Коефіцієнти Ейнштейна

Коефіцієнти Ейнштейна 

      Щільність енергії випромінювання на частоті  зі заданою поляризацією, яка включає в себе всі можливі напрямки, в яких присутнє поле випромінювання становить :

      Якщо  поле випромінювання таке, що його напрямок, як і у випадку лазерних пучків  лежить в середині невеликого кута , то щільність буде близькою до кута . Відповідно проінтегрувавши рівність (де постійна представляє собою один з диференціальних коефіцієнтів Ейнштейна) і з врахуванням всіх можливих напрямків випромінювання  отримуємо ймовірність поглинання за одиницю часу :

      Рівність (2) застосовують у випадку лазера зі плоским хвильовим фронтом  і для розбіжних пучків. 

      Ймовірність переходу з рівня  на (невироджений) рівень в одиницю часу визначається рівністю :  

 де - матричний елемент електричного моменту, - кут між вектором та електричним вектором випромінювання.

     Обидві  рівності (2) і (3) дають ймовірність переходу між рівнями і в одиницю часу, а також з них ми можемо  знайти :

     Розглянемо  пучок випромінювання, що розповсюджується в напрямку та вектор  ,  які зображено на рис.1. Нехай один з обраних напрямків поляризації є нормаллю до напрямку  вісі пучка і лежить в площині, що містить в собі центральний промінь пучка та вектор . Припустимо, що напрямок іншої поляризації перпендикулярний до цієї площини. Так як кут між напрямком поляризації і вектором становить , а - кут між і напрямком розповсюджуючого   поглинаючого випромінювання, то ми отримуємо :   

      . 
 
 
 
 
 
 
 

Рис.1  Класичне представлення про відносну орієнтацію

електричного диполя і вектора електричного поля випромінювання. 

     Розглядаючи напрямок за допомоги (4) знаходимо, що :

      Для напрямку  ( ) із (4) ми отримуємо :

      Ймовірність спонтанного випромінювання фотона з поляризацією   в кут отримуємо шлях комбінування рівності (постійна теж представляє собою один з диференціальних коефіцієнтів Ейнштейна) з , та з , які дають для поляризованого випромінювання в напрямку :

      Якщо  рівні  , вироджені, то нам необхідно взяти суму по всім переходам . Спонтанне випромінювання виникає у всіх напрямках, тому повна ймовірність спонтанної емісії в секунду отримується після інтегрування по всім напрямках : 

      Це  вираження дає коефіцієнт Ейнштейна  для спонтанного випускання на частоті  . Рівність (8) виводиться наступним чином. Використовуючи, той факт що ,  звідки , то :

і звідки ми отримаємо  (8).

      Коефіцієнт  Ейнштейна для поглинання ізотропного  неполяризованого випромінювання  з частотою є :

де сумування  ведеться по всім напрямкам  і по двом поляризаціям . Коефіцієнт Ейнштейна для вимушеного випускання  рівний :

 На практиці, взагалі кажучи, поле випромінювання характеризується деяким розподілом частот, і відповідно, ймовірність вимушеного випромінювання або поглинання , проте дану рівність необхідно записувати більш чіткіше, тобто , де - коефіцієнт Ейнштейна, а - щільність енергії, як функція частоти. Ці величини можуть бути як, повільно змінюючимися функціями, так і сильно залежати від частоти в межах ширини лінії. Якщо поле випромінювання володіє широкою частотною смугою у порівняні зі шириною атомних рівнів, що характеризуються функцією , то можна рахувати,  що константа і винести цю величину за знак інтеграла  . Якщо ж випромінювання  має досить вузьку ширину спектра, як наприклад у випадку лазера, то можна записати, що .                   
 
 
 
 
 
 

Рис.2  Елементарний тілесний кут