Фракталы

          Ковер Серпинского считается еще одной моделью фрактала. Строится он следующим образом: берется квадрат, делится на девять квадратов, вырезается центральный квадрат. Затем с каждым из восьми оставшихся квадратов проделывается подобная процедура. И так до бесконечности. В результате вместо целого квадрата мы получаем ковер со своеобразным симметричным рисунком. Впервые данную модель предложил математик Серпинский, в честь которого он и получил свое название. Пример ковра Серпинского можно увидеть на рис. 1.2.3.

Рис. 2.2.3. Построение ковра Серпинского

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. L-системы

           Понятие L-систем, тесно связанное с самоподобными фракталами, появилось только в 1968 году благодаря Аристриду Линденмайеру. Изначально L-системы были введены при изучении формальных языков, а также использовались в биологических моделях селекции. С их помощью можно строить многие известные самоподобные фракталы, включая снежинку Коха и салфетка Серпинского. Некоторые другие классические построения, например кривые Пеано (работы Пеано, Гильберта, Серпинского), также укладываются в эту схему. И конечно, L-системы открывают путь к бесконечному разнообразию новых фракталов, что и послужило причиной их широкого применения в компьютерной графике для построения фрактальных деревьев и растений. Рассмотренные в данной курсовой работе L-системы ограничиваются случаем детерминированных L-систем и графикой на плоскости.

         Для графической реализации L-систем в качестве подсистемы вывода используется так называемая тертл-графика (turtle – черепаха). При этом точка (черепашка) движется по экрану дискретными шагами, как правило прочерчивая свой след, но при необходимости может перемещаться без рисования. В нашем распоряжении имеются три параметра (x,y,a), где (x,y) - координаты черепашки, a - направление, в котором она смотрит. Черепашка обучена интерпретировать и выполнять последовательность команд, задаваемых кодовым словом, буквы которого читаются слева направо. Кодовое слово представляет собой результат работы L-системы и может включать следующие буквы:

F -переместиться вперед на один шаг, прорисовывая след.

[ - открыть ветвь (подробнее см. ниже)

] - закрыть ветвь (подробнее см. ниже)

+ - увеличить угол a на величину q

- - уменьшить угол a на величину q

          Размер шага и величина приращения по углу q задаются заранее и остаются неизменными для всех перемещений черепашки. Если начальное направление движения а (угол, отсчитываемый от положительного направления оси Х) не указано, то полагаем а равным нулю.

          Несколько примеров иллюстрируют применение команд ветвления (обозначаются ],[) и вспомогательных переменных (обозначаются X, Y, и т.д.). Команды ветвления используются для построения деревьев растений, а вспомогательные переменные заметно облегчают построение некоторых L-систем.

          Формально, детерминированная L-система состоит из алфавита, слова инициализации, называемого аксиомой или инициатором, и набора порождающих правил, указывающих, как следует преобразовывать слово при переходе от уровня к уровню (от итерации к итерации). К примеру, можно заменять букву F при помощи порождающего правила F-> F-F++F-F, что соответствует L-системе для снежинки Коха, рассматриваемой ниже. Символы +, -, ], [ не обновляются, а просто остаются на тех местах, где они встретились. Обновление букв в данном слове предполагается одновременным, то есть буквы слова одного уровня обновляются раньше любой буквы следующего уровня.

            L-система, соответствующая снежинке Коха (рис. 1.1.1), задается следующим образом:

p = 60*

Аксиома: F++F++F

Порождающее правило: F-> F-F++F-F

Графическое представление  аксиомы F++F++F - равносторонний треугольник. Черепашка делает один шаг вперед, затем угол а увеличивается на 2p/3 и черепашка делает еще один шаг.

На первом шаге каждая буква F в слове-инициаторе F++F++F заменяется на F-F++F-F:

(F-F++F-F)+(F-F++F-F)+(F-F++F-F)

Повторяя этот процесс, на втором шаге получим:

F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F+F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F+ F-F++F-F- F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F

и т.д.

