Фурье-спектроскопия и распознавание образов

     отсюда  для произведения телесного угла на разрешающую способность получим

      .                                                                                       (1.8)

     Подставив это в выражение (1.5), получаем геометрический фактор интерферометра Майкельсона

      ,                                                                                                                     (1.9)

     где — площадь освещенной поверхности коллиматорного зеркала, — разрешающая способность интерферометра. Отметим, что дифференциальные параметры в выражении (1.5) в полученном выражении (1.9) заменены их интегральными значениями.

     В дифракционном спектрометре энергия, прошедшая в прибор, ограничивается размером входной щели, так что эффективная площадь источника определяется площадью щели, а телесный угол коллиматорного зеркала стягивается щелью. При размещении щели в фокальной плоскости коллиматора телесный угол дифракционной решетки имеет вид

      ,                                                                                               (1.10)

     где — ширина щели, — высота щели, — фокусное расстояние коллиматора.

     Для дифракционного спектрометра имеем

      ,                                                                        (1.11)

     где — порядок дифракции, — постоянная решетки, — половина величины угла между направлениями падающего и дифрагированного решеткой пучков, 0 — угол поворота решетки. Продифференцировав выражение (1.11), получаем выражение разрешающей силы через дифференциал угла , т. е. через тот угол, на который должна повернуться решетка, чтобы на выходную щель прибора был направлен очередной спектральный элемент . Поскольку величина угла мала, то его можно представить в виде .

     Таким образом, получаем выражение для  разрешающей силы дифракционного спектрометра

      .                                                                                          (1.12)

     Подставив величину из (1.12) в выражение (1.10) и используя определение геометрического фактора (1.5), получим

      .                                                                                                          (1.13)

     Для дифракционных приборов максимальная эффективность достигается тогда, когда угол 0 близок к величине угла блеска решетки. Если угол блеска решетки порядка , получаем значение порядка единицы. Геометрический фактор дифракционного спектрометра в этом приближении становится равным

      .                                                                                              (1.14)

     Предположив равными площади и фокусные расстояния коллиматоров, а также их разрешающие силы, находим величину отношения геометрических факторов интерферометра и дифракционного прибора:

      .                                                                                            (1.15)

     В наилучших дифракционных спектрометрах  величина   не больше чем 30, поэтому отношение , даже в случае лучших дифракционных приборов, порядка 190. Это означает, что через интерферометр можно пропустить почти в 200 раз больше энергии, чем через дифракционные спектрометры. К тому же оптическая система интерферометра может быть значительно компактнее, чем у дифракционного спектрометра.

     Фелжет, который первым применил численное преобразование интерферограмм, высказал свои идеи вскоре после того, как Жакино сформулировал соображения относительно выигрыша в геометрическом факторе.

     Принцип мультиплексности выдвинутый Фелжетом можно объяснить следующим образом: предположим, необходимо измерить широкий спектральный интервал между, волновыми числами и с разрешением . Число спектральных элементов в широкой полосе

      .                                                                                  (1.16)

     Если  используется дифракционный или  призменный прибор, каждая малая полоса шириной может наблюдаться за время , где — общее время, необходимое для сканирования спектра от до .

     Теперь  можно сказать, что проинтегрированный сигнал от узкой полосы пропорционален . Если шум случаен и не зависит от уровня сигнала, то уровень шума будет пропорционален . Таким образом, для дифракционного прибора отношение сигнала к шуму будет

      .                                                                                                                              (1.17)

     В случае интерферометра ситуация иная — все спектральные, элементы в широкой полосе с разрешением регистрируются все это время. Таким образом, проинтегрированный сигнал малой полосы пропорционален времени . Если шум случаен и не зависит от уровня сигнала, то уровень шума пропорционален . Таким   образом,   для    интерферометра отношение сигнала к шуму будет представлено выражением

      ,                                                                                         (1.18)

     с тем же коэффициентом пропорциональности, что и в выражении (1.17). Из соотношений (1.17) и (1.18) получаем отношение для интерферометров к для дифракционных приборов:

      .                                                                                       (1.19)

     Здесь — все то же число спектральных элементов шириной в широкой полосе . Выражение (1.19) показывает, что интерферометр имеет величину отношения сигнала к шуму более высокого порядка, чем дифракционный или призменный прибор.

     Если  спектральный интервал имеет порядок волнового числа , соответствующего его середине, то из выражений (1.7) и (1.16) следует, что будет составлять величину порядка величины разрешающей силы . Таким образом, при реализации высокой разрешающей силы, скажем порядка 10⁴—10⁶, величина отношения сигнала к шуму для интерферометра будет выше, чем для дифракционного спектрометра в , т. е. в 10²—10³ раз.

     При выводе выражения (1.19) было сделано допущение, что шум не зависит от величины сигнала, т. е. зависит только от времени измерения. Для инфракрасной области спектра шум обычно определяется шумами приемника, которые не зависят от величины сигнала. Таким образом, для инфракрасной области выражение (2.19) справедливо.

     Для видимой области спектра приемники  значительно лучше, чем для инфракрасной области: могут быть зарегистрированы даже отдельные фотоны. Шум определяется статистическими флуктуациями числа фотонов, излучаемых источником в течение периода измерения. Поскольку величина флуктуации числа фотонов пропорциональна общему числу фотонов (статистическое излучение), то уровень шума пропорционален корню квадратному из интенсивности источника.

     Рассмотрим  дифракционный прибор, в котором  фотонный шум является определяющим. Если — интенсивность в узкой спектральной полосе , то регистрируемый сигнал этой узкой полосы будет пропорционален , а шум — пропорционален . Таким образом, для дифракционных приборов отношение сигнала к шуму для узкой спектральной полосы

      .                                                                                                                 (1.20)

     Для интерферометров, в которых шум пропорционален корню квадратному из интенсивности источника, отношение сигнала к шуму отлично от отношения, получаемого из выражений (1.18) и (1.19). Для узкой спектральной полосы в этом случае сигнал также пропорционален . При определенном положении подвижного зеркала интерферометра может регистрироваться сложный сигнал, содержащий вклад от всех волновых чисел в полосе от до . Этот сигнал в интерферограмме пропорционален , где — число всех полос шириной и с одинаковой интенсивностью . Шум в таком случае пропорционален .

     Шум в спектре, полученном после фурье-преобразования зарегистрированного сигнала, остается примерно тем же, что и в сложном регистрируемом сигнале. Вычисленный шум одинаков для каждой элементарной полосы, при этом сигнал в одной полосе равен . Таким образом, в случае интерферометра отношение сигнала к шуму для элементарной спектральной полосы пропорционально

      .                                                                                                                  (1.21)

     Очевидно, что если шум пропорционален корню квадратному из интенсивности источника, то выигрыша Фелжета нет, так как выражения (1.20) и (1.21) одинаковы. Таким образом, в видимой области спектра, где определяющим является фотонный шум, выигрыш Фелжета теряет силу. Но выигрыш Жакино остается, а, следовательно, интерферометры в видимой области спектра все же имеют преимущество в геометрическом факторе.

     Также одним из преимуществ метода является отсутствие ограничений в спектральном разрешении за счет размеров оптических элементов. Очевидно, что размеры дифракционных решеток или тем более призм не могут быть больше 50 см. Таким образом, естественным пределом разрешения приборов, использующих пространственную дисперсию, является величина  . Уже сейчас существуют приборы с разрешением до , производство которых ведется в промышленных масштабах .