Непрерывное и диадное вейвлет - преобразование

 

 

Рис. 22.2.3.

Визуализация спектра. При визуализации картины коэффициентов субматрица переводится в двумерный массив с приведением к единой числовой оси входного сигнала (растягивание коэффициентов по оси сдвигов без изменения их значений), как это показано на рис. 22.2.3. Это позволяет выводить в графической форме только наиболее информативные уровни разложения, а также представлять вейвлетный спектр в 2D и в 3D форме (рис. 22.2.4).

В силу диадности преобразования выразительность вейвлетного спектра DWT существенно уступает CWT и DCWT, но сохраняет все частотно-временные особенности сигналов и, что наиболее существенно, позволяет производить изменения (определенную обработку) сигнала на разных уровнях декомпозиции и выполнять обратное преобразование без потерь информации.

Рис. 22.2.4.

Качество визуализации спектра  может быть  улучшено при переводе субматрицы на единую временную ось  с применением методов интерполяции. В качестве примера приводится листинг подпрограммы интерполяции коэффициентов спектра с использованием кубического сплайна. Результаты применения интерполяции можно наглядно видеть на рис. 22.2.5 при сопоставлении с рисунками 22.2.3 и 22.2.4.

 

Рис. 22.2.5.

 

Рис. 22.2.6.

Форму вейвлета db4 и средние частоты уровней декомпозиции (масштабов вейвлета) можно определить обратным преобразованием импульса Кронекера, задаваемого на какой-либо уровень декомпозиции спектра, при обнулении всех других уровней спектра. Пример операции приведен на рис. 22.2.2.

Для более точного  вычисления формы вейвлета число уровней декомпозиции следует устанавливать достаточно большим (N = 8-12), а импульс Кронекера в массиве спектра задавать на 2-3 уровня меньше М и на 2-3 точку интервала отсчетов этого уровня. Восстановленный при обратном преобразовании массив отсчетов вейвлета можно с использованием БПФ перевести в спектральную область и определить среднюю частоту вейвлета (с учетом вывода вейвлета на K/2 точек временной оси). При известной средней частоте вейвлета на m-уровне декомпозиции w_m, частотная шкала разложения при переходе на 1 уровень ниже возрастает в 2 раза, а на 1 уровень выше – в 2 раза уменьшается. Соответственно, частотная шкала 1-го уровня (максимальная частота декомпозиции) по измерениям средней частоты вейвлета на m-уровне определяется выражением:

w₁ = w_m 2^m-1,

и для вейвлета db4 составляет 2.356 радиан. Соответственно, на любом другом i-уровне:

w_i = w₁/2ⁱ.

Аналогичным образом, при  занесении единицы на нулевую точку вейвлетного спектра S может быть вычислена смещенная форма скейлинг-функции в ненормированном виде.

22.3. вейвлетная очистка сигналов от шумов.

Рис. 22.3.1.

Вейвлетная очистка сигналов от шумов может использоваться для  любых типов сигналов, но особенно эффективна для сигналов, имеющих в своем составе крутые перепады значений (скачки), местоположение которых является информацией, подлежащей сохранению. Для наглядности использования в этом процессе типовых функций преобразования wave(s) и iwave(S) в качестве примера выполним операцию очистки зашумленного меандра, представленного на рис. 22.3.1 на 500 точках координатной оси.

Подготовка  преобразования. Для подготовки вейвлет-преобразования определяется количество уровней полной декомпозиции сигнала М, и массив дополняется (в данном случае нулями) до требуемой величины 2^М.

Рис.22.3.2.

Для оценки количества возможных  уровней декомпозиции, в которых будет преобладать шум, можно выполнить БПФ массива. На рис. 22.3.2 представлен спектр массива в интервале 0-p (256 отсчетов), т.е. на первой половине главного диапазона БПФ. При диадном делении спектра на каждом уровне декомпозиции, первый уровень детализирующих коэффициентов будет сформирован из высокочастотной части спектра сигнала от p/2 до p (в односторонней физической шкале частот). Вторая часть спектра от 0 до p/2 конвертируется в аппроксимирующие коэффициенты. На втором уровне декомпозиции аппроксимирующие коэффициенты диапазона 0-p/2 также будут разделены пополам с преобразованием диапазона p/4-p/2 в детализирующие, а диапазона 0-p/4 в аппроксимирующие коэффициенты 2-го уровня декомпозиции, и т.д. Это позволяет непосредственно по частотному спектру сигнала установить ориентировочную границу шумов и, соответственно уровни декомпозиции, в которых мощность шумов соизмерима и выше мощности сигнала.

