Гравитация

Законы  Кеплера. Закон всемирного тяготения.

     Еще в глубокой древности было замечено, что в отличие от звезд, которые  неизменно сохраняют свое взаимное расположение в пространстве в течение  столетий, планеты описывают среди  звезд сложнейшие траектории. Для  объяснения петлеобразного движения планет древнегреческий ученый К.Птоломей (II в.н. э.),считая Землю расположенной в центре Вселенной, предложил, что каждая из планет движется по малому кругу (эпициклу), центр которого равномерно движется по большому кругу, в центре которого находится Земля. Эта концепция получила название птоломеевой геоцентрической системы мира.

     В начале XVIв. Польским астрономом Н.Коперником (1473-1543) обоснована гелиоцентрическая система, согласно которой движения небесных тел объясняются движением Земли (а также других планет) вокруг Солнца и суточным вращением Земли. Теория и наблюдения Коперника воспринимались как занимательная фантазия.

     К началу XVII столетия большинство ученых убедилось, однако, в справедливости гелиоцентрической системы мира. И. Кеплер (1571-1630), обработав и уточнив результаты многочисленных наблюдений датского астронома Т. Браге (1546-1601), изложил законы движения планет:

1.Каждая планета  движется по эллипсу, в одном  из фокусов которого находится  Солнце.

2.Радиус-вектор  планеты за равные промежутки  времени описывает одинаковые  площади.

3. Квадраты  периодов обращения планет вокруг  Солнца относятся как кубы  больших полуосей их орбит.

     Впоследствии  И.Ньютон, изучая движение небесных тел, на основании законов Кеплера  и основных законно динамики открыл всеобщий закон всемирного тяготения: между любыми двумя материальными  точками действует сила взаимного  притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек (и ) и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними ():

                        F=G.     (22.1)

     Эта сила называется гравитационной (или  силой всемирного тяготения). Силы тяготения  всегда являются силами притяжения и  направлены вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие тела. Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной.

     Закон всемирного тяготения установлен для  тел, принимаемых за материальные точки, т.е. для таких тел, размеры которых  малы по сравнению с расстоянием  между ними. Если же размеры взаимодействующих  тел сравнимы с расстоянием между  ними, то эти тела надо разбить на точечные элементы, подсчитать по формуле (22.1) силы притяжения между всеми  попарно взятыми элементами, а  затем геометрически их сложить (проинтегрировать), что является довольно сложной математической задачей.

     Впервые экспериментальное доказательство закона всемирного тяготения для  земных тел, а также числовое определение  гравитационной постоянной G проведено английским физиком Г.Кавендишем (1731-1810).Принципиальная схема опыта Кавендиша, применившего крутильные весы, представлена на рис.37. Легкое коромысло A с двумя одинаковыми шариками массой m=729г подвешено на упругой нити B. На коромысле C укреплены на той же высоте массивные шары массой M=158кг. Поворачивая коромысло C вокруг вертикальной оси, можно изменять расстояние между шарами с массами m и M. Под действием пары сил, приложенных к шарам m со стороны шаров M, коромысло A поворачивается в горизонтальной плоскости, закручивая нить B до тех пор, пока момент сил упругости не уравновесит момента сил тяготения. Зная упругие свойства нити, по измеренному углу  поворота можно найти возникающие силы притяжения, а так как массы шаров известны, то и вычислить значение G.

     Значение  G, приводимое в таблицах фундаментальных физических постоянных, принимается равным 6,6720∙Н∙,т.е.два точечных тела массой по 1кг каждое, находящиеся на расстоянии 1м друг от друга, притягиваются с силой 6,6720∙Н. Очень малая величина G показывает, что сила гравитационного взаимодействия может быть значительной только в случае больших масс.

      Сила  тяжести и вес. Невесомость.

     На  любое тело, расположено вблизи поверхности  Земли, действует сила тяготения  F, под влиянием которой и в согласии со вторым законом Ньютона тело начнет двигаться с ускорением свободного падения g. Таким образом, в системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массой m действует сила

                        P=mg,

 называется  силой тяжести. 

     Согласно  фундаментальному физическому закону- обобщенному закону Галилея, все  тела водном и том же поле тяготения  падают с одинаковым ускорением. Следовательно, в данном месте Земли ускорение свободного падения одинаково для тех тел. Оно изменяется вблизи поверхности Земли с широтой в пределах от 9,780 м/на экваторе до 9,832 м/ на полюсах. Это обусловлено суточным вращением Земли вокруг своей оси, с одной стороны, и сплюснутостью Земли-с другой (экваториальный и полярный радиусы Земли равны соответственно 6378 и 6357км). Так как различие значений g невелико, ускорение свободного падения, которое используется при решении практических задач, принимается равным 9,81 м/.

Если пренебречь суточным вращением Земли вокруг своей оси, то сила тяжести и сила гравитационного тяготения равны  между собой:

                  P=mg=F=GmM/,

    где   M-масса Земли;R-расстояние между телом и центром Земли. Эта формула дана для случая, когда тело находится на поверхности Земли.

Пусть тело расположено  на высоте h от поверхности Земли, -радиус Земли, тогда

                  P=GmM/(+,

Т.е сила тяжести  с удалением от поверхности Земли  уменьшается.

В физике применяется  также понятие веса тела. Весом  тела называют силу, с которой тело вследствие тяготения к Земле  действует на опору (или подвес), удерживающую тело от свободного падения. Вес тела проявляется только в том случае, если действуют другие силы. Состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести, называется состоянием невесомости.

