Квантування моменту імпульсу

У квантовій фізиці ці принципи, а саме:

НАЯВНІСТЬ МІНІМАЛЬНОЇ ПОРЦІЇ, ПЕРЕДАЧА ТІЛЬКИ ПОРЦІЯМИ, ЗБЕРЕЖЕННЯ ЗАГАЛЬНОЇ  КІЛЬКОСТІ ПОРЦІЙ поширюються на багато фізичних величин.

1.2.1.1.Квантування моменту  імпульсу

Момент  імпульсу електрона, який обертається  навколо ядра атома по коловій  орбіті, дорівнює :

І₀ = /О) = от/₀² О) = т_еиг₀, де/-момент інерції електрона, ш - кутова швидкість, т_е - маса електрона, г₀ - радіус орбіти, V -лінійна швидкість.

Як бачимо з  формули, момент імпульсу може набувати будь-яких значень при неперервній зміні радіуса і швидкості. Так ми міркували, коли описували обертальний рух матеріальної точки в класичній механіці. А виявилось, що момент імпульсу електрона не може набувати будь-яких значень, хоча б тому, що електрону дозволяється рухатися тільки по певних орбітах.

Виявилось, що існує мінімальне значення моменту  імпульсу Ь_т, а всі інші можливі значення моменту імпульсу являють собою дискретну низку значень. Мінімальне значення моменту імпульсу дорівнює СТАЛІЙ ПЛАНКА: 

Ь_т = й = /г / 2тг =1,055 ■ 10~³⁴Дж • с

Дозволені значення моменту імпульсу визначаються ПРАВИЛОМ КВАНТУВАННЯ:

де / - ОРБІТАЛЬНЕ КВАНТОВЕ ЧИСЛО, яке має тільки цілочисельні значення

/ =0,1,2,3...

Як ми побачимо далі, квантується також і напрям вектора моменту імпульсу у просторі.

Під час  вивчення класичної механіки необхідності у такому квантуванні не виникало. Скоріше за все, це тому, що величини моментів імпульсу були величезні порівняно з його мінімальним значенням. Перевіримо це. Для матеріальної точки масою я? = 10^кг, яка обертається зі швидкістю и = 10 м/с по колу радіусом г = 10~'м момент імпульсу буде дорівнювати:

Ь^тиг = 10~³ -10-10"¹ = 10"³Дж -с . Звичайно, це несумірно з квантом моменту імпульсу (Ь_т »10~³⁴ Дж • с).

Більш докладно квантування моменту імпульсу ми обговоримо пізніше, а зараз тільки звернемо увагу на те, що величина мінімальної порції моменту імпульсу визначається сталою Планка.

1.2.1.2. Квантування енергії

Під час  вивчення у середній школі явища  фотоефекту, ви познайомилися з поняттям КВАНТ СВІТЛА або ФОТОН. У слід за Ньютоном, який вважав світло потоком "корпускул", Ейнштейн приймає цю гіпотезу і припускає, що кожен фотон є частинкою з енергією:

Е = Иу.

Цю енергію назвали ЕНЕРГІЄЮ КВАНТА СВІТЛА.

Повна енергія  потоку фотонів буде в ціле число  разів більшою, ніж енергія кванта світла І знову порядок величини мінімальної порції визначається сталою Планка. Можна сказати, що її рейтинг  зростає і незабаром настане той час, коли вона зможе претендувати на звання СВІТОВОЇ КОНСТАНТИ. Такий титул уже має ШВИДКІСТЬ СВІТЛА ,У ВАКУУМІ.

 

На відміну від попередніх квантів квант енергії не є величиною сталою, він залежить від частоти, і розуміння цієї нової обставини тягне за собою цілу низку дивовижних нових обставин.

По-перше, кванти енергії мають різну величину, тому що сам квант енергії залежить від частоти.

По-друге, оскільки частота є характеристикою хвилі, а не частинки, тоді неминуче виникає ідея про зв'язок хвильових та корпускулярних властивостей мікрооб'єктів.

