Метод схемных определителей

Метод схемных определителей

Метод схемных определителей –  символьный метод анализа электрических  цепей, в котором для расчета  искомых токов и напряжений используется непосредственно схема замещения  цепи с произвольными линейными  элементами, минуя составление уравнений  равновесия. Метод предназначен для  получения оптимальных по сложности  символьных выражений схемных функций, откликов, погрешностей преобразования и допусков элементов, а также  параметров макромоделей подсхем и  параметров неизвестных элементов  в линейных электрических цепях. Аппарат схемных определителей лежит в основе системы автоматизированного схемотехнического проектирования SCADS (Symbolic Circuit Analysis, Diagnostics and Synthesis).

 

Формулы выделения параметров.

В основе метода схемных определителей лежат формулы Фойснера [дать ссылку на страницу в Википедии] для выделения параметров двухполюсных элементов [1, 2] , которые могут быть представлены в схемно-алгебраической форме [3]:

 

 

В общем  случае произвольный параметр может  быть выделен с помощью следующего выражения [3]:

,                                         (3)

где c_iÎ{R, g, K, G, H, B};  – определитель первой производной схемы, полученной из исходной схемы в результате присвоения параметру c значения, стремящегося к бесконечности (сопротивление удаляется, проводимость заменяется на схеме идеальным проводником (стягивается), управляемые источники заменяются на нуллоры [4]); D(c =0) – определитель второй производной схемы, которая образована в результате нейтрализации выделяемого элемента, то есть принятия c =0 (сопротивление стягивается, проводимость удаляется, управляемые источники нейтрализуется).

В качестве определителей будем  рассматривать символьные определители, то есть аналитические выражения, в которых все параметры схемы представлены символами, а не числами [5, 6].

Нуллором называют схемную модель идеального усилителя Теллегена [7], то есть управляемый источник, параметр которого стремится к бесконечности. Нуллор является аномальным управляемым источником, поскольку ток и напряжение норатора (управляемой ветви нуллора) не определены, а ток и напряжение нуллатора (управляющей ветви нуллора) равны нулю.

При замещении  управляемого источника его управляемая и управляющая ветвь заменяются на норатор и нуллатор соответственно. При нейтрализации управляемая ветвь напряжения и ветвь управляющего тока стягиваются, а управляемая ветвь тока и ветвь управляющего напряжения удаляются.

Идеальный проводник и разомкнутая ветвь  являются частными случаями включения  нуллора. Идеальный проводник эквивалентен однонаправленному параллельному соединению норатора и нуллатора, а разомкнутая ветвь – их встречному последовательному соединению. При изменении направления норатора или нуллатора знак определителя схемы, содержащей эти элементы, изменяется на противоположный.

Если  конденсаторы задать в операторном виде емкостными проводимостями рС, а индуктивности – индуктивными сопротивлениями pL, то результатом разложения символьного определителя схемы по формулам (1)–(3) становится выражение, не содержащее дробей, что делает его простым и удобным в рассмотрении.

Схемные элементы по формуле (3) выделяются рекурсивно до тех пор, пока не будет получена простейшая схема, определитель которой выводится из закона Ома (например, разомкнутые сопротивление или проводимость (рис. 1,а и б), замкнутые на себя сопротивление или проводимость (рис. 1,в и г), два несоединенных узла (рис. 1,д), одиночный узел (рис. 1,е), контур с нуллором (рис. 1,ж), разомкнутая ветвь с норатором и нуллатором (рис. 1,з), контур с УИ (рис. 1,и–м)).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К описанному базису простейших схем целесообразно  также добавить схемы на рис. 1,н  и рис. 1,о, состоящие из двух контуров с ИНУН или ИТУТ соответственно, так как нейтрализация одного из УИ приводит к получению схемы-узла. Аналогичным свойством обладают обобщения этих схем, которые состоят  из m контуров с УИ (m>2) и имеют определители D=K₁ × K₂ × … × K_m + 1 и D=В₁ × В₂ × … × В_m + 1 соответственно.

Вырождение схем.

