Импульс тела и импульс силы. Закон сохранения импульса. Реактивное движение

Импульс тела и импульс силы. Закон  сохранения импульса. Реактивное движение.

ИМПУЛЬС МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Второй закон Ньютона  можно записать в иной форме, которая приведена самим Ньютоном в его главном труде «Математические начала натуральной философии».

Если на тело (материальную точку) действует постоянная сила, то постоянным является и ускорение 

где — начальное и конечное значения скорости тела.

Подставив это значение ускорения  во второй закон Ньютона, получим:

или

(1)

В этом уравнении появляется новая физическая величина — импульс  материальной точки.

Импульсом материальной точки называют величину равную произведению массы точки на ее скорость.

Обозначим импульс (его также  называют иногда количеством движения) буквой . Тогда

(2)

Из формулы (2) видно, что  импульс — векторная величина. Так как m > 0, то импульс имеет то же направление, что и скорость.

Единица импульса не имеет  особого названия. Ее наименование получается из определения этой величины:

Другая форма записи второго  закона Ньютона

Обозначим через  импульс материальной точки в начальный момент интервала Δt, а через — импульс в конечный момент этого интервала. Тогда есть изменение импульса за время Δt. Теперь уравнение (1) можно записать так:

(3)

Так как Δt > 0, то направления векторов совпадают.

Согласно формуле (3)

изменение импульса материальной точки  пропорционально приложенной к  ней силе и имеет такое же направление, как и сила.

Именно так был впервые  сформулирован второй закон Ньютона.

Произведение силы на время  ее действия называют импульсом силы. Не надо путать импульс  материальной точки и импульс силы . Это совершенно разные понятия.

Уравнение (3) показывает, что  одинаковые изменения импульса материальной точки могут быть получены в результате действия большой силы в течение  малого интервала времени или  малой силы за большой интервал времени. Когда вы прыгаете с какой-то высоты, то остановка вашего тела происходит за счет действия силы со стороны земли  или пола. Чем меньше продолжительность  столкновения, тем больше тормозящая сила. Для уменьшения этой силы надо, чтобы торможение происходило постепенно. Вот почему при прыжках в высоту спортсмены приземляются на мягкие маты. Прогибаясь, они постепенно тормозят спортсмена. Формула (3) может быть обобщена и на тот случай, когда сила меняется во времени. Для этого весь промежуток времени Δt действия силы надо разделить на столь малые интервалы Δt_i, чтобы на каждом из них значение силы без большой ошибки можно было считать постоянным. Для каждого малого интервала времени справедлива формула (3). Суммируя изменения импульсов за малые интервалы времени, получим:

(4)

Символ Σ (греческая буква  «сигма») означает «сумма». Индексы i = 1 (внизу) и N (наверху) означают, что суммируется N слагаемых.

Для нахождения импульса тела поступают так: мысленно разбивают  тело на отдельные элементы (материальные точки), находят импульсы полученных элементов, а потом их суммируют  как векторы.

Импульс тела равен сумме импульсов  его отдельных элементов

Изменение импульса системы тел

Рассмотрим систему, состоящую  из трех тел. Это могут быть три  звезды, испытывающие воздействие со стороны соседних космических тел. На тела системы действуют внешние  силы (i — номер тела; например, — это сумма внешних сил, действующих на тело номер два). Между телами действуют силы называемые внутренними силами (рис. 1). Здесь первая буква i в индексе означает номер тела, на которое действует сила , а вторая буква k означает номер тела, со стороны которого действует данная сила. На основании третьего закона Ньютона

(5)

Рис. 1.

Вследствие действия сил  на тела системы их импульсы изменяются. Бели за малый промежуток времени  сила заметно не меняется, то для  каждого тела системы можно записать изменение импульса в форме уравнения (3):

(6)

Здесь в левой части  каждого уравнения стоит изменение  импульса тела за малое время Δt. Более подробно: где — скорость в начале, а — в конце интервала времени Δt.

Сложим левые и правые части уравнений (6) и покажем, что сумма изменений импульсов отдельных тел равна изменению суммарного импульса всех тел системы, равного

(7)

Действительно,

Таким образом,

(8)

Но силы взаимодействия любой  пары тел в сумме дают нуль, так  как согласно формуле (5)

Поэтому изменение импульса системы тел  равно импульсу внешних сил:

(9)

Мы пришли к важному  выводу:

импульс системы тел могут изменить только внешние силы, причем изменение  импульса системы пропорционально  сумме внешних сил и совпадает  с ней по направлению. Внутренние силы, изменяя импульсы отдельных  тел системы, не изменяют суммарный  импульс системы.