По-третє, оскільки джерелами електромагнітної хвилі є атоми, а спектр випромінювання атомів лінійчатий, тоді атом може випромінювати світло тільки цілком визначених фіксованих частот. Це, у свою чергу, означає, що конкретний атом не може випромінювати, а також поглинати світло будь-яких частот. Звідси випливає, що енергія атома може мати не будь-які, а цілком визначені значення. Говорять, що АТОМ МАЄ КОНКРЕТНИМ ЕНЕРГЕТИЧНИЙ СПЕКТР.

По-четверте, оскільки випромінювання хвилі відбувається під час періодичного руху зарядів (осциляції),то можна вважати, що для осцилятора будь-якої природи можливий тільки дискретний набір дозволених значень енергії.

Можна припустити, що БУДЬ-ЯКИЙ ОСЦИЛЯТОР МАЄ ДИСКРЕТНИЙ ЕНЕРГЕТИЧНИЙ СПЕКТР.

 

 

Нас прав;::, якщо ми можемо задати положення частинки у даній точці з деякою мірою впевненості імовірності), то, мабуть, неможливо говорити про траєкторію руху частинки, як послідовності точок, в яких побувала частинка під час свого переміщення. Поняття траєкторії ; класичному розумінні тепер не прийнятне.

1.2.4. Співвідношення невизначеностей

Співвідношення невизначеностей були сформульовані В.Гейзенбергом у 1927 році. По суті співвідношення невизначеностей є критерієм прийнятності імовірнісних властивостей мікрочастинок.

Як було показано раніше, довжина хвилі де-Бройля для не дуже маленьких частинок дуже маленька. Відповідно і дуже маленька протяжність хвильового пакета. Вона виявляється істотно меншою, ніж розміри самої частинки. Тому немає необхідності визначати ймовірність положення частинки. Придатний класичний опис з точною фіксацією положення частинки у просторі у даний момент часу.

Для дійсно мікроскопічних частинок, таких як електрон, довжина хвилі де-Бройля звичайно набагато більша, ніж розміри частинки:

Я_е =7-10"⁶ м; (і_е = 10~¹⁹м.

Відомо, що ширина хвильового пакета Ах, утвореного набором хвиль, хвильові числа яких лежать у малому інтервалі Ак обернено пропорційна цьому інтервалу. Тобто, із зменшенням інтервалу Ак збільшується ширина хвильового пакета Ах , і навпаки.

Математичне доведення дає таке співвідношення у вигляді нерівності:

Ах-Дк>—.

2

Оскільки к - —, то Ак = — і Й Й

Ар ■ Ах > — , 2

де Ар- середнє квадратичне відхилення частинки імпульсу від його найбільш імовірного значення;

Ах - середнє квадратичне відхилення координати частинки від її найбільш імовірного значення.

Як відомо, при великій кількості вимірювань значення будь-якої фізичної величини, її найбільш імовірне значення дорівнює середньому арифметичному, а середнє квадратичне відхилення дорівнює дисперсії, якщо виконується розподіл Гауса.

Формула, що зв'язує Ах і Ар називається: СПІВВІДНОШЕННЯ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ ДЛЯ ІМПУЛЬСУ І КООРДИНАТИ.

Можна говорити: Ар - це невизначеність в значенні імпульсу,

А х - це невизначеність в значенні координати.

Тоді співвідношенню невизначеностей можна надати таку фізичну інтерпретацію: НЕ МОЖЕ ІСНУВАТИ СТАН, У ЯКОМУ КООРДИНАТА ТА ІМПУЛЬС ЧАСТИНКИ ОДНОЧАСНО МАЮТЬ ТОЧНІ ЗНАЧЕННЯ

Якщо точніше визначено положення частинки (мала ширина хвильового пакета),тоді більше невизначеність у визначенні імпульсу.

Такого у класичній механіці й не чули!

І це далеко не останнє дивовижне положення квантової механіки. Співвідношення невизначеностей - це пряме слідство існування хвильових властивостей мікрочастинок.

Оскільки існування хвильових властивостей чудово підтверджується експериментально. тон. неминуче доведеться звикати до того, що так воно і є насправді в цьому чудовому і дивовижному світі квантових мікрочастинок.

