Пьезоэлектрический эффект

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВЕДЕНИЕ 4

1.ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ 5

2.ТЕНЗОР ПОЛЯРИЗАЦИИ 9

3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПЬЕЗОЭФФЕКТА 15

3.1. Пьезоэлектрический трансформатор 15

3.2. Пьезоэлектрические форсунки 17

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 22

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВЕДЕНИЕ

 

В1756 г. русский академик Ф. Эпинус обнаружил, что при нагревании кристалла турмалина на его гранях появляются электрические заряды. В  дальнейшем этому явлению было присвоено  наименование пироэлектрического эффекта. Ф. Эпинус предполагал, что причиной электрических явлений, наблюдаемых  при изменении температуры, является неравномерный нагрев двух поверхностей, приводящий к появлению в кристалле  механических напряжений. Одновременно он указал, что постоянство в распределении  полюсов на определённых концах кристалла  зависит от его структуры и  состава, таким образом, Ф. Эпинус подошел  вплотную к открытию пьезоэлектрического  эффекта.

Пьезоэлектрический эффект в кристаллах был обнаружен в 1880 г. братьями П. и Ж. Кюри, наблюдавшими возникновение на поверхности пластинок, вырезанных при определённой ориентировки из кристалла кварца, электростатических зарядов под действием механических напряжений. Эти заряды пропорциональны  механическому напряжению, меняют знак вместе с ним и исчезают при  его снятии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ

 

Пьезоэлектрический эффект состоит в возникновении электрической поляризации у некоторых  кристаллических материалов под действием механического напряжения. Возникающий на каждой из поверхностей диэлектрика электрический заряд изменяется по линейному закону в зависимости от механических усилий. (рисунок 1.1):

Q=dF       (1.1)

Q/S=dF/S=q_s=P=dσ     (1.2)

Принимая в формуле (1.2) S=1м^2, получаем линейную зависимость поляризации от механического напряжения (рисунок 1.1):

 

 

 

 

 

Рисунок 1.1 – Зависимость поляризации от механического напряжения

 

Наряду с пьезоэлектрическим эффектом существует и обратное ему  явление: в пьезоэлектрических кристаллах возникновение поляризации сопровождается механическими деформациями. Поэтому, если на металлические обкладки, укрепленные на кристалле, подать электрическое напряжение, то кристалл под действием поля поляризуется и деформируется. И в этом случае линейная связь между компонентами тензора деформации U_jk и напряженностью электрического поля Е осуществляется с помощью того же тензора пьезоэлектрических модулей [1]:

U_{jk =} d_ijk Е_i      (1.3)

Пьезоэлектричество появляется только в тех случаях, когда упругая  деформация кристалла сопровождается смещением центров тяжести положительных  и отрицательных зарядов элементарной ячейки кристалла, т. е. когда она  вызывает индивидуальный дипольный  момент, который необходим для возникновения электрической поляризации диэлектрика под действием механического напряжения. В структурах имеющих центр симметрии, никакая однородная деформация не сможет нарушить внутреннее равновесие кристаллической решётки и, следовательно, пьезоэлектрическими являются кристаллы только 20 классов, у которых отсутствует центр симметрии. Отсутствие центра симметрии является необходимым, но не достаточным условием существования пьезоэлектрического эффекта. Наличие других элементов симметрии (оси, плоскости симметрии) может запрещать появление поляризации в некоторых направлениях или при некоторых определенных деформациях. В результате пьезоэлектрики могут принадлежать лишь к 20 точечным группам симметрии (из 32): 1, 2, 3, 4, 6, m, тт2, 3т, 4mm, 6тт, 222, 4, 422, 42m, 6, 622, 6m2, 32, 23, m3. Кристаллы первых 10 классов — пироэлектрики, т. е. обладают поляризацией в отсутствие внешних воздействий. В этих кристаллах пьезоэффект проявляется, в частности, в изменении величины спонтанной поляризации при механической деформации. Пьезоэлектрические свойства можно создавать в некоторых некристаллических диэлектриках за счёт образования в них так называемой пьезоэлектрической текстуры, например поляризацией в электрическом поле (пьезокерамика).

Пьезоэлектрический эффект не может наблюдаться в твёрдых  аморфных и скрытокристаллических  диэлектриках (почти изотропных), так  как это противоречит их сферической  симметрии. Исключение составляют случаи, когда они становятся анизотропными  под влиянием внешних сил и  тем самым частично приобретают  свойства одиночных кристаллов. Пьезоэффект  возможен также в некоторых видах  кристаллических текстур.

Чтобы обнаружить пьезоэлектрические заряды, на грани кристаллической пластинки накладывают металлические обкладки. При разомкнутых обкладках между ними при деформации появляется разность потенциалов. При замкнутых обкладках на них образуются индуцированные заряды, равные по величине поляризационным зарядам, но противоположные им по знаку, и в цепи, соединяющей обкладки, в процессе деформации возникает ток.