Вот еще некоторые фракталы, построенные с использованием L-системы:

Рис. 3.1. Дракон Хартера-Хатвея после 12-ти итераций

и его L-система:

p = 90*

Аксиома: FX

Порождающие правила: X-> X+YF+

Y-> -FX-Y

Рис. 3.2. Дерево после 5-ти итераций

и его L-система:

p = 26*

Аксиома: F

Порождающее правило: F-> F[+F]F[-F]F

Рис. 3.3. Растение после 7-ти итераций

p = 26*

Аксиома: ----G

Порождающие правилa: G->GFX[+G][-G]

X->X[-FFF][+FFF]FX

Рис. 3.4. Ещё одно растение после 8-ти итераций

p = 11*

Аксиома: --------C

Порождающие правилa: C->N[--C]N[++C]N+C

N->NNF

P->C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Практическое применение фракталов

            Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Вот несколько примеров:

КОМПЬЮТЕРНЫЕ  СИСТЕМЫ

            Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом, картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами (такими как jpeg или gif). Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения размеров точек до размеров, искажающих изображение). При фрактальном же сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.

МЕХАНИКА  ЖИДКОСТЕЙ

1. Изучение турбулентности  в потоках очень хорошо подстраивается  под фракталы. Турбулентные потоки  хаотичны и поэтому их сложно  точно смоделировать. И здесь  помогает переход к из фрактальному  представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных потоков.

2. При помощи  фракталов также можно смоделировать  языки пламени.

3. Пористые материалы  хорошо представляются во фрактальной  форме в связи с тем, что  они имеют очень сложную геометрию. Это используется в нефтяной науке.

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ

           Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.

ФИЗИКА  ПОВЕРХНОСТЕЙ

          Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.

МЕДИЦИНА

1.Биосенсорные  взаимодействия.

2.Биение сердца

БИОЛОГИЯ

         Моделирование хаотических процессов, в частности при описании моделей популяций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основные  тезисы:

1.Теория фракталов  имеет совсем небольшой возраст.  Она появилась в конце шестидесятых  годов благодаря Бенуа Мандельброту.

2. Фрактал –  самоподобная структура, чье изображение  не зависит от масштаба. Это рекурсивная модель, каждая часть которой повторяет в своем развитии развитие всей модели в целом.

3.Фракталы всё  чаще используются в науке.  Например, в компьютерных системах, механике жидкостей, медицине, биологии  и других.

4.Сущетвует множество  различных фракталов: Канторово множество, треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, кривая Коха, снежинка Коха, дракон Хартера-Хатвея и другие.

5. Можно считать,  что самоподобие — один из  видов симметрии.

6. Фракталы позволяют  намного упростить сложные процессы и объекты, что очень важно для моделирования. Позволяют описать нестабильные системы и процессы и, самое главное, предсказать будущее таких объектов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выводы:

           В моей работе приведены далеко не все области человеческих знаний, где нашла свое применение теория фракталов. Хочу только сказать, что со времени возникновения теории прошло не более трети века, но за это время фракталы для многих исследователей стали внезапным ярким светом в ночи, которые озарил неведомые доселе факты и закономерности в конкретных областях данных. С помощью теории фракталов стали объяснять эволюцию галактик и развитие клетки, возникновение гор и образование облаков, движение цен на бирже и развитие общества и семьи. Может быть, в первое время данное увлечение фракталами было даже слишком бурным и попытки все объяснять с помощью теории фракталов были неоправданными. Но, без сомнения, данная теория имеет право на существование.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература:

 

1. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. Учебное пособие. Ижевск, 2001. - 128 с.

2. Мандельброт  Б. Фрактальная геометрия природы. Москва: Институт компьютерных исследований, 2002, 656 стр.

3. Морозов А.Д.  Введение в теорию фракталов. Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 162 стр.

4. Шлык В.А. Через фрактальную геометрию к новому восприятию мира : [В помощь учителю] / В. А. Шлык /  №4 стр. 86 – 107.

5. Глобальная сеть Интернет.

6. http://elementy.ru/posters/fractals/fractals