В системном  определителе (матрице) схемы возможно появление строк, которые состоят  из элементов, равных нулю. Соответствующая  этому определителю схема называется вырожденной. Таким образом, определитель вырожденной схемы тождественно равен   нулю. С физической точки  зрения принимается, что вырожденной  является схема, в которой развиваются  бесконечно большие токи и напряжения или значения токов и напряжений оказываются неопределенными [8]. Так, внутренние сопротивления управляемой ветви напряжения и ветви управляющего тока равны нулю, поэтому в контуре, содержащем только управляемые ветви напряжения и ветви управляющих токов, создается бесконечно большой ток. С другой стороны, внутренние проводимости управляемой ветви тока и ветви управляющего напряжения равны нулю, поэтому на элементах сечения, образованного только управляемыми ветвями тока и ветвями управляющих напряжений, появляются бесконечно большие значения напряжений.

Метод схемных определителей предоставляет возможность устанавливать вырожденность схемы непосредственно по ее структуре и составу элементов во избежание излишних выкладок [6–8]. Ниже приведены условия вырождения схемы и нейтрализации элементов при замыкании и размыкании ветвей (табл. 1) и в контурах и сечениях (табл. 2).

 

Таблица 2.1. Условия вырождения схемы  и нейтрализации  элементов

при замыкании  и размыкании ветвей

Элемент схемы	Петля	Разомкнутая ветвь
Сопротивление	Выделение	Нейтрализация
Проводимость	Нейтрализация	Выделение
Управляемая ветвь напряжения	Вырождение	Нейтрализация
Ветвь управляющего тока	Вырождение	Нейтрализация
Управляемая ветвь тока	Нейтрализация	Вырождение
Ветвь управляющего напряжения	Нейтрализация	Вырождение
Норатор	Вырождение	Вырождение
Нуллатор	Вырождение	Вырождение

 

Таблица 2.2. Следствия нахождения элементов  схемы в контурах и сечениях

Элемент схемы	Инцидентность элемента
	контуру		сечению
	из управляемой ветви напряжения  или норатора	из ветви управляю-щего тока  или нуллатора	из управляемой ветви тока или норатора	из ветви управляю-щего напря-жения или нуллатора
Сопротивление	––––		Стягивание
Проводимость	Удаление		––––
Управляемая ветвь напряжения	Вырождение	––––	Стягивание	––––
Ветвь управляющего тока	––––	Вырождение	––––	Стягивание
Управляемая ветвь тока	Удаление	––––	Вырождение	––––
Ветвь управляющего напряжения	–––––	Удаление	––––	Вырождение
Норатор	Вырождение	–––––	Вырождение	–––––
Нуллатор	–––––	Вырождение	–––––	Вырождение

 

Схемно-алгебраические формулы.

Любая схемная  функция электрической цепи может рассматриваться как отношение N/D [9]. Числитель N здесь является определителем схемы, в которой независимый источник и ветвь искомого отклика замещаются нуллором, а знаменатель D – определителем схемы с нейтрализованными входом и выходом.

На рис. 2 эти правила проиллюстрированы  схемно-алгебраическими формулами для шести известных схемных функций: коэффициента передачи по напряжению (рис. 2,а), передаточного сопротивления (рис. 2,б), передаточной проводимости (рис. 2,в), коэффициента передачи по току (рис. 2,г), входных проводимости (рис. 2,д) и сопротивления (рис. 2,е) соответственно [170].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2. Схемно-алгебраические формулы символьных схемных функций

 

При наличии  в цепи нескольких независимых источников для применения аппарата схемных определителей следует использовать метод наложения [6].

 

Правило смены знаков в  схемах с НУИ [5]

 

1. 

 

 

2. В схемах, содержащих более  одного направленного нуллора, они должны быть пронумерованы, таким образом, чтобы нораторы и нуллаторы, относящиеся к одному нуллору, имели одинаковые номера:

 

 

 

 

 

 

 

 

При формулировке данного правила ориентация нораторов и нуллаторов не меняется (т. е. они направлены вверх).

 

Примеры

Пример. Найдем определитель схемы:

 

 

 

            

 

                                   

 

 

                                                                                                        

 

 

 

 

 

                                               

 

 

 

 

                      

 

 

                                  

 

 

 

 

 

 

Приложения метода схемных определителей.

