Применение метода конформного преобразования в электростатике и гидродинамике

Метод Шварца  решает задачу о вычислении ноля между двумя призматическими проводниками. Проще всего тот случай, когда поперечные сечения обоих проводников простираются в бесконечность, так что промежуточная область между ними односвязная. Пусть между обоими проводниками существует разность потенциалов т. е. потенциалы обоих контуров равны  0 и   другими словами, конформное отображение, определяемое комплексной потенциальной функцией   должно отображать один из контуров на вещественную ось, а другой на параллельную к ней прямую, находящуюся на расстоянии . Для простоты рассмотрим функцию  , для которой параллельная прямая находится на расстоянии  π.

Преобразование

                                    (2.12)

 переводит плоскость с двумя разрезами в слой плоскости  

 

Рис.3.                               Рис.4. 

(рис. 4). В качестве комплексного потенциала выберем функцию

                                                              (2.13)

где через  обозначена разность потенциалов между пластинами конденсатора, так что потенциал электрического поля выражается функцией

                                                (2.14)

где ψ  связано с x и y соотношениями                  

                             (2.15) 
 
 
 

 

 

             

                                                                                 Рис.5.

 
На рис.5 изображены эквипотенциальные и силовые линии полубесконечного плоского конденсатора.

Перейдем  к исследованию поля вблизи края конденсатора.

Из формул (2.15) видно, что при    φ→−∞ 

                   (2.16) 

т.е. внутри конденсатора, далеко от краев, поле является плоским, а при     φ→∞

                      (2.17)             

т.е. вне конденсатора, на больших расстояниях от его краев, эквипотенциальные линии являются кругами.

Если вместо  w  ввести комплексный потенциал       ,

так что    ,  то связь между z и f(z) задается уравнением

,

откуда следует:                      ,

а при   мы получаем:

  или  

Полагая = 1, мы получим для плотности зарядов σ согласно формуле (2.11) следующее значение:

                                          (2.18)

Отсюда следует, что при , а при     т. е. в этом случае плотность зарядов убывает на внешней стороне пластин как 1/р.

  Из  формулы (2.18) видно, что при (на краю конденсатора)  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ГЛАВА III . Применение метода конформного преобразования в гидродинамике

3.1.При решении задач о движении твердого тела в жидкости существенную роль играют граничные условия на поверхности тела. 

В случае идеальной жидкости граничное условие  состоит в том, что проекция скорости жидкости на направление нормали к поверхности тела должна равняться нормальной составляющей скорости движения тела.

  Если  тело неподвижно, то граничное условие  принимает простой вид 

на поверхности  тела.

Если рассматриваемое  движение потенциально, т. е. 

то граничные  условия принимают вид                

    в случае неподвижного тела,

  в случае тела, движущегося со скоростью u.

  Как известно из гидродинамики, потенциал  скоростей для несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению

               

  Таким образом, задача о потенциальном  обтекании твердого тела потоком  несжимаемой идеальной жидкости сводится к решению уравнения Лапласа

                                                        

с дополнительным граничным условием на поверхности  обтекаемого тела

                                                       

т. е. к  решению второй краевой задачи для  уравнения Лапласа.

  Если  рассматриваемое движение плоское, то решение задачи может быть получено при помощи теории функций комплексного переменного.

  В случае плоского движения несжимаемой  жидкости уравнение непрерывности позволяет записать следующее равенство:      

                                             (3.1)                                                             

Запишем уравнение линий тока              

                                                             

в виде   

                                                       (3.2)

 и введем функцию ψ при помощи соотношений 

;          ;                                        

Тогда из уравнения (3.1) следует, что левая часть выражения (3.2) является полным дифференциалом функции ψ: 

Однопараметрическое семейство кривых 

представляет  собой линии тока несжимаемой  жидкости.

  Если  существует потенциал скоростей, то равенство     равносильно уравнению

.

Из выражений  для и следует:

,               ,

т. е. функции  φ и ψ удовлетворяют условиям Коши — Римана. Следовательно, функция комплексного переменного 

является аналитической.

  Итак, всякое потенциальное плоское движение жидкости соответствует определенной аналитической функции комплексного переменного и, обратно, всякая аналитическая функция связана с определенной кинематической картиной движения жидкости (точнее, с двумя картинами, так как функции φ и ψ можно поменять ролями).

  Рассмотрим  конкретный пример применения теории аналитических функций к решению задач об обтекании тел плоским потоком жидкости. 
 
 

3. 2. Обтекание пластины.

