Нормирование метрологических характеристик средств измерений

Если пользоваться при нормировании погрешностей основных систематических  составляющих погрешностей характеристиками, учитывающими нестационарность случайного процесса изменения этих погрешностей, то математическая модель погрешности существенно усложнится. Соответственно усложнится и задача нормирования основной погрешности средства измерений, а также процесс проведения испытаний для подтверждения нормируемой основной погрешности: он должен составлять большой промежуток времени.

 

2.2 Динамические характеристики средств измерений. При измерении величин, изменяющихся во времени, погрешность измерений обычно превышает погрешность измерений в статическом режиме, когда измеряемая величина в процессе измерений неизменна. Вместе с тем, динамический режим возникает не только при измерении изменяющихся во времени величин: при измерении постоянной величины, например, постоянного электрического напряжения, в момент включения прибора возникает переходный процесс — динамический режим, продолжающийся до тех пор, пока выходной сигнал не примет установившегося значения. Следовательно, в случае измерения постоянной величины в течение переходного процесса будет возникать динамическая погрешность.

Динамической погрешностью А_с1 средства измерений называется разность погрешностей средств измерений в динамическом и статическом режимах 

;     (2.1)

где — погрешность в динамическом режиме;

 — погрешность в статическом режиме (статическая погрешность).

Если  , то статическую погрешность принимают равной нулю.

Главной причиной динамических погрешностей является инерционность средств измерений: наличие переходных процессов в узлах средства измерений вызывает «отставание» значений сигнала на выходе от входного сигнала и его искажение (рис. 2.2). Динамические погрешности, таким образом, определяются динамическими свойствами средств измерений. В зависимости от свойств средств измерений и параметров измеряемых (входных) сигналов динамические характеристики имеют различные формы и содержание. Поэтому для нормирования динамических характеристик выбираются те из них, которые соответствуют лучшему воспроизведению входных сигналов на выходе средства измерений и, кроме того, которые могут быть более удобными для экспериментального определения (измерений). Например, если входной сигнал является гармоническим, то удобной для определения является амплитудно-фазовая характеристика; если же на вход поступают однотипные импульсные сигналы достаточно большой длительности и с большим периодом повторения, то лучшей формой будет переходная характеристика. Вначале рассмотрим полные динамические характеристики средств измерений.

Рис. 2.2. Искажение выходного сигнала

Передаточная функция. Взаимосвязь сигналов (измеряемых величин) на входе и выходе средства измерений определяется с помощью передаточной функции, под которой понимается отношение между выходным и входным сигналами, выраженное с помощью преобразования Лапласа.

Процесс измерений включает ряд операций преобразования, передачи и отображения сигналов. Операции передачи сигналов зависят от формы входных сигналов и передаточных свойств динамических звеньев средства измерений. При этом рассматриваются звенья блок-схемы средства измерений не по функциональному предназначению (усиление, детектирование и др.), а по функциональной связи между входным и выходным сигналами в каждом звене. Эта связь и характеризуется передаточными свойствами звеньев.

Динамические звенья, вообще говоря, могут быть линейными и нелинейными. В большинстве случаев удается на практике рассматривать средства измерений и их узлы как линейные системы (звенья). Линейными называются такие динамические звенья, для которых справедлив принцип суперпозиции: выходной сигнал при поступлении на вход звена совокупности отдельных сигналов равен сумме сигналов на выходе, полученных в результате действия каждой из составляющих входного сигнала.

Математически передаточные свойства линейных динамических систем (звеньев) описываются линейными дифференциальными уравнениями, форму записи которых и представляет передаточная функция.

