Статистичний аналІз щІльностi

 
А. П. Котельников

СТАТИСТИЧНИЙ  АНАЛІЗ  ЩІЛЬНОСТІ

РОЗПОДІЛУ ДАЛЬНОСТІ

ПЕРЕВЕЗЕНЬ  ВАНТАЖІВ

   Як  відомо, центральною проблемою моделювання  є питання про адекватність моделей  досліджуваним явищам. Особливо гостро це питання стоїть при моделюванні  систем соціально-економічної природи. Нині широке поширення в моделюванні таких систем одержав макросистемний підхід [1]. Найбільш помітні результати застосування зазначеного підходу пов'язані з моделями больцмановского типу [2]. Адекватність цих модулів істотно залежить від конструктивного визначення параметрів моделей v_ij — апріорних імовірностей вибору пар (i, j) «джерело»—«стік» у процесі перерозподілу тих або інших видів ресурсів (наприклад, людей, вантажів) у комунікаційному середовищі. Ці параметри в основному й визначають рівноважний розподіл X* = {x_ij*} ресурсів, одержуване в результаті вирішення завдання максимізації ентропії [3].

   

де x_ij — кореспонденція (наприклад, пасажирська або вантажна) з i в j.

   Методика  ідентифікації параметрів v_ij залежить від тієї апріорної інформації, який реально розташовує дослідник [3]. Найбільш часто для цієї мети використовуються криві розподілу, наприклад, пасажирів - за часом поїздок [2], вантажів - по дальності перевезень [4].

   Однак, якщо використання функцій розподілу при моделюванні існуючого положення виправдано, то для виконання прогнозів матриці X* варто одержати підтвердження їхньої стаціонарності. Як правило, стаціонарність кривих розподілу, що характеризують агреговане поводження макросистеми, приймається   в   якості гіпотези. Правда в [5] зроблена спроба експериментальної перевірки цієї гіпотези для економічної системи міжрегіонального продуктообміну. Розрахунки нормованих кореляційних матриць для ряду вантажів показали, що функція розподілу вантажопотоків по поясах дальності перевезень майже стаціонарна в широкому змісті. Однак ці розрахунки вимагають уточнень.

   Інший важливий момент методики ідентифікації  параметрів v_ij по кривих розподілу пов'язаний з вибором їхнього виду. Зазвичай задаються видом щільності розподілу випадкової величини, опираючись, в основному, на якісні подання про характер процесів ресурсообміну в макросистемі. Зокрема, при моделюванні пасажирських кореспонденцій найбільш часто зустрічаються розподіли: гамма-розподіл і експоненціальний розподіл [3].

   Для дослідження цього питання стосовно з вантажними корреспонденціями, був  зібраний й оброблений статистичний матеріал про розподіл вантажопотоків по поясах дальності перевезень по мережі країни 10-ти груп продуктів сільськогосподарської промисловості зернових і технічних(олійних) культур за 12-літній період. Вибірки здійснені по найбільш напруженим у транспортному відношенні місяцям — липню й серпню. Результати статистичних розрахунків наведені в таблиці  1.

   Аналіз  цієї таблиці дозволяє  зробити наступний висновок: всі вибірки розглянутих культур (за винятком залізобетону) однорідні на прийнятому рівні значимості й, отже, витягнуті з однієї й тієї ж генеральної сукупності.

 

 
 

Таблиця 1

Аналіз  стійкості й однорідності статистичних розподілів вантажо-потоків по поясах дальності перевезень

(на 5% рівні значимості х²_кр=1024) 
 
 

 

   Таким чином, кожний із представлених матеріалів має однакову, безперервну функцію  розподілу F(l), вид якої необхідно відновити.

   Для цього як випадкову величину будемо розглядати дальність перевезень одиниці ресурсу. Інтерпретуємо ретроспективні дані про розподіл вантажопотоків по поясах ∆l_i, іЄ1, k дальності перевезень як вибірки з генеральної сукупності. При цьому під обсягом перевезень, що доводиться на інтервал ∆l_i, будемо розуміти частоту n_і події: lЄ∆l_i,. Тоді під вихідним розподілом показаним на мал. 1, можна розуміти полігон частот випадкової величини l для відповідного матеріалу (як приклад розглядається цемент).

Рис.   1.   Вихідний   розподіл   обсягів   перевезень цементу по поясах дальності

   Аналізуючи  результати статистичної обробки вибіркових розподілів, наведені в таблиці 2 і  вид цих розподілів (мал. 1), можна  висловити припущення про наявність  логарифмічно-нормального закону розподілу дальності перевезень зернових культур. Дійсно, коефіцієнти варіації вихідних розподілів значно перевищують 33% рівень, а результати обробки перетворених розподілів (L'=LnL) не суперечать зробленому припущенню. Про це ж говорить і мал. 2, де представлена логарифмічно-нормальна апроксимація емпіричного розподілу. 

