Изучение основного закона вращательного движения на маятнике Обербека

 

 

 

 

 

 

Лабораторная  работа по физике №5

Изучение основного  закона вращательного движения на маятнике Обербека.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лабораторная работа №5

Тема: Изучение основного закона вращательного движения на маятнике Обербека.

Цель: Экспериментальная проверка основного закона динамики вращательного движения, определение опытным путем момента инерции системы и сравнение его с расчетным.

Оборудование: прибор Обербека, грузы, штангенциркуль, линейка, секундомер (или частотомер-хронометр)

 

Краткая теория:

 

Пусть      М – момент сил, действующих на систему в момент времени t,

                 L – соответствующий момент импульса системы,

                 J – момент инерции системы относительно оси вращения,

                ω – угловая скорость вращения системы относительно той же оси.

Тогда основой  закон динамики вращательного движения записывается в виде

                  (1)

Т.е. изменение  вектора момента импульса системы 

Равно импульсу момента внешних сил Если момент инерции системы J не изменяется во времени, то запись основного уравнения динамики вращательного движения упрощается

     (2)

Где            М – суммарный момент вех сил, вращающих тело вокруг данной оси;

                   Е – угловое ускорение.

      Моментом инерции тела относительно  выбранной оси называется скалярная  величина, равная сумме произведений  массы каждой точки тела на  квадрат расстояния от нее  до оси вращения

                                       

В пределе эта сумма превращается в интеграл

                                          

Величина  или называется моментом инерции точки относительно той же оси вращения.

       Физический смысл  момента инерции тела становится  понятным  из сравнения выражений  основного закона динамики  вращательного  движения (1) и второго закона Ньютона  . Момент инерции тела при вращательном движении играет ту же роль что и масса тела при поступательном движении, т.е. является мерой Инертности тела при вращении.

 

Описание установки:

Рис. 1

Прибор Обербека: 1 – Крестообразный маятник; 2 – Цилиндры; 
3,4 – шкивы; 5 – Нить; 6 – Чашечка для груза. 

 

 

 

 

 

 

 

Если намотать нить на шкив, подняв чашечку с грузом Р над полом на высоту h, затем позволить ей падать, то на маятник начнет действовать вращающий момент

                                                     

Где

         r – радиус шкива, на который намотана нить;

         Т – сила натяжения нити (сила, приложенная по касательной к шкиву)

Чтобы найти  натяжение нити Т, рассмотрим движение чашечки с грузом Р.

                                                     

Пренебрегая силой трения, получаем:

                              .

Тогда момент силы, действующей на маятник, имеет величину

                              .

Угловое ускорение маятника, приобретенное под действием этого, может быть выражено через тангенциальное ускорение точек окружности шкива(или линейное ускорение груза Р)

                                     .

Ускорение можно найти, считая движение груза равноускоренным, если известно время t,

В течении которого груз проходил расстояние h.

                                      .

И, наконец, используя основное уравнение  вращательного движения, по М и ε можно вычислить момент инерции системы.

     Момент сил трения  обычно оказывается довольно  велик и способен исказить  результаты опыта. Уменьшить относительную  роль момента сил трения при  данной конфигурации установки  можно было бы увеличив массу  m. Однако здесь приходится принимать во внимание два обстоятельства:

     А) увеличение массы  приведет к увеличению давления  маятника на ось, что, в свою  очередь вызывает возрастание  сил трения;

     Б) с увеличением  m уменьшается время падения и снижается точность измерений.

В дальнейшем вместо (2) мы будем использовать уравнение

                         

В котором момент силы трения записан  в явном виде.

 

Ход работы:

1) Измерим  радиусы шкивов

r1=41,9 мм

r2=83 мм

2)проведем измерения и вычисления

 

1 случай

 