Выходной сигнал у (t) и входной сигнал x (t) с учетом сказанного связаны дифференциальным уравнением 

 

 

;    (2.2)

 

Где , m

Использование преобразования Лапласа облегчает математическое описание и решение задачи изучения процесса передачи сигналов. Для этого каждой функции времени t, входящей в дифференциальное уравнение, с помощью преобразования сопоставляется функция другого переменного (оператора) р = σ + jω, где σ — вещественная часть, jω — мнимая часть. При этом функцию времени (обозначим ее для общности через f(t)) называют оригиналом, вторую (обозначим ее F (p)) — изображением. Соответствие изображения F(р) своему оригиналу обозначается символом (), т. е

F(t) F(p)

Принято изображение обозначать прописной буквой, используемой в обозначении оригинала как строчная. Например, если оригинал х (t), то изображение обозначается через X (р).

Преобразование Лапласа осуществляется с помощью зависимости

F(p) = L(f(t)) = ;    (2.3)

где L — символ преобразования Лапласа.

Если оригинал f (t) подвергнуть дифференцированию, то изображение производной оригинала получим, взяв по частям интеграл (2.3), в котором f(t) заменим на df(t) / dt

 

;   (2.4)

 

Первый член суммы в (2.4) при конечном значении величины а обращается при верхнем пределе в нуль, и в случае, когда при измерении отсутствует погрешность нуля, при нижнем пределе f (t) = 0.Тогда

 

df (t) / dt ;      (2.5)

 

Таким образом, дифференцирование  оригинала соответствует умножению изображения на величину р (при условии отсутствия аддитивной погрешности).

Если имеется аддитивная погрешность, то с учетом (2.3)

 

df (t) / dt ;      (2.6)

 

Если произведем ту же операцию для  второй производной , получим

Аналогичным путем нетрудно показать, что интегрированию оригинала соответствует деление изображения на величину р 

 

 ;       (2,7)

 

Рассмотрим простейший случай динамического звена первого порядка, описываемого дифференциальным уравнением вида

 

dy (t) / dt + ay (t) =  ;      (2.8)

где — коэффициент преобразования.

Применив преобразование Лапласа  в левой и правой частях уравнения, получим

 

Или

 

;     (2.9)

 

Отсюда

 

;     (2.10)

 

Обращаясь к таблицам преобразования Лапласа, находим оригинал функции у (t)

 

;    (2.11)

 

Уравнение (2.11) запишем в виде

 

В соответствии с определением передаточная функция

 

G(p) = = =  ;  (2.12)

 

Следовательно, передаточная функция представляется отношением изображений входного и выходного сигналов. Иногда эту функцию называют передаточной функцией в операторной форме.

Нетрудно получить формулу для нахождения предельных значений (2.13)

 

f(0) = ;  f() =    (2.13)

 

Передаточная функция является комплексной величиной, она относится  к полным динамическим характеристикам, однозначно определяет характер изменения выходного сигнала от входного.

 

L (y(t)) = G (p) L (x (t)),  или Y (p) = G (p) X (p) ; (2.14)

 

 

2.3 Переходная характеристика. Переходная характеристика h(t), относящаяся к полным динамическим характеристикам, представляет зависимость выходной величины линейного динамического преобразователя от времени при условии, что на вход преобразователя в момент t = 0 подается ступенчатый сигнал х (t) = 1 (t) единичной амплитуды (рис. 2.3 а ). В соответствии с этим определением можно записать, что h (t) (p).

 

Рис. 2.3. Отклики на входной сигнал в виде единичной функции и единичного импульса

Единичная функция может быть записана в виде

x(t) = 1(t) =  

Найдем изображение единичной  функции

 

x(p) = ;   (2.15)

 

Используя (2.15), найдем

= G(p)*(1/p) ;h(t) ; 

Оригинал переходной характеристики получим с помощью обратного преобразования Лапласа

h(t) = ,    (2.16)

где —символ обратного преобразования Лапласа.