Комплексный потенциал для потока, обтекающего  неподвижный цилиндр и имеющего на бесконечности  скорость и, имеет вид 

где Г - циркуляция интенсивности  вокруг цилиндра.

Результат обтекания кругового цилиндра позволяет решать задачи об обтекании произвольных контуров. При этом применяется метод конформного преобразования. Рассмотрим его применение на конкретной задаче об обтекании пластины.

Пусть на бесконечно длинную пластину ширины 2а, расположенную на оси Ох (рис. 6), набегает постоянный плоский поток, имеющий на бесконечности скорость с компонентами и и v. При помощи аналитической функции 

можно установить взаимно однозначное  соответствие между областью вне пластины на плоскости z и областью вне круга единичного радиуса на плоскости ζ. При этом точке будет соответствовать точка , а

    

Рис.6.

Посмотрим, как изменится условие на бесконечности. Для комплексного потенциала 

мы имеем 

— сопряженное  значение комплексной скорости. 

Найдем  значение комплексной скорости фиктивного течения на плоскости ζ:

   

откуда  

Итак, фиктивное  течение представляет собой обтекание  цилиндра единичного радиуса потоком, имеющим на бесконечности комплексную скорость Для такого движения комплексный потенциал имеет вид 

Из соотношения  следует: 

Используя эти соотношения, мы получим для  комплексного потенциала жидкости, обтекающей пластину, выражение 
 

В случае отсутствия циркуляции это выражение  принимает вид 
 

Из полученных соотношений видно, что скорость на концах пластины достигает бесконечно больших значений. В реальных условиях это, конечно, не имеет места. Полученные результаты объясняются тем, что мы считаем жидкость идеальной. Применяя теорему Бернулли, можно найти выражение для силы, действующей на обтекаемое жидкостью тело.

  Изучением сил, с которыми воздух действует  на движущееся в нем крыло самолета, занимается аэродинамическая теория крыла. В развитии этой теории исключительная роль принадлежит русским и советским ученым, в первую очередь Н. Е. Жуковскому и С. А. Чаплыгину. В простейшем случае бесциркулярного обтекания цилиндра плоским потоком жидкости мы получаем парадоксальный результат — поток не оказывает на цилиндр никакого действия. В случае наложения на поступательный поток циркуляции скорости вокруг цилиндра возникает сила, действующая на цилиндр перпендикулярно к направлению скорости потока в бесконечности.

Теория  аналитических функций может  быть использована лишь в случае плоского движения. В трехмерном случае приходится прибегать к другим методам решения задачи об обтекании жидкостью твердого тела. В общем случае решение задачи представляет большие трудности. Рассмотрим простейший случай движения шара в безграничной покоящейся жидкости с постоянной скоростью. Задача заключается в решении уравнения 

вне шара с граничным  условием

           на  поверхности шара

и

                 в бесконечности.

 Решение ищем  в виде 

Используя граничное  условие, получим: 

что и дает решение  поставленной задачи.

  Во  всех рассмотренных случаях мы считали  жидкость идеальной. Для вязкой жидкости граничные условия изменяются. На поверхности тела должно выполняться условие прилипания, а именно: в точках твердой границы скорость жидкости по величине и направлению должна совпадать со скоростью соответствующей точки границы.

  Задачи  обтекания тел вязкой жидкостью  приводят к большим математическим трудностям. В развитии этой области гидродинамики большую роль сыграли теории пограничного слоя. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

  В ходе выполнения курсовой работы мы рассмотрели несколько задач, решаемых методом конформного преобразования. Круг задач  очень широк. С его помощью может быть успешно решен вопрос о влиянии края толстой стенки плоского конденсатора, также ряд задач, относящихся к влиянию изгибов в конденсаторе и т. п. Конформное преобразование может быть также применено к расчету динамических задач. Недостатком изложенного метода является то, что конформное преобразование применяется в основном лишь к плоским задачам.

 

СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тихонов А.М., Самарский А.А., «Уравнение математической физики».// Москва, Изд. Наука, 1977.
2. Смирнов В.И., «О конформном преобразовании односвязных областей в себя». // Изд. Крым,1921.
3. Араманович И.Г., Левин В.И., «Уравнение математической физики». //Москва, Изд. Наука, 1969.
4. Голузин Г.М., Канторович Л.В., Крылов В.И. «Конформное отображение односвязных и многосвязных областей». //Москва, Гостехиздат,1937.
5. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. « Методы теории функций комплексного переменного». // Москва, Изд.Наука, 1987.
6. Фильчаков П.Ф. « Приближенные методы конформных отображений».//Киев, Наукова думка, 1964,