Уравнение (9) справедливо  для любого интервала времени, если сумма внешних сил остается постоянной.

Закон сохранения импульса

Из уравнения (9) вытекает чрезвычайно важное следствие. Если сумма внешних сил, действующих  на систему, равна нулю, то равно  нулю и изменение импульса системы: . Это означает, что, какой бы интервал времени мы ни взяли, суммарный импульс в начале этого интервала и в его конце один и тот же: . Импульс системы остается неизменным, или, как говорят, сохраняется:

(10)

Закон сохранения импульса формулируется так:

если сумма внешних сил, действующих  на тела системы, равна нулю, то импульс  системы сохраняется.

Тела могут только обмениваться импульсами, суммарное же значение импульса не изменяется. Надо только помнить, что сохраняется векторная сумма  импульсов, а не сумма их модулей.

Как видно из проделанного нами вывода, закон сохранения импульса является следствием второго и третьего законов Ньютона. Система тел, на которую не действуют внешние  силы, называется замкнутой или изолированной. В замкнутой системе тел импульс  сохраняется. Но область применения закона сохранения импульса шире: если даже на тела системы действуют внешние  силы, но их сумма равна нулю, импульс  системы все равно сохраняется.

Полученный результат  легко обобщается на случай системы, содержащей произвольное число N тел:

(11)

Здесь — скорости тел в начальный момент времени, а — в конечный. Так как импульс — величина векторная, то уравнение (11) представляет собой компактную запись трех уравнений для проекций импульса системы на координатные оси.

Когда выполняется закон сохранения импульса?

Все реальные системы, конечно, не являются замкнутыми, сумма внешних  сил довольно редко может оказаться  равной нулю. Тем не менее в очень многих случаях закон сохранения импульса можно применять.

Если сумма внешних  сил не равна нулю, но равна нулю сумма проекций сил на какое-то направление, то проекция импульса системы на это  направление сохраняется. Например, система тел на Земле или вблизи ее поверхности не может быть замкнутой, так как на все тела действует  сила тяжести, которая изменяет импульс  по вертикали согласно уравнению (9). Однако вдоль горизонтального направления  сила тяжести не может изменять импульс, и сумма проекций импульсов тел  на горизонтально направленную ось  будет оставаться неизменной, если действием сил сопротивления  можно пренебречь.

Кроме того, при быстрых  взаимодействиях (взрыв снаряда, выстрел  из орудия, столкновения атомов и т. п.) изменение импульсов отдельных  тел будет фактически обусловлено  только внутренними силами. Импульс  системы сохраняется при этом с большой точностью, ибо такие  внешние силы, как сила тяготения  и сила трения, зависящая от скорости, заметно не изменяет импульса системы. Они малы по сравнению с внутренними  силами. Так, скорость осколков снаряда  при взрыве в зависимости от калибра  может изменяться в пределах 600 — 1000 м/с. Интервал времени, за который  сила тяжести смогла бы сообщить телам  такую скорость, равен 

Внутренние же силы давления газов сообщают такие скорости за 0,01 с, т. е. в 10000 раз быстрее.

Под реактивным движением понимают движение тела, возникающее при отделении некоторой его части с определенной скоростью относительно тела,

например при истечении продуктов сгорания из сопла реактивного летательного аппарата. При этом появляется так называемая реактивная сила, сообщающая телу ускорение.

Наблюдать реактивное движение очень просто. Надуйте детский  резиновый шарик и отпустите  его. Шарик стремительно взовьется  вверх (рис. 2). Движение, правда, будет  кратковременным. Реактивная сила действует  лишь до тех пор, пока продолжается истечение воздуха.

Рис. 2.

Главная особенность реактивной силы состоит в том, что она  возникает без какого-либо взаимодействия с внешними телами. Происходит лишь взаимодействие между ракетой и  вытекающей из нее струей вещества.

Сила же, сообщающая ускорение  автомобилю или пешеходу на земле, пароходу на воде или винтовому самолету в  воздухе, возникает только за счет взаимодействия этих тел с землей, водой или  воздухом.