Рассмотрим интегрирующий преобразователь (рис. 2.3 в). В соответствии с законом Ома и обозначениями на рис. 2.3, в можно записать

  или, найдя отсюда значение электрического тока,

i = ( - )/r

Вместе с тем, выходное напряжение (на конденсаторе емкостью С)

= (1/C)

Обозначив rC = Т — постоянной времени и продифференцировав последнее уравнение, получим

d

 

Для получения общего уравнения  обозначим  = у, — х, запишем уравнение для динамического звена первого порядка в виде

T + y =

Представим это уравнение  в операторной форме

pTY (p) + Y (p) =

Отсюда передаточная функция  звена

G(p) =

В соответствии с (2.16)запишем

h(t) =

Запишем выражение для переходной характеристики

h(t) =

На рис. 2.3, а пунктирной линией показана графическая зависимость переходной характеристики интегрирующего звена.

Подача на вход средства измерений  ступенчатого сигнала, в N раз большего или меньшего единицы, приведет только к изменению масштаба переходного процесса, полностью сохранив его характер.

 

2.4 Импульсная переходная характеристика. Эта характеристика (g (t)) представляет реакцию линейного динамического преобразователя при подаче на его вход в момент t = 0 сигнала в виде δ-функции. Если переходная характеристика является откликом на единичный скачок сигнала, то импульсная переходная характеристика является откликом на единичный импульсный сигнал.

Для определения δ-функции рассмотрим сигнал в виде единичного прямоугольного импульса (рис. 2.3, б) с площадью S = (1/ τ) τ = 1. Прямоугольный импульс может быть представлен в виде разности единичной функции 1 (t) с амплитудой 1 / τ и сдвинутой на величину длительности импульса τ единичной функции 1(t- τ) с той же амплитудой:

 

x(t) =      (2.17)

 

В соответствии с (2.15) изображение единичной функции

1(t), а в соответствии «со свойством запаздывания» преобразования Лапласа

1(t- τ)

Тогда изображение оригинала (2.17) будет иметь вид

 

x(t) = .  (2.18)

 

Переходя к пределу при τ = 0, получим δ-функцию, называемую также функцией Дирака

 

 δ (t) =   (2.19)

Заменив предел оригинала на производную и раскрыв неопределенность при τ 0 в пределе изображения (по правилу Лопиталя), приходим к следующему выводу

δ (t) =

По определению импульсной переходной характеристики g(t) . Таким образом, g (t) или

 

g(t) = .      (2.20)

 

Отсюда следует, что импульсная переходная функция при входном  единичном импульсном сигнале () определяется оригиналом передаточной функции измерительного прибора или датчика.

Поскольку

 

g(t) = , то h(t ) =      (2.21)

 

Передаточная функция (G (р) связана с импульсной переходной характеристикой g (t) преобразованием Лапласа

G(p) =       (2.22)

Обратное преобразование Лапласа, устанавливающее соответствие между  изображением F(p) и оригиналом f(t),

f(t) = F(p)dp.   (2.23)

Используя (2.23), можно записать

g(t)  (p)dp     (2.24)

Для примера рассмотрим аналоговые измерительные приборы, в состав которых входят инерционные механизмы (например, подвижные части, имеющие большую или меньшую массу), ограничивающие частотный диапазон измеряемого сигнала. Как ранее говорилось, динамические характеристики большинства измерительных звеньев (преобразователей), и не только механических, но и электрических, описываются линейными дифференциальными уравнениями не выше второго порядка

 

 (2.25)

 

где , , , — коэффициенты, зависящие от параметров конструкции электромеханического (электрического) звена.

Передаточная функция указанных  средств измерений с учетом (2.22) будет

 

G(p) = = .    (2.26)

 

где = / , = / , = /

Отношение ,/ = β называется степенью успокоения (демпфирования) измерительного инерционного звена, а отношение 1/ Т₂ = — собственной частотой его колебаний. С применением принятых обозначений формулу (3.45) нетрудно привести к соотношению (прибавив и отняв в знаменателе величину )

G(p) = .     (2.27)

 

Для определения импульсной переходной и переходной характеристик воспользуемся формулами (2.20), (2.24), (2.27) и таблицами обратного преобразования Лапласа. Получим:

 

g(t) = .   (2.28)