Таким образом, сила тяжести действует всегда, а  вес проявляется только в том  случае, когда на тело кроме силы тяжести действуют еще другие силы, вследствие чего тело движется с  ускорением a,отличным от g. Если тело движется в поле тяготения Земли с ускорением a ≠ g, то к этому телу приложена дополнительная сила N ,удовлетворяющая условию

                        N+P=ma. 

Тогда вес тела

                    = -N=P-ma=mg-ma=m(g-a),

Т.е если тело покоится или движется прямолинейно и равномерно, то a=0 и =mg. Если тело свободно движется в поле тяготения по любой траектории и в любом направлении, то a=g и =0, т.е. тело будет невесомым. Например, невесомыми являются тела, находящиеся в космических кораблях, свободно движущихся в космосе.

      Поле  тяготения и его напряженность.

Закон тяготения  Ньютона определяет зависимость  силы тяготения от массы взаимодействующих  тел и расстояния между ними, но не показывает, как осуществляется  это взаимодействие. Тяготение принадлежит к особой группе взаимодействий. Силы тяготения, например, не зависят от того, в какой среде взаимодействующие тела находятся. Тяготение существует и в вакууме.

Гравитационное  взаимодействие между телами осуществляется с помощью поля тяготения, или  гравитационного поля. Это поле порождается  телами и является формой существования  материи. Основное свойство поля тяготения  заключается в том ,что на всякое тело массой m, внесенное в это поле, действует сила тяготения, т.е.

                        F=mg.       (24.1)

Вектор g не зависит от m и называется напряженностью поля тяготения. Напряженность поля тяготения определяется силой, действующей со стороны поля на материальную точку единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой. Напряженность есть силовая характеристика поля тяготения. 

Поле тяготения  называется однородным, если его напряженность  во всех точках одинакова, и центральным, если во всех точках поля векторы напряженности  направлены вдоль прямых, которые  пересекаются в одной точке(А), неподвижной по отношению к какой-либо инерциальной системе отсчета (рис.38)

Для графического изображения силового поля используются силовые линии (линии напряженности). Силовые лини выбираются так, что  вектор напряженности поля направлен  по касательной к силовой линии.

            Работа в поле тяготения. Потенциал поля тяготения.

Определим работу, совершаемую силами поля тяготения  при перемещении в нем материальной точки массой m. Вычислим, например, какую надо затратить работу для удаления тела массой m от Земли. На расстоянии R(рис.39) на данное тело действует сила

                        F=GmM/.

При перемещении  этого тела на расстояние dR совершается работа

                  dA= - G.       (25.1)

Знак минус  появляется, потому что сила и перемещение в данном случае противоположны по направлению (рис.39).

Если тело перемещать с расстояния и то работа

                  .               (25.2)

      Из  формулы (25.2) вытекает, что затраченная  работа в поле тяготения не зависит  от траектории перемещения, а определяется лишь начальным положением тела, т.е. силы тяготения действительно консервативны, а поле тяготения является потенциальным.

      Согласно  формуле (12.2), работа, совершаемая консервативными  силами, равна изменению потенциальной  энергии системы, взятому со знаком минус, т.е. 

Из формулы (25.2) получаем

                                                (25.3)

      Так как в формулы входит только разность потенциальных энергий в двух состояниях, то для удобства принимают  потенциальную энергию при  равной нулю (. Тогда (25.3) запишется в виде Так как первая точка была выбрана произвольно, то 

Величина 

является энергетической характеристикой поля тяготения  и называется потенциалом. Потенциал  поля тяготения  - скалярная величина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля или работой по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность. Таким образом, потенциал поля тяготения, создаваемого телом массой M, равен

                                                                  (25.4)

где R-расстояние от этого тела до рассматриваемой точки.

      Из  формулы (25.4) вытекает, что геометрическое место точек с одинаковым потенциалом образует сферическую поверхность (R=const). Такие поверхности, для которых потенциал постоянен, называется эквипотенциальными.

      Рассмотрим  взаимосвязь между потенциалом ( поля тяготения и его напряженностью (g) . Из выражений (25.1) и (25.4) следует, что элементарная работа dA, совершаемая силами поля при малом перемещении тела массой m, равна 

С другой стороны, dA=Fdl (dl-элементарное перемещение). Учитывая (24.1), получаем, что dA=mgdl, т.е. mgdl= - md, или  

Величина  характеризует изменение потенциала на единицу длины в направлении перемещения в поле тяготения. Можно показать, что

                                                      (25.5)

где –градиент скаляра (см. (12.5)). Знак минус в формуле (25.5) показывает, что вектор напряженности g направлен в сторону убывания потенциала.

      В качестве частного примера, исходя из представлений теории тяготения, рассмотрим потенциальную энергию тела, находящегося на высоте h относительно Земли: 

где –радиус Земли. Так как

              и      (25.6)

то, учитывая условие  h, получаем 

Таким образом, мы вывели формулу, совпадающую с (12.7), которая постулировалась раньше.

                        Космические скорости

Для запуска  ракет в космическое пространство надо в зависимости от поставленных целей сообщать им определенные начальные  скорости, называемые космическими.

      Первой  космической (или круговой) скоростью  называют такую минимальную скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло двигаться вокруг Земли. На спутник, движущийся по круговой орбите радиусом r, действует сила тяготения Земли, сообщающая ему нормальное ускорение По второму закону Ньютона,