m,кг	r,м	h,м	t,c	a,м/с2	ε,с-2	М,н м	(M-Mср)* ε	(M-Mcр)2	(ε -b*M-a)2
0,0940	0,021	0,45	4,759	0,040	1,892	0,019	-0,0629	0,00110364	6,29955E-05
			4,891	0,038	1,792	0,019	-0,0595	0,00110337	0,008710245
			5,350	0,031	1,497	0,019	-0,0497	0,00110256	0,151337247
			4,715	0,040	1,928	0,019	-0,0640	0,00110374	0,001900678
			4,089	0,054	2,563	0,019	-0,0852	0,00110549	0,465423592
	0,0415		2,218	0,183	4,408	0,038	-0,0659	0,00022358	0,103724357
			2,363	0,161	3,884	0,038	-0,0577	0,00022105	0,045190806
			2,403	0,156	3,756	0,038	-0,0558	0,00022043	0,117860717
			2,510	0,143	3,442	0,038	-0,0509	0,00021892	0,439306886
			2,381	0,159	3,825	0,038	-0,0568	0,00022076	0,074105943
0,1488	0,021		3,846	0,061	2,897	0,030	-0,0639	0,00048592	0,111695285
			3,931	0,058	2,773	0,030	-0,0611	0,00048556	0,210803943
			3,642	0,068	3,231	0,030	-0,0713	0,00048688	4,4242E-06
			3,712	0,065	3,110	0,030	-0,0686	0,00048653	0,014295301
			3,801	0,062	2,966	0,030	-0,0654	0,00048611	0,070040978
	0,0415		1,844	0,265	6,378	0,059	0,0411	0,00004143	0,08201601
			1,798	0,278	6,708	0,059	0,0426	0,00004035	0,002952758
			1,931	0,241	5,816	0,059	0,0383	0,00004330	0,749067792
			1,812	0,274	6,605	0,059	0,0421	0,00004068	0,002715515
			1,856	0,261	6,296	0,059	0,0407	0,00004170	0,137736554
0,2036	0,021		3,206	0,088	4,170	0,042	-0,0456	0,00011965	0,160345576
			2,773	0,117	5,573	0,041	-0,0617	0,00012242	1,037515339
			2,907	0,107	5,071	0,041	-0,0559	0,00012143	0,261297289
			2,762	0,118	5,618	0,041	-0,0622	0,00012251	1,131135554
			3,158	0,090	4,297	0,042	-0,0471	0,00011990	0,073622248
	0,0415		1,543	0,378	9,109	0,080	0,2476	0,00073913	0,003176405
			1,552	0,374	9,003	0,080	0,2451	0,00074114	0,027605419
			1,581	0,360	8,676	0,080	0,2372	0,00074740	0,257302267
			1,484	0,409	9,848	0,079	0,2652	0,00072511	0,509145303
			1,597	0,353	8,503	0,080	0,2330	0,00075072	0,472711045
0,2584	0,021		2,727	0,121	5,763	0,053	0,0004	0,00000000	0,01785814
			2,627	0,130	6,210	0,053	0,0001	0,00000000	0,102152574
			2,519	0,142	6,754	0,052	-0,0003	0,00000000	0,758659019
			2,635	0,130	6,173	0,053	0,0001	0,00000000	0,079211007
			2,583	0,135	6,424	0,053	0,0000	0,00000000	0,287209541
	0,0415		1,405	0,456	10,986	0,100	0,5252	0,00228501	0,440599892
			1,490	0,405	9,768	0,101	0,4722	0,00233711	3,789958418
			1,215	0,610	14,691	0,099	0,6780	0,00213011	10,49472184
			1,281	0,548	13,216	0,099	0,6186	0,00219112	2,841429143
			1,479	0,411	9,914	0,101	0,4786	0,00233084	3,215260719
		среднее			5,888	0,053
		сумма					2,995	0,024846	28,749869

 

2 случай

 

 

 

m,кг	r,м	h,м	t,c	a,м/с2	ε,с-2	М,н м	(M-Mср)* ε	(M-Mcр)2	(ε -b*M-a)2
0,0940	0,021	0,45	13,451	0,005	0,237	0,019	-0,0081	0,00118292	0,009686775
			12,507	0,006	0,274	0,019	-0,0094	0,00118303	0,003755658
			11,168	0,007	0,344	0,019	-0,0118	0,00118322	7,07611E-05
			12,135	0,006	0,291	0,019	-0,0100	0,00118307	0,001954862
			12,394	0,006	0,279	0,019	-0,0096	0,00118304	0,003165244
	0,0415		5,883	0,026	0,627	0,038	-0,0098	0,00024278	0,008600927
			5,530	0,029	0,709	0,038	-0,0111	0,00024319	9,83589E-05
			5,378	0,031	0,750	0,038	-0,0117	0,00024340	0,000952934
			5,459	0,030	0,728	0,038	-0,0114	0,00024329	7,58719E-05
			5,731	0,027	0,660	0,038	-0,0103	0,00024295	0,003475186
0,1488	0,021		9,118	0,011	0,515	0,031	-0,0119	0,00053492	0,002478429
			7,968	0,014	0,675	0,031	-0,0156	0,00053540	0,012092898
			8,245	0,013	0,630	0,031	-0,0146	0,00053527	0,004265781
			8,123	0,014	0,650	0,031	-0,0150	0,00053532	0,007126381
			8,731	0,012	0,562	0,031	-0,0130	0,00053506	9,06047E-06
	0,0415		4,342	0,048	1,150	0,060	0,0075	0,00004271	0,000422532
			4,188	0,051	1,236	0,060	0,0081	0,00004242	0,004362378
			4,110	0,053	1,284	0,060	0,0083	0,00004226	0,012921537
			4,251	0,050	1,200	0,060	0,0078	0,00004254	0,000869111
			4,319	0,048	1,163	0,060	0,0076	0,00004267	6,73581E-05
0,2036	0,021		7,623	0,015	0,738	0,042	-0,0088	0,00014093	0,003314996
			6,949	0,019	0,888	0,042	-0,0105	0,00014125	0,008594029
			6,991	0,018	0,877	0,042	-0,0104	0,00014122	0,006732624
			6,719	0,020	0,949	0,042	-0,0113	0,00014138	0,023907101
			7,562	0,016	0,749	0,042	-0,0089	0,00014095	0,002080049
	0,0415		3,515	0,073	1,755	0,082	0,0501	0,00081364	0,018357232
			4,025	0,056	1,339	0,082	0,0384	0,00082200	0,080727866
			3,662	0,067	1,617	0,082	0,0462	0,00081641	1,28975E-05
			3,664	0,067	1,615	0,082	0,0462	0,00081644	2,88255E-05
			3,817	0,062	1,489	0,082	0,0426	0,00081899	0,017738456
0,2584	0,021		6,761	0,020	0,938	0,053	-0,0006	0,00000039	0,007599056
			6,231	0,023	1,104	0,053	-0,0007	0,00000041	0,006319199
			6,508	0,021	1,012	0,053	-0,0006	0,00000040	0,000160951
			6,585	0,021	0,988	0,053	-0,0006	0,00000039	0,001315317
			6,385	0,022	1,051	0,053	-0,0007	0,00000040	0,000716411
	0,0415		3,176	0,089	2,150	0,104	0,1086	0,00254954	0,006674972
			3,199	0,088	2,119	0,104	0,1070	0,00255093	0,002562002
			3,334	0,081	1,951	0,104	0,0987	0,00255849	0,014174177
			3,184	0,089	2,139	0,104	0,1080	0,00255003	0,00501436
			3,240	0,086	2,066	0,104	0,1044	0,00255332	9,998E-06
		среднее			1,037	0,054
		сумма					0,563	0,027577	0,282492563

