
 
 
 

ПРИМЕНЕНИЕ  ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА  К ИССЛЕДОВАНИЮ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ  СИСТЕМ С ДВУМЯ  СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Курсовая  работа 
 
 
 
 
 

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение  .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   2

1. Преобразование Лапласа   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   3

     1.1 Вводные замечания  .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   3

     1.2 Основные свойства преобразования Лапласа    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   5

2. Постановка задачи   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   8

3. Решение задачи    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   9

Список использованной литературы . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . 10

Приложение     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .  11        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

Для многих динамических систем, содержащих силы сопротивления, под установившимся движением понимается движение, не зависящее от начальных условий  и определяемое только действующими на систему силами. Простейшим примером установившегося движения являются вынужденные колебания, возникающие в линейной механической системе.

Это движение устанавливается не сразу, а через  некоторый промежуток времени после начала движения. Процесс прихода системы к установившемуся движению называется переходным процессом. Обычно переходный процесс является затухающим колебательным или затухающим апериодическим.

В машинах  переходный процесс возникает при  пуске и остановке, при переходе с одного режима работы на другой, а  также при сбросе или увеличении полезной нагрузки.

Во многих случаях при исследовании переходных процессов в динамических системах удобно пользоваться не классическим методом интегрирования дифференциальных уравнений движения, а операционным исчислением, в основе которого лежит преобразование Лапласа. Одна из причин этого состоит в том, что при интегрировании дифференциальных уравнений вычисление постоянных интегрирования при большом их числе является трудоемкой операцией. При использовании преобразования Лапласа начальные условия учитываются автоматически и операция вычисления произвольных постоянных отпадает. Вторая причина заключается в том, что преобразование Лапласа позволяет заменить операции дифференцирования и интегрирования функций простыми операциями умножения и деления. Это дает возможность сводить решение дифференциальных уравнений к решению алгебраических уравнений. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Преобразование Лапласа.

1.1 Вводные замечания.

Изображением  по Лапласу ( – изображением) или преобразованием по Лапласу функции вещественного аргумента называется интеграл

    ()

где – некоторый комплексный параметр. Поскольку в подынтегральном выражении является параметром, значение интеграла определяется величиной этого параметра и видом функции , но не зависит от переменной интегрирования . Таким образом, интеграл является функцией комплексного аргумента , что и подчеркнуто в равенстве ().

Функцию называют оригиналом, а функцию изображением и кратко записывают это обстоятельство так:

 или ,

Условимся оригиналы обозначать малыми буквами  латинского алфавита, а их изображения – соответствующими большими латинскими буквами.

Для многих часто встречающихся функций составлены таблицы изображений, которыми и следует пользоваться при решении задач.

Для нахождения изображения по оригиналу, а также  оригинала по изображению в простейших случаях можно пользоваться сравнительно небольшой таблицей изображений. Если изображение в таблице отсутствует, то во многих, случаях его можно привести к виду, имеющемуся в таблице, с помощью теорем об основных свойствах изображений, речь о которых пойдет ниже.

№	Оригиналы	Изображения	№	Оригиналы	Изображения
1	1		10
2			11
3			12
4			13
5			14
6			15
7			16
8	sh		17
9	ch

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.2 Основные свойства преобразования Лапласа.

Знание  основных свойств изображений необходимо для практического использования  операционного исчисления. Все эти  свойства выводятся из формулы ().

Умножение на постоянную.

При умножении  оригинала на постоянную величину изображение умножается на ту же постоянную, и наоборот, т. е. 

Изображение суммы нескольких функций.

Изображение алгебраической суммы конечного числа оригиналов равно сумме их изображений, т. е., если

  и , (), ,

то  

Обе сформулированные теоремы, взятые в совокупности, выражают свойство линейности преобразования Лапласа. Они позволяют находить изображение (или оригинал) любой линейной комбинации функций, входящих в таблицу представленную выше.

Изменение масштаба аргумента.

Имеет место  следующее свойство:

, причём .

Теорема запаздывания (теорема  смещения оригинала).

Теорема запаздывания позволяет, зная изображение  функции , определяющей течение во времени некоторого процесса, найти изображение функции , которая определяет течение того же процесса, но запаздывающего на время .

В сокращенной  записи теорема запаздывания выглядит так:

, где .

При левая часть тождественно равна нулю.

Теорема  смещения.

Эта теорема  дает возможность найти оригинал для изображения , если известен оригинал . Теорема записывается так:

,

где — любое число, вообще говоря, комплексное.

Изображение производной.

Теорема об изображении производной является основной, так как на ней покоится сама идея операционного метода. Записывается теорема так:

.

В важном частном  случае, если , имеем

,

т. е. операции дифференцирования оригинала соответствует  умножение изображения на число .

Изображения высших производных.

Для производных порядка имеет место соответствие 

или более в  подробной записи

.

Изображение интеграла.

Теорема об изображении  интеграла имеет вид 

т. е. интегрированию оригинала в пределах от 0 до соответствует деление изображения на число .

Дифференцирование изображения.

Имеет место следующее свойство: 

т.е. дифференцированию изображения по соответствует умножение оригинала на .

В общем  случае производной порядка  имеем

.

Дифференцирование по параметру.

Имеет место  следующая теорема: 

т. е. изображение  производной оригинала по параметру  равно производной изображения оригинала по тому же параметру.

Теорема свертывания (теорема  Бореля).

Сверткой  или складкой двух функций  и называется функция

.

Очевидно, что в этой формуле функции  и можно поменять местами – результат от этого не изменится. Операция получения складки называется свертыванием функций, откуда и происходит название теоремы.

Теорема формулируется так: если

   и  

то 

т. е. изображением свертки двух функций является произведение изображений этих функций. Эту теорему  называют также теоремой об умножении  изображений.

Обобщим свойства преобразования  Лапласа в виде таблицы:

№	Свойство	Оригинал	Изображение
1	Умножение на постоянную
2	Изображение суммы
3	Изменение масштаба
4	Теорема запаздывания
5	Теорема смещения
6	Изображение производной
6а	Изображение высших производных
7	Изображение интеграла
8	Дифференцирование изображения
9	Дифференцирование по параметру
10	Теорема свертывания

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Постановка задачи. 

На рисунке 1 показана колебательная система  с двумя степенями свободы. На первый груз действует возмущающая  сила . Заданы массы грузов: и и жесткости пружин: , , .

Найти движение системы при следующих  начальных условиях:

, , , . 
 
 
 
 
 
 
 

                       Рис. 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Решение задачи.

Составляем уравнения  движения системы 

Подставляя числовые данные, после преобразования получим: 

Производим преобразования Лапласа: 

Отсюда получим: 

Разлаживая на простые дроби получим 
 

или 
 
 

Переходим к  исходным оригиналам: 
 

Подсчёты произведены  в пакете Wolfram Mathematica.

Список  использованной литературы.  

1. «Теоретическая механика в примерах и задачах. Том 3»

М. И. Бать, Г. Ю. Джанелидзе, А. С. Кельзон, 1973г.

2. «Методы теории функций комплексного переменного»

М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат, 1973г. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Приложение.

Вычисления произведённые в пакете Wolfram Mathematica.