Потенциальность электростатического поля

 

Потенциальность  электростатического  поля.

1. Условие потенциальности поля.

Силовое поле называется потенциальным, если работа сил поля при перемещении в нем зависит только от начальных и конечных точек пути и не зависит от формы траектории.

или:

 если работа сил поля при перемещении по  замкнутому контуру равна нулю.    

 

 В  электростатическое поле потенциально.

 

А    - дифференциальная формулировка

потенциальности поля.

2.) Скалярный потенциал

Так как  работа при перемещении заряда не зависит от траектории, то ее можно выразить через скалярную функцию , разность значений которой и определяет эту работу.

Так как  всегда, то общим решением  уравнения будет:

    ,

      где   (3.1)

Знак  «-» в (3.1) возник исторически  и означает, что  направлен в сторону убывания потенциала .

Потенциал описывает тоже поле , т.е. потенциал определен с точностью до произвольной постоянной φ₀ и не имеет определенного числового значения. Поэтому можно произвольно задать в любой точке пространства. Эта процедура называется нормировкой. Обычно (но не обязательно) полагается или  

2

  

1

При перемещении заряда из точки 1 в точку 2 удельная работа: 

Таким образом, физический смысл имеет не абсолютное значение потенциала, а разность потенциалов между точками: разность потенциалов между двумя точками равна работе по перемещению единичного положительного заряда между ними.

Здесь мы учли, что

3). Потенциал точечного заряда.

 

 

при  :    

4. Потенциал системы точечных зарядов.

, где 

5. Потенциал непрерывно распределенного по объему заряда.

Разбиваем весь объем  на элементы , в каждом из которых находится заряд , и используем формулу из п.4:

,

где - расстояние от объёма до точки вычисления потенциала .

6. Потенциал поля поверхностно распределенного заряда.

Аналогично п5:

7. Свойства скалярного потенциала:

а) Конечность потенциала при распределении  заряда с конечной плотностью.

Запишем формулу  п.5 в сферических  координатах:

 

Потенциал системы зарядов, распределенной в конечной области пространства с конечной плотностью - конечен.

Напомним, что  бесконечно большой  потенциал  точечного заряда в точке нахождения заряда обусловлен мнимой бесконечностью его плотности заряда .

б) Непрерывность потенциала.

, но      - должно быть конечно во всей области пространства.

Т.о. Потенциал является непрерывной и конечной функцией с конечными производными по координатам.

 

Эти условия и свойства важны при решении дифференциальных уравнений для потенциала .

8. Теорема Ирншоу:

Не существует такой  конфигурации неподвижных зарядов, которая была бы устойчивой, если нет  других сил, кроме кулоновских.

Или:

Замкнутая система неподвижных  зарядов не может находиться в  состоянии устойчивого равновесия (при условии, что между зарядами действуют только силы Кулона).

Доказательство.

Если положение устойчиво, то при  любом смещении должна существовать «возвращающая»  сила вблизи каждого заряда направлена по  

- создается зарядом  внутри объема, что противоречит предложению о создании такого поля зарядами, находящимся вне поверхности .