Физическую  природу пьезоэффекта лучше всего  рассмотреть на примере наиболее известного пьезоэлектрического кристалла - кварца. Ячейка в целом электрически нейтральна, однако в ней можно выделить три направления, проходящие через центр и соединяющие два разнополярных иона. Эти полярные направления называются электрическими осями или осями X, и по ним направлены векторы поляризации Р₁, Р₂ и Р₃ (рисунок 1.2 а).

Если  к кристаллу кварца вдоль оси  приложена сила Fx, равномерно  распределенная по грани, то в результате деформации элементарной ячейки ее электрическая  нейтральность нарушается. При этом в деформированном состоянии  ячейки сумма проекций векторов Р2 и  Р3 на ось Х становится меньше (при  сжатии) или больше (при растяжении) вектора P1. В результате появляется равнодействующая вектора поляризации, ей соответствуют  поляризационные  заряды на гранях. Нетрудно видеть, что  деформация ячейки не влияет на электрическое  состояние вдоль оси Y. Здесь сумма  проекций векторов равна нулю, так  как P_2Y = P_3Y. (рисунок 1.2 б).

Образование поляризационных зарядов на гранях, перпендикулярных оси X, при действии силы по оси X называется продольным пьезоэффектом.При  механических напряжениях, приложенных  вдоль одной из осей Y (их называют механическими осями), геометрическая сумма проекций векторов Р₂ и Р₃ на ось Y равна нулю, и на гранях пьезоэлемента, перпендикулярных оси Y, заряды не образуются. Однако сумма проекций векторов Р₂ и Р₃ на ось X оказывается не равной вектору P₁. Так, при сжатии пьезоэлемента, указанная сумма превышает Р₁; в результате на нижней грани образуются положительные заряды, а на верхней – отрицательные (рисунок 1.2 в).

Рассмотренный эффект образования зарядов на гранях, называется поперечным. При нагружении по оси Z, перпендикулярной осям X и Y и называемой оптической осью кристалла, кристалл кварца также остается электрически нейтральным. При механическом напряжении сдвига, деформирующем ячейку так, как показано на рисунке, геометрическая сумма проекций векторов Р₂ и Р₃ на ось X равна вектору P₁, направленному по оси X, и на гранях, перпендикулярных оси X, заряд не возникает. Однако проекции векторов Р₂ и Р₃ на ось Y не равны, и на гранях, перпендикулярных оси Y, возникает заряд (рисунок 1.2 г ) [3].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1.2 – Возникновение пьезоэффекта

 

 

2.ТЕНЗОР ПОЛЯРИЗАЦИИ

 

Если кристалл растягивают  или сжимают, он приходит в напряженное состояние. Сила F, действующая на единицу площади S, называется механическим напряжением σ. Механическое  напряженное  состояние  описывается  тензором  напряжений второго ранга. 

Представим себе единичный  куб, вырезанный из кристалла (рисунок 2.1).

Рисунок 2.1 –  Механические  напряжения

 

На  рисунке 2.1  изображены  механические  напряжения,  действующие на  элемент объема (а), и проекция элемента объема на плоскость “X₂-X₃” (б) (цифры 1, 2, 3 обозначают видимые на рисунке 2.1,а  грани).

Напряжения,  направленные  нормально  к  граням (σ₁₁,  σ2₂,  σ₃₃),  называются нормальными   напряжениями.  На  рисунке 2.1,а эти напряжения  растягивают кристалл. Напряжения, действующие на невидимые на рисунке 2.1,а грани, не показаны.

В обозначении напряжений первое число указывает направление  по оси координат, второе – номер  грани. 

Так,  σ₁₁  означает  нормальное  напряжение,  действующее вдоль оси Х=Х₁   на   переднюю   (на   рисунке 2.1,а –   первую)   грань.   Соответственно,    σ₂₂ - нормальное напряжение, действующее вдоль оси y = Х₂ на правую грань куба и т.д. Механические напряжения, направленные вдоль граней (σ₁₂, σ₂₁, σ13, σ₃₁, σ₂₃, и σ₃₂), называются тангенциальными или касательными напряжениями. Они вызывают в кристалле деформации сдвига. Механические напряжения не являются векторными величинами, такими, как, например, напряженность электрического поля. Если электрическое поле направлено снизу кристалла вверх, то на нижней грани вектор  электрического  поля  направлен к элементарному объему,  а на верхней грани – от него, т.е. на обеих гранях объема вектор электрического поля имеет одно и то же направление. Механические напряжения на противоположных гранях элементарного объема направлены противоположно друг другу.