 

По методу наименьших квадратов, обозначив b= и a= , найдем

Для 1 случая:

 b= 120,53 ,a= -0,44, J=1/b=0,0083

Sb= 5,518, Sa= 0,3207,

 Sj= =0,00038 (из формулы )

Задавшись надёжностью  Р=0,95, по таблице коэффициентов Стьюдента  для 40 измерений найдем t=2,021.

 

ΔJ=Sj*t= 0,001, Δa=Sa*t= 0,65

 

Для 2 случая:

b= 20,42   ,a= -0,06 ,    J=1/b= 0,049

Sb= 0,52 , Sa= 0,03 , 

Sj= = 0,0012

Задавшись надёжностью  Р=0,95, по таблице коэффициентов Стьюдента  для 40 измерений найдем t=2,021.

ΔJ=Sj*t= 0,003 , Δa=Sa*t=  0,06

 

Таким образом 1) J= 0,0083 ± 0,001 (кг ^.м²)

                          2) J= 0,049 ± 0,003 (кг ^.м²)

 

3) Проверка

,

 где J_o-момент инерции системы, состоящей из 2 стержней

R-расстояние от центра масс грузов 2 до оси вращения

l-образующая цилиндров 2

z-радиус цилиндров 2

 

R₁=73 мм, R₂=233 мм

l=20,2 мм, z=20,3 мм,

m=200г – масса цилиндра

L=60 см – длина стержня

m_c=113г – масса стержня

проверим

Члены , , будут одинаковы для обоих случаев, т.к. они не зависят от R

= =0,0068 (кг ^.м²)

=0,000027 (кг ^.м²)

=0,000082 (кг ^.м²)

А зависит от расстояния от оси вращения до грузов

1) =0,0043 (кг ^.м²)

2) =0,043 (кг ^.м²)

 

Значит

1)J=0,0112 (кг ^.м²)

2)J=0,05 (кг ^.м²)

 

Результаты  эксперимента отличаются от результатов  формулы в 1 случае на 35%, во 2 случае незначительно.

1)J=0,0112 (кг ^.м²) против J= 0,0083 ± 0,001 (кг ^.м²)

2)J=0,05 (кг ^.м²) против J= 0,049 ± 0,003 (кг ^.м²)

 

2 последних  члена  и получились в 100 раз меньше, чем остальные.

Член  при R<1см будет примерно того же порядка , что и 2 последних члена при R>1 относительная роль последних членов будет пренебрежимо мала.

 

Причины ошибок эксперимента:

1. Неточность измерений
2. Трение
3. Погрешность прибора

 

 

Вывод: В ходе эксперимента проверен основной закона динамики вращательного движения.

Необходимо было определить опытным  путем момент инерции системы  и сравнить его с расчетным. Момент инерции, определенный опытным путем равен 1) J= 0,0083 ± 0,001 (кг ^.м²) и 2) J= 0,049 ± 0,003 (кг ^.м²)

Момент инерции системы, рассчитанный по формуле равен 1) J=0,0112 (кг ^.м²) и 2) J=0,05 (кг ^.м²).

Определенные  опытным путем данные, отличаются от результатов расчета по формуле в 1 случае на 35%, во 2 случае незначительно. Это связано с неточностью измерений и погрешностью прибора.