Представление о кластерах в материаловедении основано на понятии их фрактальной структуры. Такие кластеры обладают следующими свойствами: экстенсивной плотностью[Экстенсивная величина – величина, значение которой зависит от  ее размеров], большой удельной поверхностью, а также характеристикой, называемой «магические числа».

    Сравнение экспериментально измеренных масс атомных  ядер с результатами расчетов по формуле  Вайцзеккера показывает, что наблюдаются систематические различия между экспериментальными данными и результатами теоретических расчетов, обусловленные оболочечной структурой атомных ядер. Оказалось, что в атомных ядрах также как и в атомах есть оболочки. Ядра, имеющие полностью заполненные оболочки, связаны более сильно по сравнению со своими соседями. Числа нейтронов или протонов, соответствующие заполненным оболочкам, были названы магическими числами. Это числа :

    2, 8, 20, 28, 50, 82 и 126.

       Первые шесть чисел одинаковы  для нейтронов и протонов. Число  126 соответствует заполненной нейтронной  оболочке. Эти магические числа  были получены для ядер вблизи  долины стабильности.

         В том случае, когда число нейтронов  N или число протонов Z равно одному  из магических чисел, ядро называется  магическим. В том случае, когда  и N  и Z равно магическому  числу, ядра являются дважды  магическими. Ядра 4He, 16O, 40Ca являются  самосопряженными магическими ядрами.

Фрактальная размерность кластеров

     При рассмотрении реальных физических систем, диаметр  покрывающего множества (шаг для  масштаба) r ® 0, но все же обладает конечным размером r₀ (радиус частицы, молекулы, атома). Математическая линия заменяется цепочкой молекул длиной L = 2R, число частиц в цепи .

      Круглый диск радиуса R содержит частиц, сфера —  частиц. Эти соотношения применимы только в пределе, ибо круг, сфера заполнены частицами приближенно (имеются пустоты). 

      Если размер кластера оценивать  по радиусу R наименьшей сферы, содержащей его внутри себя, то соотношение между числом частиц и размером кластера будет , .

    Следует особо подчеркнуть, что если кластер  пористый или случайный, то это само по себе еще не означает, что он фрактальный. Фрактальный кластер отличается тем свойством, что с ростом размеров его плотность убывает по степенному закону

     ,           (4)     

где  — плотность материала частиц кластера;  —средний радиус частиц; d — евклидова размерность пространства.

    Зависимость (4) означает, что с ростом выделенного  объема кластера R, в нем будут возникать пустоты все большего размера, это, в свою очередь, приведет к уменьшению относительного объема, занятого веществом. Плотность фрактального кластера убывает с ростом расстояния от начала (центра).

    Ясно  также, что в реальном образце  материала фрактальность структуры  будет проявляться при размерах .  — граничный размер (может быть найден из (4)). На расстояниях фрактальность структуры не чувствуется и материал можно считать в среднем однородным.

    Существует  тесная связь между теорией перколяции и теорией фракталов. Вблизи критической точки x_c, систему можно рассматривать как фрактальную, самоподобную на масштабах < r < x, x— радиус корреляции (x² — среднее квадратов расстояний между занятыми узлами, где R характеризует наибольшее из этих расстояний).

    Перколяционные кластеры относятся к классу фрактальных кластеров. Фрактальная размерность перколяционного кластера может быть выражена через критические индексы b и n. Мощность перколяционного кластера, т. е. доля узлов или объема, принадлежащих кластеру, и есть, собственно, плотность кластера. При изменении радиуса корреляции x, т. е. концентрации x, эта плотность в соответствии с P ~ (Р — мощность перколяционного кластера) и x ~ (из пункта «Перколяция»), меняется как   ~                (5)

В соответствии с (4), плотность фрактального кластера изменяется по закону     ~  .     (6)

    Приравняв правые части (5) и (6), получим выражение  для определения фрактальной  размерности перколяционного кластера   .                      (7)

    Фрактальная размерность перколяционного кластера для двумерного пространства: D(2) = 1.90, а для трехмерного D(3) = 2.54.  

    Перколяция - проникновение, проницание, протекание. Теория перколяции описывает возникновение бесконечно связных структур (кластеров), состоящих из отдельных элементов. Представьте пористый материал, через который просачивается жидкость. Пройдёт ли жидкость с одного края материала до другого, зависит от плотности материала, количества хаотично, но статистически равномерно расположенных стенок и лакун. Выше какого-то уровня плотности жидкость будет просачиваться на большее или меньшее расстояние внутрь материала, хаотически расположенные стенки статистически могут образовывать замкнутые полости разного размера. Но весь кластер ещё не будет связан (рис. 3). Любые полости будут замкнуты. Жидкость не просочится сквозь материал. Ниже определённого критического значения плотности весь кластер оказывается связан, лакуны сливаются в одно целое, и кластер становится проницаем (рис. 4). Это значение плотности, после которой кластер становится проницаем, называется порогом перколяции. Говорят, что происходит перколяционный переход. Теория перколяции важна именно в окрестности перехода, перколяционный переход аналогичен фазовому переходу второго рода. Незначительная перестройка, требующая минимума энергии, сделает перколяционный кластер проницаемым в определённом направлении для каких-либо потоков материи, энергии или информации, обратная перестройка изолирует систему. Перколяционный кластер - хаотичный фрактал. Такие характеристики, как фрактальная размерность, лакунарность могут использоваться для описания свойств кластера. 

Список  литературы и источников:

1.     "Кластеры: получение и реакционная способность" Смирнов В.В., Тюрина Л.А., 2002г

2.     "Нанотехнологня: физико-химия нанокластеров" Суздалев Игорь Петрович, 2006г.

3.         Ю.А. Каретин. Синергетика. Курс лекций для биологов.

4.       http://thesaurus.rusnano.com/wiki/article947

5.           http://www.aurastudia.ru/stat/27.html