Использование аппроксимационных многочленов для расчета некоторых параметров реальных газов

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АППРОКСИМАЦИОННЫХ  МНОГОЧЛЕНОВ ДЛЯ  РАСЧЕТА НЕКОТОРЫХ  ПАРАМЕТРОВ РЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ 

     1. Расчет влагосодержания газа по аппроксимационным многочленам

     Влагосодержание природного газа может быть определено по номограммам, что весьма неудобно с точки зрения автоматизации расчетов, или по эмпирической формуле Бюкачека:

,      (1)

где — влагосодержание газа с пресной водой, г/м³, — давление газа, кгс/см², — коэффициент, равный влагосодержанию идеального газа, — коэффициент, зависящий от состава газа.

     Коэффициенты  и могут быть определены из таблицы значений, где они получены опытным путем, и могут быть рассчитаны аналитически. Например, значение влагосодержания природного газа с большой точностью вычисляется по формуле [1]:

,      (2)

где — упругость водяных паров при заданной температуре, кгс/см²;

=18,02 — молекулярная масса  паров воды, кг/моль;

=293— стандартная температура,  К;

— сверхсжимаемость газа при заданных температуре и давлении.

     Недостатком формулы (2) является то, что она может быть применена для единичного расчета и изначально непригодна для организации по ней автоматизированных серийных расчетов. Действительно, для серийных расчетов по формуле (2) нужно для изменяющихся значений температуры и давления газа постоянно пересчитывать по сложному алгоритму значение коэффициента сверхсжимаемости. Кроме того, нужно располагать значением упругости водяных паров при заданной температуре, которое на практике берут из таблиц, что тоже не способствует автоматизации расчетов.

     Из-за указанных недостатков формулы (2) чаще применяются аналитические  зависимости, рекомендованные в [2] и [3]:

    (3)

      ,   (4)

где — температура газа, ^oС.

     Для вычисления коэффициента в [2] и [3] предлагается зависимость вида:

      .      (5)

     Авторы  статьи для расчета значений коэффициентов  и предлагают применять аппроксимационные многочлены, которые для соответствующих диапазонов значений относительной температуры (где - в градусах °С) приведены в таблице 1.

     Таблица 1

     Аппроксимационные зависимости для вычисления коэффициентов 

и в уравнении влагосодержания газа (1)

     Формулы в таблице 1 авторами получены аппроксимацией по методу наименьших квадратов табличных значений коэффициентов и , приведенных в работе [1]. Сравнение точностей расчетов по формулам (3), (4), (5) и по предлагаемым в таблице 1 формулам показано в таблице 2.

     Таблица 2

     Сравнение погрешностей расчетов значений коэффициентов 

и с табличными значениями, представленными в [1]

     Из  таблицы 2 очевидно, что приведенные в статье аппроксимационные многочлены для значений коэффициентов и в формуле Бюкачека (1) позволяют увеличить точность вычислений. Кроме того, они значительно более удобны для разработки программ автоматизированных расчетов влагосодержания газа на ЭВМ, нежели формула (2). 

     2. Расчет плотности и давления насыщенного водяного пара по аппроксимационным многочленам

     Зависимость давления и плотности насыщенного водяного пара от температуры, необходимая для вычисления плотности реального газа с ненулевым влагосодержанием, представлена в справочной литературе в виде таблиц [1], [4].

     Такое представление данных делает затруднительной  автоматизацию расчетов на ЭВМ. Для автоматизации расчетов на ЭВМ авторы предлагают использовать аппроксимационные многочлены, представленные в таблице 3 и позволяющие рассчитать давление и плотность насыщенного водяного пара при заданной температуре.

     Таблица 3

     Аппроксимационные зависимости для вычисления плотности и давления насыщенного водяного пара

     Формулы в таблице 3 авторами получены аппроксимацией по методу наименьших квадратов табличных значений давления водяного пара , кгс/см² и плотности , кг/м³, представленных в работе [1], для безразмерных значений относительной температуры (где - в градусах °С).

     Сравнение точностей расчетов по многочленам  таблицы 3 с табличными данными в [1] приведено в таблице 4.

     Таблица 4

     Сравнение погрешностей расчетов плотности

и давления насыщенного водяного пара с табличными значениями, представленными в [1]

     Из  таблицы 4 видно, что приведенные в статье аппроксимационные многочлены с высокой точностью позволяют рассчитать давление водяного пара , кгс/см² и его плотность , кг/м³. Кроме того, с их помощью просто разработать программы для автоматизированных расчетов плотности насыщенного водяными парами реального газа на ЭВМ. 

     3. Автоматизация расчетов вязкости газа на основе аппроксимационных многочленов

     Одна из важнейших характеристик природного газа — динамическая вязкость , рассчитывается по вязкостям его составляющих компонент. Согласно теории Чэпмена – Энскога для низких давлений динамическая вязкость каждой отдельной компоненты газовой смеси может быть определена по формуле [5]

      ,   (6)

где — молярная масса компоненты газа, г/моль, — температура газа, К, — характеристическая длина (диаметр твердой сферы), , - интеграл столкновений, определяемый по значению приведенной температуры , К, где - константа потенциала Леннарда-Джонса (величина характеристической энергии). Индексы i и mi далее без ущерба для понимания ради краткости записей опускаются.

     Интеграл  столкновений в формуле (6) является правой частью кинетического уравнения Больцмана [5] и характеризует межмолекулярное взаимодействие. В случае отсутствия межмолекулярного взаимодействия =1. Расчет точных значений интеграла столкновений приводит к решению довольно сложных уравнений. Поэтому на практике часто пользуются готовыми таблицами точных значений или эмпирическими формулами, позволяющими приближенно оценить величину .

     В настоящее время наиболее широко используются эмпирическая формула Люфта и Харбанда [6]

          (7)

и эмпирическая формула Нойфельда [5]

      ,                                       (8)

где ; ; ; ; ; .

     Авторы  статьи для расчета значений интеграла  столкновений предлагают применять аппроксимационные многочлены и степенную функцию, которые для соответствующих диапазонов значений приведенной температуры указываются в таблице 5.

     Таблица 5

     Аппроксимационные зависимости для вычисления интеграла  столкновений

для неполярных газов

 

     Представленные  в таблице 5 формулы авторами получены аппроксимацией по методу наименьших квадратов табличных значений интеграла , приведенных в работе [6]. Сравнение точностей расчетов по формулам (7), (8) и по предлагаемым формулам показано в таблице 6.

     Таблица 6

     Сравнение погрешностей расчетов значений интеграла  столкновений