Рис. 22.3.3.

Анализ шумов по вейвлетному спектру. На рис. 22.3.3 приведен вейвлетный спектр и графики первых трех уровней декомпозиции модельного сигнала. Можно видеть, что сделанное выше на рис. 22.3.2 заключение по шумам подтверждается графиками вейвлетного спектра. Для сигналов без скачков первые два уровня декомпозиции явно шумовые и должны быть обнулены. Для сигналов со скачками и с высокочастотными компонентами может быть выполнена более тонкая последовательная очистка с оценкой статистики распределения коэффициентов уровней.

Рис. 22.3.4.

На рис. 22.3.4. приведена гистограмма коэффициентов первого уровня. Судя по этой гистограмме, основное шумовое распределение находится в интервале от -2.0 s до 2.0 s, где s - абсолютное среднеквадратическое отклонение шумовых импульсов от среднего значения (стандарт). На гистограмме наблюдаются также «хвосты», явно не входящие в основное распределение шумов, и обязанные своим происхождением скачкам и крутым перепадам в сигнале.

Рис. 22.3.5.

Такое предположение  подтверждается и рис. 22.3.5, где приведено сопоставление графика коэффициентов уровня с исходным сигналом преобразования, приведенным к масштабу уровня. При формировании новой строки уровня qm коэффициенты, превышающие установленные пороги ub и ut шумового распределения, целесообразно сохранить полностью или с небольшим занижением значений.

После формирования новой  строки qu данного уровня декомпозиции вейвлетного спектра можно заменить этой строкой соответствующий уровень разложения в полном массиве коэффициентов и визуально оценить результаты операции. Пример приведен на рис. 22.3.6.

Рис. 22.3.6.

После проведения аналогичной операции на втором декомпозиции получаем результат, приведенный на рис. 22.3.7. Он является конечным, т.к. попытка повторения операции на третьем уровне с данной моделью сигнала результатов не принесла.

Рис. 22.3.7.

Попутно отметим, что  аналогичная методика может применяться  для выделения из сигнала шумовых распределений и оценки их статистических характеристик.

Рис. 22.3.8.

На рис. 22.3.8 приведены  спектральные характеристики входного и очищенного от шумов сигнала и спектр выделенного шума. На спектре сигналов можно видеть, что вейвлетная очистка сохранила по всему частотному диапазону характерные пики меандра, формирующие периодические скачки значений сигнала, что не может выполнить практически никакой линейный частотный фильтр.

 

ЛИТЕРАТУРА

2. Дремин И.Л. и др. Вейвлеты и их использование. / Успехи физических наук, 2001, т.171, № 5, стр. 465-501.

3. Дьяконов В., Абраменкова  И. MATLAB. Обработка сигналов и изображений.  Специальный справочник. – СПб.: Питер, 2002, 608 с.

5. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. – СПб.: Изд. СПбГТУ, 1999, 132 с.

12. Смоленцев Н.К. Основы  теории вейвлетов. Вейвлеты в Matlab. М.: LVR Пресс, 2005. – 304 с.

13. Переберин А.В. О  систематизации вейвлет-преобразований. – Вычислительные методы и программирование, 2001, т.2.

14. Воробьев В.И., Грибунин В.Г.  Теория и практика вейвлет-преобразования. – СПб, ВУС, 1999. 204 с.

39. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От  теории к практике. – М.: СОЛОН-Р, 2002. – 448 с. 

 

Cайт автора        Лекции        Практикум

О замеченных ошибках  и предложениях по дополнению:  davpro@yandex.ru.

Copyright © 2009-2010 Davydov А.V.