Напряженность электрического поля –  вектор. Вектор полностью определяется  заданием значений  трех  его компонент  вдоль    координатных осей    Е = (Е₁,  Е₂,  Е₃). Векторы   являются   также тензорами первого ранга (3¹ = 3). Механически напряженное состояние кристалла описывается заданием девяти компонент напряжений, т.е. тензором второго ранга (3² = 9 ), который записывается  следующим образом:

 

 

По диагонали этой таблицы  стоят нормальные напряжения, все  остальные напряжения – тангенциальные.

  На рисунке 2.1,б  представлена двухмерная модель кристалла, расположенного в плоскости “y-z”. Как следует из рисунка, напряжения σ₂₃   создают пару сил, которая стремится повернуть объем по часовой  стрелке. Напряжения σ₃₂  создают пару  сил, стремящуюся повернуть кристалл  против  часовой стрелки. Поскольку  элемент находится  в равновесии, обе пары сил равны по величине; поэтому  σ₂₃ = σ₃₂ .

Аналогично можно показать, что σ₁₂ = σ₂₁  и σ₁₃ = σ₃₁. Таким образом, механически напряженное  состояние кристалла можно описать меньшим числом компонент, в данном случае – шестью компонентами вместо девяти. В связи с этим производят  замену  обозначений  у  напряжений.  Новые  обозначения  называют матричными  обозначениями. 

Поляризованность  Р пропорциональна  механическому напряжению σ: 

Р = dσ ,       (2.1)

где d – константа, называемая пьезоэлектрическим модулем.

Из этого уравнения  следует,  что  замена  напряжения  растяжения  напряжением  сжатия приводит к изменению направления  поляризованности на обратное.

  Пьезомодуль d – величина, численно равная плотности связанного заряда, появляющегося на  поверхности пьезоэлектрика  при единичном напряжении. В СИ размерность этой величины - Kл/м² . Следует обратить внимание на то, что в теории  упругости буквой  σ  обозначают  механическое  напряжение,  в  электротехнике этой буквой обозначают несколько электрических величин и, в частности, поверхностную плотность электрического заряда. Это надо помнить и называть величину в соответствии с ее физическим смыслом. 

Поляризованность задается тремя взаимно перпендикулярными компонентами Р = (Р₁, Р₂, Р₃), где Р₁ – поляризованность объема в направлении оси Х₁; Р₂ -  поляризованность объема в направлении оси Х₂  ; Р₃ – поляризованность объема в направлении оси Х₃.

  Каждая компонента  поляризованности  Р₁ линейно связана со всеми компонентами напряжения σ_jk через компоненты пьезомодулей d_ijk. Для P₁ уравнение записывается так:

P₁= d₁₁₁ σ₁₁ + d₁₁₂ σ₁₂ + d₁₁₃ σ₁₃ + d₁₂₁ σ₂₁ + d₁₂₂ σ₂₂+ d₁₂₃ σ₂₃ + d₁₃₁ σ₃₁ + d₁₃₂ σ₃₂+ d₁₃₃ σ₃₃   

Для Р₂ и Р₃  можно записать аналогичные уравнения: 

Р₂ = d₂₁₁ σ₁₁+ d₂₁₂ σ₁₂+d₂₁₃ σ₁₃+d₂₂₁ σ₂₁+d₂₂₂ σ₂₂+d₂₂₃ σ₂₃+d₂₃₁ σ₃₁+d₂₃₂ σ₃₂+d₂₃₃ σ₃₃;

Р₃= d₃₁₁ σ₁₁+ d₃₁₂ σ₁₂+d₃₁₃ σ₁₃+d₃₂₁ σ₂₁+d₃₂₂ σ₂₂+d₃₂₃ σ₂₃+d₃₃₁ σ₃₁ +d₃₃₂ σ₃₂+d₃₃₃ σ₃₃.

 

Таким образом, поляризованность пьезоэлектрика описывается двадцатью  семью  компонентами  пьезомодуля.  При  этом  пьезомодуль –  тензор  третьего ранга (3³= 27).

В сокращенном виде система  уравнений для Р₁, Р₂ и Р₃ выглядит следующим образом:

P_i = d_ijk σ_jk; i,jk =1,2,3.

 Поскольку σ₁₂ = σ₂₁, σ₁₃ = σ₃₁  и  σ₂₃ = σ₃₂, постольку предполагают, что касательные напряжения σ₁₂ и σ₂₁ вносят одинаковый вклад в Р₁, а поэтому без доказательств принимают, что

d₁₁₂  = d₁₂₁;  d₁₁₃ = d₁₃₁;   d₁₂₃ = d₁₃₂.

Иными словами, предполагают, что тензор d_ijk симметричен по индексам j и k, т.е.

d_ijk=  d_ikj .

Это  обстоятельство  дает  возможность  исключить  из  рассмотрения  часть пьезоэлектрических  коэффициентов  и  использовать  более  короткие матричные обозначения. Перепишем  пьезомодули,  учитывая  симметричность  по  индексам d_ijk = d_ikj и упрощенное уже обозначение индексов у напряжений: