Механический резонанс и его применение

Самостоятельная работа по теме: «Механический резонанс и его применение».

Резонансом (Р) называется явление возрастания  амплитуды вынужденных колебаний  в какой-либо колебательной системе  при приближении частоты периодического внешнего воздействия к одной  из частот собственных колебаний  системы.

Характер  Резонанса существенно зависит  от свойств колебательной системы. Простейший случай Резонанса наступает  при периодическом воздействии  на линейную систему, т.е. систему с  параметрами, не зависящими от состояния  самой системы. Примером линейной системы  с одной степенью свободы является масса m, подвешенная на пружине и находящаяся под действием гармонической силы F = F0 cos(wt) (рис. 1). 

Пружинный маятник - механическая колебательная система с одной степенью свободы: 

 Рис. 1 

Уравнение движения такой системы имеет  вид:  ma + bv + kx = F0 cos(wt),  (1)  где x - смещение массы m от положения равновесия; v = dx /dt - ее скорость; a = d2x / dt2 - ускорение; k - коэффициент упругости пружины; b - коэффициент трения. 

Примечание: аналогичное уравнение  имеет место и для колебательных  процессов в электрической цепи, состоящей из последовательно соединенных  индуктивности L, емкости С, сопротивления R и источника электродвижущей силы E, которая меняется по гармоническому закону. Решение уравнения (1), соответствующее установившимся вынужденным колебаниям, имеет вид:  x = [ F0¤(k((1 - w2¤w02)2 + (b2¤m2)(w2¤w04))1/2]cos(wt + j),  (2)  где w0 - собственная частота системы, при малых колебаниях w02 = k¤m; начальная фаза j может быть найдена из выражения tgj = (bw)/(k(1 - w2¤w02)).  

При медленном воздействии (w << w0) амплитуда смещений x0»F0¤k, т.е. смещение массы соответствует статическому растяжению пружины. С увеличением частоты воздействия амплитуда х0 растет, и когда w приближается к значению частоты собственных колебаний системы w0, амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума, т.е. наступает Р. Далее, с дальнейшим увеличением w, амплитуда монотонно убывает и при w ® Ґ амплитуда стремится к нулю. Амплитуду колебаний при Р можно найти из (2) при условии:  w = w0x0 = F0¤(bw0)  =F0Q¤k, где Q - добротность колебательной системы. 

Таким образом, амплитуда колебаний  при Резонансе тем больше, чем меньше затухание (трение b) в системе (рис. 2).  Зависимость амплитуд смещений от частоты внешнего воздействия при различных значениях коэффициента трения b 

Рис. 2 

Примечание: bi < bi-1. 

 При Резонансе устанавливаются  такие фазовые соотношения между  собственными колебаниями системы  и внешней гармонической силой,  что фаза внешней силы совпадает  с фазой скорости собственных  колебаний. С энергетической точки  зрения это означает, что в  систему поступает наибольшая  мощность.

Если  линейная система подвергается негармоническому внешнему воздействию, то Р наступает только тогда, когда в спектре частот этого воздействия содержатся гармоники с частотой, близкой к собственной частоте системы. В линейной системе с несколькими степенями свободы, собственные колебания которой могут происходить с различными частотами (собственные, нормальные частоты), Резонанс наступает при совпадении частоты внешнего воздействия с любой из собственных частот. При наличии в системе двух доминирующих собственных частот резонансная кривая имеет характерный "двугорбый" вид (рис. 3а); в колебательных системах, состоящих из набора звеньев из разных материалов различной формы и сечений, а также с разными контактными условиями, резонансные кривые имеют весьма сложный вид (рис. 3б).  Виды резонансных кривых в колебательных системах при наличии двух доминирующих собственных частот (а) и в сложных системах (b): 

Рис. 3 

Временные характеристики: Время инициации (log to от -5 до 3); Время существования (log tc от -3 до 5); Время деградации (log td от -3 до 3); Время оптимального проявления (log tk от -1 до 1).

Диаграмма:

Технические реализации эффекта

Для наблюдения механического резонанса  достаточно, например, разогнаться  в легковом автомобиле по проселочной  дороге с “гребенкой” от нуля до примерно 60 км/ч. При этом амплитуда  колебания подвески (а соответственно и грохот кузова) будет возрастать примерно до 40 км/ч, и уменьшаться  при дальнейшем росте скорости. 

Это происходит вследствие того, что приблизительно при сорока частота ударов колеса о гребенку совпадает с резонансной  частотой подвески. Последнюю можно  вычислить, померив, характерное расстояние между гребнями гребенки и определив  скорость, сопровождающуюся максимальной вибрацией, по спидометру. Применение эффекта. В дефектоскопии на явлении Р основан принцип действия дефектоскопа - толщиномера (рис. 4). 

Блок-схема резонансного дефектоскопа – толщиномера:  

 Рис. 4 

Обозначения: 1 - генератор частотно-модулированных колебаний; 2 - генератор развертки; 3 - фильтр; 4 - усилитель; 5 - ЭЛТ; 6 - искатель; 7 - контролируемое изделие; 8 - резонансные  пики. 

Пьезокерамический преобразователь, возбуждаемый частотно-модулированным генератором, излучает в изделие  УЗ - волны непрерывно меняющейся частоты. В моменты резонанса, когда на толщине изделия укладывается целое  число полуволн, в исследуемом  объекте резко возрастает амплитуда  колебаний; резонансные пики отображаются на экране осциллографа или дисплее.

В архитектуре и строительстве  явление Резонанса учитывают  при расчете акустических характеристик  помещений (концертных залов и т.д.). При этом основными показателями являются обеспечение с минимумом  энергетических затрат достаточной  силы (интенсивности) звука в заданном спектре частот и время реверберации звука, т.е. продолжительность звучания после прекращения действия источника  звука, определяемое добротностью колебательной  системы. Используя явление Резонанса, можно также гасить нежелательные  колебания, обеспечивать звукоизоляцию. Для этого в определенных частях сооружений, выполненных в виде объемных резонаторов (в так наз. «горле»  резонатора), дополнительно помещают слой звукопоглощающего материала. Также для эффективного поглощения звука применяют облицовочные плиты  с резонансными полостями. Наиболее широко явление Резонанса используется в радиотехнике. Как было отмечено выше, существует прямая аналогия между  механическим Р и Р в электрических цепях. Простейший колебательный контур (рис. 5), состоящий из активного сопротивления, емкости и индуктивности, имеет собственную частоту электромагнитных колебаний W0. 

Электромагнитный колебательный контур: 

 Рис. 5  

Если  в такой контур включен источник периодической э.д.с. с частотой  W, то Р наступает при  W ®  W0. Это явление используется для настройки радиоприемников на несущие частоты различных радиостанций путем изменения собственной частоты контура (обычно регулируют величину емкости).

Следует отметить, что в строительстве, машиностроении, авиации и др. областях техники  механический Резонанс относят к  вредным явлениям, поскольку возникновение  резонансных условий в ряде случаев  может вызвать нежелательные  колебания сооружений и конструкций  с большой амплитудой; деформации и смещения при этом могут достигать  критических значений. Возникают  существенно нелинейные эффекты, которые  могут привести даже к разрушению системы.