 

 

 Таблиця 2

Результати  статистичної   обробки   вибіркових   розподілів   дальності  перевезень за липень 1972-1983 р.м. 

 
 
 

6     7      8 L = LN(L)

Рис. 2. Логарифмічно-нормальна  (2)  апроксимація

вихідного  емпіричного  розподілу   (1)   дальності

перевезень  цементу. 
 

    Помітимо, що наявність логарифмічно-нормального  закону досить розповсюджений факт для  багатьох явищ і процесів соціально-економічної природи й може вказувати в цьому випадку на мультиплікативний характер впливу безлічі випадкових величин на величину дальності перевезень. Правда, цей результат спостерігається лише при досить «докладній» розбивці (∆l=10 км) початкової ділянки осі дальності перевезень в інтервалі від 0 до 100 км. 

 

   Агрегація цієї ділянки в один інтервал ∆l_i із серединою на 50 км і побудова відповідного емпіричного розподілу (див. мал. 3) приводять до припущення про наявність гамма-розподілу або експоненціального, що погодиться з якісними поданнями про зміну характеру витрат на перевезення в залежності 

   
 
 
 
 
 

Рис.  3.  Гама   (3)   і експонентна   (2)   апроксимація емпіричного  розподілу  (1)   дальності перевезень цементу

від їхньої дальності  у вантажній підсистемі. Результати кількісного аналізу представлені на мал. 3. Вони показують, що як гамма-розподіл,так й експоненціальний епогано відновлюють емпіричні дані за розглянутий період часу. Що ж стосується переваги одного з них, о із цією метою були розраховані критерії згоди.

; Хехр²⁼44.

   Таким чином, з наведеного аналізу випливає, що при моделюванні міжрегіонального продуктообміну для визначення параметрів макросистемних моделей доцільно використати  експоненціальну щільність розподілу дальності перевезень вантажів.

   Для завдання цього розподілу досить одного параметра λ-величини, зворотної математичному очікуванню М(l) випадкової змінної I. Статистичні дані про зміни середньої дальності перевезень вантажів уможливлюють оцінку цього параметра, а отже, і сам прогноз матриці вантажної кореспонденції X* = {x_ij*} між розрахунковими районами i, j; i, jє1, n.

   Так, для оцінки «істинного» значення середньої дальності перевезень цементу зібрані дані за 20-літній період. Вони представлені на мал. 4. Там же наведені статистичні характеристики вибірко- 

     

 
 
 
 
 
 
 
 

Рис.   4.   Вибірковий   розподіл   середньої   дальності перевезень цементу (L_CP=576 km; s=12; v = 2%)

вої сукупності. Значення коефіцієнта варіації v указує на можливу нормальність розподілу середньої дальності. Перевіримо цю      гіпотезу,      скориставшись      рекомендаціями     для      малих

 

обсягів вибірок [6].

   Для вибірки, що має приближено нормальний закон розподілу, повинне бути справедливо твердження

| САО/s—0.7979| <0.4 ,

де САО  — середнє абсолютне відхилення; s — вибіркове середньоквадратичне відхилення; n — обсяг вибірки. У нашому випадку САО = 9, тому

|9/12-0.7979|<0.4 ;   0.05<1.8.

Отже, гіпотеза нормальності розподілу вибірки  даних для цементу, підтверджується.

   Користуючись  САО, можна тепер з 95%-ний довірчою ймовірністю оцінити М(l_ср) [6]:

М(l_ср)=l_ср±9-0.60 = 576±5.4 (км).

Таким чином, «істинне» значення середньої дальності перевезень цементу в генеральній сукупності коливається від 570,6 км до 581,4 км.

ЛІТЕРАТУРА

1. Попков Ю. С. Елементи теорії макросистем. // Препринт.- М.: ВНИИСИ, 1985. - 80 с.
2. Попков Ю. З, Посохин М. В., Гутнов А. Э., Шмульян Б. Л. Системний аналіз і проблеми розвитку міст.- М.: Наука, 1983.- 512 с.
3. Имельбаев III. З, Шмульян Б. Л. Моделювання стохастических комунікаційних систем / ВИЛЬСОН А. Дж. Энтропийные методи моделювання складних систем,— М.: Наука, 1973.- С. 170-233.
4. Котельников А. П. Макросистемні моделі продуктообміну і їхнє застосування для цілей аналізу структури міжрегіональних транспортно-економічних зв'язків // Динаміка неоднорідних систем.- М.: ВНИИСИ, 1987.- с. 11-21.
5. Котельников А. П. Аналіз інваріантості апріорної інформації при моделюванні функціонально-просторової організації системи продуктообміну // Динаміка неоднорідних систем.- М.: ВНИИСИ, 1985.- С. 111-117.
6. Закс Л. Статистичне оцінювання.- М.: Статистика, 1976.- 598 с.