Изучение закона распределения случайных величин. Основыне характеристики распределения

Лабораторная  работа № 1 

ИЗУЧЕНИЕ  ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ  СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

Цель  работы

1. Построить гистограмму для времени реакции  человека на сигнал (световой, звуковой).
2. Ознакомиться с приемами статистической обработки результатов прямых измерений.
3. Рассчитать среднее арифметическое значение времени реакции на свет и на звук, дисперсию среднего, среднеквадратичную погрешность среднего, доверительный интервал.

Теоретическое введение

      Цель  любого измерения - получить значение какой-либо физической величины. Все измерения неизбежно сопровождаются появлением погрешности, поэтому при измерении получают не истинное, а лишь приближенное значение величины. Задача экспериментатора определить значение величины, наиболее близкое к истинному, а также указать погрешность этого значения. Краткие сведения о погрешностях измерений, их классификации можно найти в пособиях [6] - [8].

      В теории погрешности показано, что  наиболее близким к истинному  является среднее арифметическое значение из результатов эксперимента:

       , (1)

где: n - число опытов, x_i - экспериментальное значение измеряемой величины.

      Дисперсией  среднего является величина

       .  (2)

Среднеквадратичная  или стандартная погрешность  среднего S_<X> равна

        (3)

      Обычно  в эксперименте число измерений  невелико, поэтому для оценки погрешности  данной серии измерений вводят коэффициент  надежности a и доверительный интервал Dx.

      Значение  коэффициента надежности a задает экспериментатор: 0.95 ³ a ³ 0.90 является достаточным уровнем.

      Значение  доверительного интервала рассчитывается по формуле:

      Dx = t(a, n)×S_<X>, (4)

где: t(a, n) - коэффициент Стьюдента, зависящий от коэффициента надёжности a и числа измерений n. Значение коэффициента Стьюдента приводятся в пособии [6, стр.28].

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

      Внешний вид установки приведен на рис.1. Основными её элементами являются электрическая  лампа 1, звонок 2, електросекундомер 3. Оператор с помощью переключателя 4 может включить либо лампу, либо звонок. Одновременно включается секундомер 3, определяющий время свечения лампы или длительность звонка.

      

      

Рис. 1

      Испытуемый  выключателем 5 должен отключить лампу  или звонок и связанный с ними секундомер. Время реакции испытуемого на сигнал - промежуток времени от включения лампы или звонка до их отключения - фиксируется секундомером.

      Всем  студентам группы следует 3-5 раз  определить свою реакцию на световой и звуковой сигналы и записать результаты измерений в таблицу формы 1.

      Данные  измерений всех студентов преподаватель (оператор) сводит в одну таблицу, которую  назовем выборкой объема n из генеральной  совокупности (при n ® ¥). Выборка является репрезентативной, представительной, если n » 50. Выборка доводится до всех студентов, как исходный материал для обработки.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

1. Построить гистограмму для времени реакции на световой сигнал (или звуковой).

      Гистограмма имеет вид, изображенный на рис.2. На оси абсцисс - значения измеряемой величины x, на оси ординат - число измерений n_i, в которых отсчёты попадут в интервал d_X.

      

Рис. 2

      При построении гистограммы можно использовать ПМК или проделать вычисления описанные ниже (по выбору исполнителя работы).

В полученной выборке t₁, t₂, ..., t_n надо определить t_min и t_max и разбить эту область значений на равные интервалы dt. Затем значения в выборке разбить по интервалам и найти n_i для каждого интервала. Полученные данные удобно занести в таблицу формы 2. 
 
 
 

 

Примечание: Условимся, что левый конец интервала замкнут, правый разомкнут, т.е. значения, отвечающие правому концу интервала, учитываются в последующем интервале.

      По  данным таблицы формы 2 построить гистограмму и провести по ней плавную кривую эмпирического закона распределения. Кривая проводится через середины интервалов в верхней части прямоугольников, составляющих гистограмму. Сделать вывод о характере закона распределения.

2. Рассчитать  среднее арифметическое значение <t> времени реакции на световой и звуковой сигнал по данным таблицы формы 1 (1).

3. Рассчитать  дисперсию среднего, среднеквадратичную  погрешность среднего и доверительный  интервал по формулам (2)-(4).

4. Определить  границы доверительного интервала <t>-Dt; <t>+Dt.

5. Записать  результат прямого измерения  в принятой стандартом форме:

      Полученное  значение Dt следует дальше учитывать в лабораторном практикуме как погрешность измерения времени при включении и выключении секундомера.

Расчёт по формулам (1)-(3) рекомендуется провести на ПМК по программе “Среднее-1”. 

Программа “Среднее - 1” 

 

ИНСТРУКЦИЯ:

1. Ввести программу и перейти в автоматический режим.
2. Дать команды В/О С/П.
3. Ввести первое значение x_i из ряда значений, подвергаемых усреднению.
4. Дать команду С/П - индицируется значение <x>.
5. Дать команду С/П - индицируется значение S²_<Х>.
6. Дать команду С/П - индицируется значение S_<Х>. После ввода первого значения x_i индицируется ЕГГОГ (ошибка) вследствие деления на n-1 = 0, т.к. n = 1. Повторите команду С/П - индицируется 0.
7. Дать команду С/П - индицируется номер следующего вводимого числа x_i.
8. Ввести следующее значение x_i и далее действовать как указано в п.4.
9. Для другой серии значений x_i повторить действия, начиная с п.2.

 

КОНТРОЛЬНЫЙ ПРИМЕР: x_i = 1.38; 1.74; 1.10; 3.30; 1.50; 1.42; 1.80; 1.70; 1.75.

РЕЗУЛЬТАТЫ: <x> = 1.7433333; S²_<Х> = 4,338335*10^-2; S_<Х> = 2.0876625*10^-1.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

1. Используя  указания [6, п.2.4.4, с.29], оцените минимальное  число измерений n_min, которое необходимо было бы провести, чтобы при заданном коэффициенте надежности a₁=0.90 и a₂=0.95 средняя погрешность Dt была бы не более 0.001. Среднеквадратичную погрешность отдельного измерения рассчитать по формуле

.

2. Используя  указания [6, п.2.4.5, с.29] произвести выявление  промахов среди результатов измерений  в выборке. 
 
 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 

1. Дайте классификацию погрешностей.
2. Что значит выборка? гистограмма?
3. Как рассчитать дисперсию среднего? среднеквадратичную погрешность среднего? доверительный интервал?
4. Каков смысл коэффициента надежности?
5. Какова форма записи результата прямого измерения? Косвенного измерения?

ЛИТЕРАТУРА

[6], [7], [8] - см. метод. указания 3979.