Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Радиофизический факультет

Кафедра общей физики

Лабораторная  работа

 
 

Изучение  колебательного движения 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнили:

студенты 417 гр.

Овчинин С.Г. и

 Илюхин  Д.А. 

Проверил:

Сергеева Е.А. 
 
 
 
 
 

Нижний  Новгород.

2003 г.

Цель  работы:

1. Определение коэффициента жесткости пружины.
2. Измерение периодов колебаний для каждой пружины с грузами различной массы.
3. Вывод зависимости периода колебаний от амплитуды.
4. Вывод зависимости амплитуды колебаний от времени.

Приборы и оборудование: набор пружин известной массы m, набор грузов известной массы M. Штатив для закрепления пружин, шкала для отсчета смещения конца пружины, секундомер для измерения периода колебаний груза на пружине.

 

Теоретическая часть:

Равновесное положение груза массы  M, подвешенного на пружине определяется равенством величин: силы упругости , и силы тяжести (где k – коэффициент жесткости пружины, а - ее удлинение от недеформированного состояния). Если m<<M, то имеет место равенство: - по II закону Ньютона в проекции на ось ОХ:

OX) . Т.к. , получим , учитывая что , имеем:

- уравнение гармонического осциллятора.  Выведенный из положения равновесия  груз колеблется около этого  положения по синусоидальному  (гармоническому) закону  (где х – смещение от положения равновесия, А – амплитуда колебаний, - циклическая частота, - начальная фаза). Период колебаний вычисляется по формуле А и определяются из начальных условий, т.е. по значениям х и в момент t = 0. , где . В этом случае период колебаний .

Рассмотрим теперь, как влияет масса пружины на характер колебаний.

Если существует область упругих  деформаций (где справедлив закон  Гука) сила F_тяж не влияет на период колебаний. Поэтому можно рассмотреть горизонтальный аналог колебательного движения.

Чем дальше виток  от закрепления, тем больше его деформация. Если у нас однородная деформация, то . В идеале деформация однородна.

Но для реальной пружины такая идеализация тем  точнее, чем меньше m – масса пружины по сравнению с массой груза M.

Если у нас  существует некая деформация, то , где x – удлинение пружины, равное смещению груза. А , где - скорость правого конца пружины. Если однородная деформация, то скорость участка пружины dz с массой (где l – длина недеформированной пружины) равна , а . Тогда полная кинетическая энергия пружины:

= .

Тогда полная энергия  - закон сохранения энергии.

Если продифференцируем  данное равенство по dt, то получим:

, тогда  , то , отсюда . В этом случае и . Таким образом, масса m существенно влияет на T так же, как если бы мы подвесили другой груз на невесомую пружину. 
Ход работы:

Соберем установку, подвесив пружину к штативу со шкалой. Даны пружины с номерами 2 (m₂=1.416*10^-1 кг) и 6 (m₆=9.8*10^-3 кг). 

А) Измерение коэффициента жесткости k двух пружин.

Теперь измерим  коэффициент жесткости k для каждой из пружин. Для этого нам необходимо при подвешивании определенных грузов замерять смещения конца пружины. Т.к. пружина деформирована, то необходимо подвесить некий груз массы m₀, чтобы устранить асимметрию пружины (см рис.). Для этого достаточно груза массы m₀ = 0,1 кг. Данное положение конца пружины будем считать нулевым уровнем. Далее будем подвешивать различные грузы массы М и измерять удлинения пружины , тогда , след. - среднее значение коэффициента жесткости пружины.

 

Пружина №2. (m₀ = 0,1 кг, l₀ = 35,1 см) 
 
 
 
 
 
 

 кг, , , , =0,0158.

. .

k₂=(26,51 0,42) .

Пружина №6. (m₀ = 0,1 кг, l₀ = 22,9 см)

 

, 0,0245. . ,

k₆=(40,82 3,21) .

Получаем следующие  средние значения коэффициентов  жесткости пружин:

K₁ = 26,513 н/м и K₂ = 40,82 н/м 

Б) Измерение периода  колебаний в зависимости  от массы грузов:

Измерим теперь периоды колебаний для каждой пружины с различными массами  М.

Для первой пружины измерим время 25 колебаний, тогда для каждого груза М (при этом амплитуда колебаний достаточно мала А=3см).

.  =0,3.

0,012с 

0,08.

Для второй пружины  измерим время 15 колебаний, тогда .

.  =0,021.

0,04. 

Далее построим зависимость T²(M) и сравним ее с расчетной зависимостью . Как видим из графиков для 2-й и 6-й пружин наша зависимость не совпадает полностью с расчетной зависимостью. Это можно объяснить тем, что масса пружины m_n влияет на характер колебания. Поэтому, если построить график , то мы видим, что эта зависимость наиболее четко совпадает с нашей. Следовательно, масса пружины действительно влияет на колебания пружины.

В) Исследование зависимости  периода колебаний  от амплитуды, измерение  и сравнение периодов малых, средних и  больших амплитуд колебаний. Измерим  время полных колебаний  при разных амплитудах.

Выясним зависимость  периода колебаний Т от амплитуды А. Для этого измерим периоды колебаний при малых, средних и больших амплитудах.

Пружина №2 (M = 0,3 кг)

, ,  ,  ,  

. 

Получили, что  в пределах погрешностей

Следовательно для пружины №2: Т увеличивается  с увеличением А.

Пружина №6 (M = 0,3 кг)

,  ,  ,  ,  .

. Опять же видим, что в  пределах погрешностей период  растет с ростом А.  . Таким образом, период колебаний Т растет с ростом амплитуды А. 

Г) Изучение зависимости  амплитуды колебаний  от времени.

Изучим теперь зависимость амплитуды колебаний  от времени. Для этого подвесим груз на пружинке и отклоним его от положения  равновесия на величину А = 2 см. Затем отпустим грузик и система начнет колебаться. Установим через какое время амплитуда колебаний будет равна , , .

И построим графики  зависимостей A(t), с погрешностями 0,015с,  0,15см.

Т.к. 3-х точек  для построения не достаточно, то необходимо найти еще точки. Для этого  используем тот факт, что А уменьшается  по экспоненциальному закону. Поэтому  ln(A(t)) – будет прямая с угловым коэффициентом k.