Касательное напряжение

Лекция 10 (продолжение - 10.2)

Максимальные касательные  напряжения - Существуют площадки, в  которых касательные напряжения достигают максимальных 
значений. Для определения их положения достаточно положить нулю первую производную касательных напряжений по углу наклона:

Поскольку тангенс  имеет одинаковые значения для углов, отличающихся друг от друга на 180°, полученное выражение определяет две 
площадки, отличающиеся друг от друга на 90°. Таким образом, обе площадки взаимно перпендикулярны. Хотя в этих площадках в общем 
случае нормальные напряжения на обращаются в ноль, площадки, в которых касательные напряжения максимальные, 
называют площадками сдвига. Определим угол между площадкой сдвига и главной площадкой.

Сравним формулы  для углов наклона главных площадок и площадок сдвига:

Поскольку правые части 
обратные друг другу, то  

   Таким образом, площадки сдвига повернуты относительно главных площадок на угол 45°. 
Для определения величины максимальных касательных напряжений надо найти значения угла через arctg(...) и подставить в исходное выражени( 
для касательных напряжений, но проще принять в качестве исходного состояния главные площадки и перейти к площадкам сдвига:  

При подстановке  угла 135° или -45° (вторая площадка сдвига) получим тот же результат, но с  обратным 
знаком. Таким образом, вновь соблюдается закон парности касательных и в общем случае можно записать:  
 

Подставим выражения 
для главных напряжений:

Понятие о круге  Мора для напряжений- Существуют графический  способ определения положений главных  площадок и напряжений, а 
также напряжений по любым другим площадкам. Способ основан на том, что зависимость между нормальными и касательными 
напряжениями описывается уравнением II порядка, а именно уравнением окружности:

Итак , получили уравнение 2-ого порядка:  

Сравните его  с уравнением окружности: