Қатты дененің кинематикасы

Қатты дененің кинематикасы

Жалпы өмірде кездесетін жағдайда дененің деформациясын  елемеуге болатын немесе дененің  екі нүктесінің (яғни екі бөлшегінің) ара қашықтығы өзгермей сақталатын денелерді абсолют қатты денелер деп айтамыз. Абсолют қатты дененің қозғалысы  ілгерілемелі қозғалыс және айналмалы қозғалыс болып келеді.

   Ілгерілемелі қозғалыс.Қатты дененің ілгерілемелі қозғалыс деп денеден жүргізілген және онымен өзгеріссіз байланысқан кезкелген түзу сол қозғалыс кезінде өзіне-өзі параллель болып орын ауыстырып отыратын қозғалысты айтады. Ол түзу сызықты, қисық сызықты болуы мүмкін. Қозғалыстың бұл түрінде дененің барлық нүктелері ұқсас траектория сызады. Сондықтан дененің қозғалысын кинематикадағыдай суреттеу үшін, оның кез келген нүктесінің қозғалысын сипаттау жеткілікті. Өйткені ілгерілемелі қозғалыс кезінде қатты дененің барлық нүктелерінің жылдамдықтары (v) , сол сияқты үдеулері (a) де бірдей болады. Бірақ дененің қозғалысы ілгерілемелі болмаса, онда қозғалыстың ілгерілемелігін кез келген нүкте емес, белгілі бір нүкте – масса центрі сипаттайды.

                               

    Айналмалы қозғалыс. Айналмалы қозғалыс кезінде қатты денелердің барлық нүктелері шеңбер бойымен қозғалады, олардың центрлері айналу осі деп аталатын бір түзудің бойында жатады. Айналу осі жылжымалы да және жылжымайтын да болуы мүмкін.

                               

      Дененің айналмалы қозғалысының кинематикалық сипаттаммалық шамалары – бұрыштық жылдамдық  ω  және бұрыштық үдеуі.    Айналмалы қозғалыстың негізгі динамикалық сипаттамалық шамалары – айналу осіне (z) қатысты импульс моменті Kz = Izω және кинетикалық энергиясы.

      Жалпы алғанда дене бір мезгілде әрі ілгерілемелі, әрі айналмалы қозғалыста бола алады. Айналыс осі денемен салыстырғанда өзінің орнын өзгерте алады. Мұндай  жағдайда берілген уақыт мезетінде дене лездік осьтен айналады. Айналмалы қозғалысты қарастырғанда бұрыштық жылдамдық және бұрыштық үдеу ұғымдарын енгіземіз.

    Бұрыштық  жылдамдық және бұрыштық үдеу

     Материалдық нүкте радиусы шеңбер бойымен қозғалып, уақыт мезетінде бұрышына бұрылсын. Бұрыштық жылдамдық деп, дененің бұрылу бұрышынан уақыт бойынша алынған бірінші ретті туындысына тең физикалық векторлық шаманы айтады.

                                                                                                                                

Бұрыштық  жылдамдықтың өлшем бірлігі: . Сызықтық жылдамдық пен бұрыштық жылдамдықтың арасында мынадай байланыс бар:

    ,          яғни                      

Бұрыштық  жылдамдықтың бағыты оң бұрғанда ережесімен анықталады. Нүктенің шеңбер бойымен толық бір айналым жасауға қажетті  уақытын период деп атайды және әріпімен белгілейді.  Нүктенің уақыт бірлігі ішіндегі жасайтын айналым саны периодқа кері шама жиілік деп аталады . Нүкте шеңбер бойымен бір қалыпты қозғалып, бір периодқа тең уақыт аралығында толық бір айналым жасайды, яғни -ға орын ауыстырады.                             Осыдан    .                                                            

     Екі қатынасты салыстырудан алатынымыз:       

                                                                                                                                           

    Бірлік уақыт ішінде бұрыштық жылдамдықтың өзгерісін сипаттайтын шаманы бұрыштық үдеу деп атап, оны математикалық түрде былай жазады: 

      Айналыс бір қалыпты болмаған кезде берілген уақыт мезетіндегі бұрыштық үдеу мынаған тең:          

                              ,                                                                    

 егер      екендігін ескерсек, онда болады, яғни айналмалы қозғалыстың бұрыштық үдеуі бұрыштық жылдамдықтан уақыт бойынша алынған бірінші ретті,ал бұрылу бұрышының екінші ретті туындысына тең болады. Бұрыштық үдеу векторлық шама оның бағыты бұрыштық үдеудің бағытымен бағыттас, өлшем бірлігі болады.

  Егер қозғалыс үдемелі болса, векторы мен векторы бағыттас болады, егер кемімелі болса векторы мен қарама-қарсы бағытта болады.  

        Материалдық нүктенің ілгерілемелі және айналмалы қозғалыстарын сипаттайтын шамалар өзара мынадай қатынаста болады:

1. , бұдан     немесе   
2.    немесе        .

Айналмалы бірқалыпсыз қозғалыс кезіндегі  қозғалыс теңдеулері:

       ,                                                                      

мұндағы бастапқы бұрыштық үдеу.

Инерция моменті

      Айналмалы қозғалысты сипаттау үшін кеңістіктегі айналу осінің қалпын және әрбір уақыт мезетіндегі дененің бұрыштық жылдамдығын білу керек. Қатты дененің айналысын қарастырған кезде инерция моменті деген ұғым енгіземіз.