Хвильовий пакет можна зобразити, як і хвилю, в інших координатах, а саме - у координатах зміщення 5 - час ґ. Тоді "ширина" хвильового пакета буде визначатися інтервалом часу Д/, а форма пакета буде визначатися циклічною частотою ю, яка у свою чергу пов'язана з енергією відомою формулою:

Е = к V = йсо.

Розмірковуючи аналогічно, можна прийти до висновку про існування СПІВВІДНОШЕННЯ НЕВИЗНАЧЕНОСТЕЙ ДЛЯ ЕНЕРГІЇ І ЧАСУ.

АЕМ>И.

Фізичне значення співвідношення невизначеностей для енергії і часу можна пояснити таким чином. Енергія "хвилі-частинки" величина імовірнісна. Система з певною імовірністю може знаходитися у стані з енергією Е, але може знаходитися і у стані з енергією, що дорівнює Е ± А.Е. Із зменшенням "часової ширини" хвильового пакета Д/, збільшується можливість відхилення енергії від Е.

ЕНЕРГІЯ ЧАСТИНКИ МОЖЕ БУТИ ВИЗНАЧЕНА ТИМ ТОЧНІШЕ, ЧИМ БІЛЬШЕ ЧАСУ ЧАСТИНКА БУДЕ ЗНАХОДИТИСЬ У СТАНІ З ЦІЄЮ ЕНЕРГІЄЮ Іноді співвідношення невизначеностей трактують як неможливість одночасного точного вимірювання імпульсу і координати, а також енергії і часу із-за взаємодії з макроскопічним вимірювальним приладом.

На наш погляд, краще все ж таки вважати, що співвідношення невизначеностей - це відображення двоїстої природи матерії.

Співвідношення невизначеностей виявились дуже корисними при розгляданні збуджених станів атомів і ядер. Такі стани нестабільні. Квантова система може бути у збудженому нестабільному стані протягом деякого СЕРЕДНЬОГО ЧАСУ ЖИТТЯ. За співвідношеннями невизначеностей цьому інтервалу часу відповідає деяка невизначеність в енергії. Із зменшенням часу життя у цьому енергетичному стані збільшується невизначеність в енергії цього стану.

Інакше кажучи: ЗБУДЖЕНИЙ ЕНЕРГЕТИЧНИЙ РІВЕНЬ МАЄ ДЕЯКУ ШИРИНУ. Коли система переходить в інший стан, то різниця енергії буде теж мати деяку "ширину". Зокрема, це призводить до того, що з'являється ПРИРОДНА ШИРИНА СПЕКТРАЛЬНОЇ ЛІНІЇ ВИПРОМІНЮВАННЯ.

Зробимо висновки з обговорення основних принципів і положень квантової фізики.

1. Фізичні величини кратні певним мінімальним порціям (квантам).
2. Мікрочастинки виявляють як хвильові, так і корпускулярні властивості.
3. Хвильові і корпускулярні характеристики пов'язані однаково для мікрочастинок будь-якої природи (хвилі де-Бройля).
4. Властивості мікрооб'єктів мають імовірнісний характер.
5. Хвильовою подібністю може бути хвильовий пакет.
6. У зв'язку з імовірнісним характером фізичних властивостей існують обмеження на одночасне точне визначення імпульсу і координати, а також енергії і інтервалу часу (співвідношення невизначеностей).
7. Усі формули, що з'єднують хвильові та корпускулярні характеристики, а також визначення величин квантів, містять СТАЛУ ПЛАНКА И.

 

1.3.3. Стала Планка — критерій застосування квантової фізики

Величина сталої Планка "мала". Але це лише тому, що системи  одиниць вимірюванню ьвелені для "макроскопічних" класичних об'єктів. А стала Планка призначена для характеристики мікросвіту, де панують квантові закономірності. Тому можна вважати, якщо у даній фізичній системі чисельне значення будь-якої фізичної величини, що має розмірність

"дії", порівняне із сталою Планка, то поведінку цієї частинки треба описувати квантовими закономірностями.

І навпаки, якщо значення цієї величини дуже велике порівняно з Й, тоді досить застосовна к<span class="dash041e_0441_043d_043e_0432