ЭКЗАМЕН ПО ФИЗИКЕ II

 
 

КЛАССИЧЕСКАЯ  ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ 

Общие сведения 

     Классическая  теория электропроводности металлов называют по имени создателей теорией Друде−Лоренца. Металл рассматривается как состоящий  из положительных ионов, совершающих  колебания относительно положения  равновесия, и свободных электронов. При этом свободные электроны  − одноатомный идеальный газ. Принято считать, что электроны  сталкиваются преимущественно не друг с другом, а с ионами кристаллической решетки. В результате устанавливается термодинамическое равновесие между электронным газом и кристаллической решеткой. Естественно используются результаты молекулярно-кинетической теории идеального газа. Средняя скорость хаотического движения при T = 300 K, определяемая по формуле, . При наличии поля на скорость хаотического движения накладывается скорость упорядоченного движения, так что

      .      (1)

     Величину  скорости упорядоченного движения можно оценить по формуле

      .     (2)

     Предельная  допустимая техническими нормами плотность  тока для медных проводов составляет около 10 А/мм² = 10⁷ А/м². Приняв n = 10²⁹ м^-3, получим υ = 10^-3 м/с.

     Таким образом, даже при больших плотностях тока средняя скорость упорядоченного движения зарядов в 10⁸ раз меньше средней скорости теплового движения. Незначительная средняя скорость обусловлена очень частыми столкновениями свободных электронов с ионами.

     Включение поля − изменение поля порождает  электромагнитную волну, которая распространяется со скоростью 3∙10⁸ м/c. поэтому движение электронов в проводах возникает на всем его протяжении практически одновременно с подачей сигнала. 

     Закон Ома в классической электронной теории

     Примем, что при соударениях с ионами электроны полностью передают кинетическую энергию, приобретенную при равноускоренном  движении за среднее время τ свободного пробега. На электрон действует электрическая сила F = eE

     Отсюда  средняя скорость равноускоренного движения

      ,      (1)

     где − средняя максимальная скорость, приобретаемая электроном за время свободного пробега.

     Принимая, что все электроны движутся с  одинаковой средней скоростью и учитывая, что u << , получим

            (2)

     где − средняя длина свободного пробега электрона.

     Тогда

      .      (3)

     Тогда плотность тока

      = .      (4)

     В векторном виде

      = = σ ,     (5)

     где σ = − удельная проводимость материала.

     Отсюда  удельная проводимость σ материала  тем больше, чем больше концентрация электронов и дина свободного пробега. 

     Закон Джоуля−Ленца 

     Кинетическая  энергия, которую приобретает электрон под действием поля,

      .    (1)

     При соударении электрона с ионом  эта энергия полностью передается решетке и идет на увеличение внутренней энергии металла, то есть идет на его  нагревание.

     За  единицу времени электрон испытывает столкновений с ионами

           (2)

     Если  n − концентрация электронов, то в единице объема происходит

 столкновений в единицу  времени и решетке передается  энергия

= n E_кин..     (3)

Подставив (1) в (3), получим закон Джоуля−Ленца в  дифференциальной форме

. 
 
 
 
 
 
 
 

Закон Видемана−Франца 

     Металлы обладают как большой проводимостью, так и высокой теплопроводностью. Это объясняется тем, что носителями тока и теплоты в металле являются одни и те же частицы − свободные  электроны, которые переносят как  электрический заряд, так и энергию  хаотического движения.

     Г. Видеман и Р. Франц в 1853 г. экспериментально установили, что отношение коэффициента теплопроводности χ к удельной проводимости σ одинаково

     χ/σ = С.       (1)

     В дальнейшем Г. Лоренц показал, что отношение  χ/σ для металлов прямо пропорционально  их абсолютной температуре

       χ/σ = С₁T.       (2)

Этот закон  может быть получен в классической электронной теории. Согласно, молекулярно-кинетической теории (явления переноса),

χ =         (3)

Удельная проводимость материала 

σ = .       (4)

Подставив (3) и (4) в (1), получим

χ/σ = .      (5)

В теории Друде−Лоренца  u = υ_кв. Поэтому

     (6)

Из (5) и (6) получим

χ/σ = .      (7)

Формула (7) совпадает  с (2), если принять, что 

С₁ =

.

Эта величина оказалась достаточно близкой  к экспериментальным

данным. Закон согласуется с экспериментом  в ограниченном интервале температур.  
 

Недостатки  классической электронной  теории металлов 

1. Зависимость удельного сопротивления  металлов от температуры

Экспериментально  установлено, что удельная проводимость σ обратно пропорциональна абсолютной температуре T, а ρ ~ T.

Но в классической теории проводимости . а . Поэтому, если использовать выводы классической электронной теории проводимости, σ = ~ , а ρ ~ .

  Таким образом, классическая электронная  теория не объяснила температурной  зависимости от температуры удельного  сопротивления металлов. 

2. Теплоемкость  металлов. Согласно электронной теории

проводимости, молярная теплоемкость металла должна складываться из теплоемкости ионной кристаллической решетки  (закон Дюлонга и Пти)  и теплоемкости электронного газа   Из опытов молярная теплоемкость твердого тела определяется законом Дюлонга и Пти. Получается, что энергия хаотического движения электронов не изменяется при изменении температуры. Этот вывод в классической теории проводимости также объяснить невозможно. 

3. Длина свободного пробега  электронов. Проблемы также возникли

при оценке средней длины свободного пробега электронов в металле. Чтобы  получить значения удельной проводимости совпадали с экспериментальными, нужно, чтобы длина свободного пробега электронов в сотни раз большей, чем период металла. Следовательно, предполагается, что электрон проходит без соударения с ионами решетки сотни межузельных расстояний. Такое предположение также непонятно в рамках теории Друде−Лоренца. 

4. Закон Видемана−Франца. Этот закон согласуется с экспериментом в ограниченном интервале температур.

Эти недостатки ликвидируются в квантовой  теории проводимости, где учитывается  взаимодействие электронов между собой.

Зоммерфельд , используя квантовую теорию проводимости, показал, что коэффициент не 3, а π²/3.