При истечении продуктов  сгорания топлива они за счет давления в камере сгорания приобретают некоторую  скорость относительно ракеты и, следовательно, некоторый импульс. Поэтому в  соответствии с законом сохранения импульса сама ракета получает такой  же по модулю импульс, но направленный в противоположную сторону.

Масса ракеты с течением времени  убывает. Ракета в полете является телом  переменной массы. Для расчета ее движения удобно применить закон  сохранения импульса.

Уравнение Мещерского

Выведем уравнение движения ракеты и найдем выражение для  реактивной силы. Будем считать, что  скорость вытекающих из ракеты газов  относительно ракеты постоянна и  равна  . Внешние силы на ракету не действуют: она находится в космическом пространстве вдали от звезд и планет.

Пусть в некоторый момент времени скорость ракеты относительно инерциальной системы, связанной со звездами, равна  (рис. 3, а), а масса ракеты равна М. Через малый интервал времени Δt масса ракеты станет равной

где m — расход топлива (расходом топлива называется отношение массы сгоревшего топлива ко времени его сгорания).

а)

б)

Рис. 3.

За этот же промежуток времени  скорость ракеты изменится на ·и станет равной . Скорость истечения газов относительно выбранной инерциальной системы отсчета равна ·(рис. 3, б), так как до начала сгорания топливо имело ту же скорость, что и ракета.

Запишем закон сохранения импульса для системы ракета —  газ:

Раскрыв скобки, получим:

Слагаемым ·можно пренебречь по сравнению с остальными, так как оно содержит произведение двух малых величин (это величина, как говорят, второго порядка малости). После приведения подобных членов будем иметь:

или

·········································· (12)

Это одно из уравнений Мещерского для движения тела переменной массы, полученное им в 1897 г.

Если ввести обозначение  , то уравнение (12) совпадет по форме записи со вторым законом Ньютона. Однако масса тела М здесь не постоянна, а убывает со временем из-за потери вещества.

Величина  ·носит название реактивной силы. Она появляется вследствие истечения газов из ракеты, приложена к ракете и направлена противоположно скорости газов относительно ракеты. Реактивная сила определяется лишь скоростью истечения газов относительно ракеты и расходом топлива. Существенно, что она не зависит от деталей устройства двигателя. Важно лишь, чтобы двигатель обеспечивал истечение газов из ракеты со скоростью ·при расходе топлива m. Реактивная сила космических ракет достигает 1000 кН.

Если на ракету действуют  внешние силы, то ее движение определяется реактивной силой и суммой внешних  сил. В этом случае уравнение (12) запишется  так:

···························· ········· (13)

РЕАКТИВНЫЕ ДВИГАТЕЛИ

Широкое применение реактивные двигатели в настоящее время  получили в связи с освоением  космического пространства. Применяются  они также для метеорологических  и военных ракет различного радиуса  действия. Кроме того, все современные  скоростные самолеты оснащены воздушно-реактивными  двигателями.

В космическом пространстве использовать какие-либо другие двигатели, кроме реактивных, невозможно: нет опоры (твердой, жидкой или газообразной), отталкиваясь от которой космический корабль мог бы получить ускорение. Применение же реактивных двигателей для самолетов и ракет, не выходящих за пределы атмосферы, связано с тем, что именно реактивные двигатели способны обеспечить максимальную скорость полета.

Реактивные двигатели  делятся на два класса: ракетные и воздушно-реактивные.

В ракетных двигателях топливо  и необходимый для его горения  окислитель находятся непосредственно  внутри двигателя или в его  топливных баках.

На рисунке 4 показана схема  ракетного двигателя на твердом  топливе. Порох или какое-либо другое твердое топливо, способное к  горению в отсутствие воздуха, помещают внутрь камеры сгорания двигателя.

Рис. 4.

При горении топлива образуются газы, имеющие очень высокую температуру  и оказывающие давление на стенки камеры. Сила давления на переднюю стенку камеры больше, чем на заднюю, где расположено сопло. Вытекающие через сопло газы не встречают на своем пути стенку, на которую могли бы оказывать давление. В результате появляется сила, толкающая ракету вперед.

Суженная часть камеры — сопло служит для увеличения скорости истечения продуктов сгорания, что в свою очередь повышает реактивную силу. Сужение струи газа вызывает увеличение его скорости, так как  при этом через меньшее поперечное сечение в единицу времени  должна пройти такая же масса газа, что и при большем поперечном сечении.