Метод схемных определителей используется для решения различных задач теории цепей:

– символьного анализа линейных [5, 6, 10, 11] и нелинейных схем [12];

– диакоптики [13, 14];

– диагностики [14];

– структурного синтеза [3, 15, 16];

– допускового анализа [17, 18];

– аналитического решения линейных алгебраических уравнений [19].

 

 

 

Литература

1. Feussner W. Ueber Stromverzweigung in netzformigen Leitern // Annalen der Physik. – 1902. – Bd 9, N 13. – S. 1304–1329.

2. Feussner W. Zur Berechnung der Stromstarke in netzformigen Leitern // Annalen der Physik. –  1904. – Bd 15, N 12. – S. 385–394.

3. Горшков К.С., Филаретов В.В. Синтез электрических цепей на основе схемного подхода. – LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, 2011. – 242 c.

4. Hashemian R. Symbolic representation of network transfer functions using norator-nullator pairs // Electronic circuits and systems.– 1977.– Vol. 1, No. 6 (November).– P. 193–197.

5. Филаретов  В.В. Топологический анализ электронных  схем методом выделения параметров // Электричество.– 1998.– № 5.–  С. 43–52.

6. Филаретов  В. В. Топологический анализ  электрических цепей на основе  схемного подхода: Дис. … докт. техн. наук 05.09.05 (Теоретическая электротехника) / Ульяновский гос. техн. ун-т, Санкт-Петербургский гос. техн. ун-т. – Ульяновск–Санкт-Петербург, 2002. – 265 с.

7. Tellegen B.D.H. On nullators and norators // IEEE Transactions on circuit theory.– 1966.– CT–13.– N 4.– P. 466–469.

8. Курганов  С. А., Филаретов В. В.  Схемно-алгебраический  анализ, диакоптика и диагностика линейных электрических цепей: Учебное пособие. – Ульяновск: УлГТУ, 2005. – 320 с.

9. Braun J. Topological analysis of networks containing nullators and norators // Electronics letters.– 1966.– Vol. 2, No. 11.– P. 427–428.

10.Filaretov V.V., Korotkov A.S. Generalized parameter extraction method in network symbolic analysis // Proceedings  of  the  European  conference on circuit theory and design (ECCTD–2003).– Kraków, Poland, 2003.– Vol. 2.– P. 406–409.

11. Filaretov V.V., Korotkov A.S. Generalized parameter extraction method in case of multiple excitation // Proceedings   of   the   8–th  international  workshop on Symbolic Methods and Applications in Circuit Design.–Wroclaw (September 23–24).–2004.–P. 8–11.

12 Коротков  А.С., Курганов С.А., Филаретов В.В.Символьный  анализ дискретно-аналоговых цепей  с переключаемыми конденсаторами // Электричество.– 2009.–№ 4.– С. 37–46.

13. Филаретов  В. В. Метод двоичных векторов  для топологического анализа  электронных схем по частям //Электричество.–2001.–№8.–С.33–42.

14. Курганов  С. А. Символьный анализ и  диакоптика электрических цепей: Дис. … докт. техн. наук 05.09.05 (Теоретическая электротехника) / Ульяновский гос. техн. ун-т, Санкт-Петербургский гос. техн. ун-т. – Ульяновск–Санкт-Петербург, 2006. – 328 с.

15. Горшков  К. С. Структурный синтез и  символьный допусковый анализ  электрических цепей методом  схемных определителей: Автореф. дис. … канд. техн. наук / МЭИ (ТУ), 2010.

16. Filaretov V., Gorshkov K. Transconductance Realization of Block-diagrams of Electronic Networks //  Proc.  of International Conference on Signals  and  Electronic  Systems  (ICSES`08).  –  Krakow,  Poland.  –  2008.  – Р. 261–264.

17. Горшков  К.С., Филаретов В.В. Обобщение  метода символьного анализа Миддлбрука для расчета допусков электрических цепей // Электроника и связь: Тематический выпуск «Электроника и нанотехнологии». – Киев, 2010.– №5. – С. 60–64.