    Қатты дененің немесе материялдық нүктенің айналу осіне қатысты инерция моменті деп дененің немесе материалдық нүктенің массасы мен қарастырылып отырған оське дейінгі арақашықтығының квадратының көбейтіндісіне тең физикалық шаманы айтады:

           

                                          

  Қатты дененің өзі жеке-жеке материялық нүктелер жиынтығынан тұрады. Сондықтан қатты денені материялық нүктелер жиынтығы ретінде де қарастыруға болады.

     Жүйенің (дененің) айналу осіне  қатысты инерция  моменті деп осы жүйені құрайтын  материалдық нүктелердің массаларының қарастырылып отырған оське дейінгі арақашықтықтың квадратының көбейтіндісінің қосындысына тең шаманы айтады:                                                                                     

     

            Массасы бірқалыпты таралған дене үшін бұл сумма барлық көлемі бойынша интегралданады:                мұндағы  

     Мысал: Біртекті тұтас цилиндрдің инерция  моментін табайық. Цилиндр биіктігін  , ал оның радиусын  деп алайық. Цилиндрді кішкене бөліктерге бөлеміз,     қалыңдығы тең. Оның ішкі радиусы r, ал сыртқы радиусы тең. 

Әрбір кішкене цилиндірдің инерция  моменті   ,  мұндағы цилиндрдың барлық нүктесінің осьтен арақашықтығы әрі ескереміз, ал -барлық элементар цилиндрдің массасы.

     Қарастырылып  отырған элементар цилиндрдің көлемі: ,

       егер  - материалдың тығыздығы болса, 

       онда     яғни оның массасы, ал    элементар инерция моменті болады.

     Сонда тұтас цилиндрдің инерция моменті:

      

бұдан -цилиндрдің көлемі, ал оның массасы болады.     Сонда цилиндрдің инерция моменті:

                                                                          
 

      Бұдан басқа кейбір денелердің инерция моменттері:

1. Радиусы  болатын шардың центрі арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті

                                                                                                      

                                                 

2. Ұзындығы  стерженге перпендикуляр әрі оның ортасы арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті                  

        

3. Ұзындығы  стерженге перпендикуляр және оның бір ұшы арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті

                                                                                     

                                       

Егер  айналатын қатты дененің ауырлық  центрі арқылы өтетін оське айланысты  инерция моменті  белгілі болса, онда оның кез-келген осы оське параллель осьтен айналғандағы инерция моменті Штейнер теоремасы арқылы анықталады:

• кез-келген оське қатысты инерция моменті – берілген оське параллель және дене инерциясының центрі арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті мен дененің массасының осьтер арасындағы арақашықтығының квадратына көбейтіндісінің қосындысына тең:        

     Жұмыстың  кинетикалық энергияға  әсері

           Денені айналдырған кездегі жұмыстың өрнегін анықтайық. Айналмайтын 0 осьтен қашықтығы нүктесіне күші әсер етсін. Күштің бағыты мен    векторының арасындағы бұрыш -ға тең.

    Денеміз абсолют қатты дене болғандықтан, осы айналдырушы күш жұмысы осы  дененің түгел бұрылуына жұмсалған  жұмысына тең. Дене өте азғантай dφ бұрышқа бұрылған кезде, В нүктесі dS жол жүреді:   dS=rdφ. Бұрылған кездегі істелген жұмыс бұрылу бағытына түсірілген күш проекциясы мен бұрылу шамасының көбейтіндісіне тең: , мұндағы ,     сонда . Бізге бұрыннан   r sinα = l иінді береді,   ал     күш моментін береді. Сондықтан

                                                                                              

яғни денені айналдырғандағы істелінген жұмыс  әсер етуші күш моменті мен  бұрылу бұрышының көбейтіндісіне тең.

      Денені  айналдырғанда істелінген жұмыс оның кинетикалық энергиясының өсуіне жұмсалады:

 бірақ   ,      сондықтан      немесе                   ескере отырып, мына өрнекті аламыз:

                                                                                        

Денеге әсер етуші күш моменті дененің инерция моменті мен бұрыштық үдеуінің көбейтіндісіне тең: – қозғалмайтын оське қатысты қатты дененің айналмалы қозғалысының динамикалық теңдеуін береді. 

Айналатын дененің кинетикалық энергиясы.

    Абсолют қатты дененің қозғалмайтын осьтен айналысын қарастырайық. Осы денені ойша кішкене  көлемшелерге бөлейік, оның массалары айналмайтын осьтен   қашықта болсын. Қатты денелердің оське қатысты айналысында массалары әр түрлі радиусты шеңберлер сыза қозғалып, сызықтық жылдамдыққа ие болады.       

     Бірақ біздің қарастырып отырғанымыз абсолют  қатты дене болғандықтан, оның қозғалысының бұрыштық жылдамдығы бірдей болады:                                                                                

  Дененің  айналмалы қозғалысының  кинетикалық              энергиясы оның жеке бөліктерінің кинетикалық энергиясынан құралады: немесе

бұған енді     _i=r_iω      өрнегін пайдалансақ:

                                             Сонымен, қозғалмайтын остьтен айналатын дененің кинетикалық энергиясы деп, осы оське қатысты инерция моменті мен бұрыштық жылдамдықтың квадратының көбейтіндісінің жартысына тең шаманы айтады:

                              

    Бұл өрнек ілгерімелі қозғалатын дененің кинетикалық энергиясына ұқсас келеді. Айналмалы қозғалыс кезінде массасының рөлін инерция моменті, ал сызықтық жылдамдық рөлін бұрыштық жылдамдық атқарады. Көлбеу жазықтықтан домалап келе жатқан дененің, мысалы цилиндрдің, кинетикалық энергиясы ілгерімелі қозғалыс энергиясы мен айналмалы қозғалыс энергиясының қосындысынан тұрады: