Феномен и многомерность пространства

 (2.34)

Запишем разложения произвольных векторов а и b пространства Минковского по ортонормированному базису  ,  ,  ,  :

 (2.35)

 

и вычислим скалярное произведение  <а, Ь> с учетом таблицы (2.33):

. (2.36)

По общему определению  – модуль вектора есть корень квадратный из скалярного произведения вектора  на самого себя. В пространстве Минковского модуль вектора выражается через его координаты следующим образом:

. (2.37)

Выберем в пространстве одну точку в качестве полюса О. Совокупность ортонормированного базиса, характеризуемого таблицей (2.33), и полюса О образует ортонормированную систему координат OXYZW. Координаты радиус-вектора   в этой системе будем обозначать буквами х, у, z, w и называть координатами точки М, указываемой концом радиус-вектора:

 (2.38)

Рассмотрим, что представляет собой множество точек в четырехмерном  пространстве Минковского, у которых радиус-векторы перпендикулярны к базисному орту   (к оси OW). От векторной записи этого условия перпендикулярности

перейдем к координатному  выражению

 

 (2.39)

Здесь ясно видно, что условием перпендикулярности радиус-вектора  к базисному орту   является равенство нулю четвертой координаты вектора. При этом три первые его координаты х, у, z могут принимать независимо друг от друга любые значения от   до  . Но множество всевозможных линейных комбинаций вида

образует трехмерное пространство. Таким образом, геометрическое место  точек в четырехмерном пространстве, описываемое уравнением (2.39), представляет собой трехмерное пространство, а  так как любой принадлежащий  ему вектор перпендикулярен к  базисному вектору  , то говорят, что это трехмерное пространство в целом перпендикулярно к направлению    (к оси OW).

Мы не станем делать попытку  наглядно изобразить четырехмерное  пространство. Можно, конечно, построить  некоторый условный чертеж четырех  координатных осей, но вряд ли это придаст  наглядность геометрическим объектам, которых мы не воспринимаем зрительно. Мы никогда не видели трехмерное пространство «извне» и не представляем, куда направлен перпендикуляр к трехмерному  пространству. Лучше избрать другой путь. В аналитических соотношениях, описывающих геометрические объекты  четырехмерного мира в векторной  или координатной форме, нетрудно заметить сходство с аналитическим описанием  знакомых нам объектов трехмерного  мира. Вот этими наглядными образами из трехмерного мира мы и будем  пользоваться как подспорьем, облегчающим  формирование представлений о четырехмерном  мире на основе математических формул. Например, уравнение вида (2.39) описывает  в случае трехмерного пространства плоскость, перпендикулярную к оси  координат W. Но плоскость является двумерным множеством точек, а мы теперь должны иметь дело с трехмерным множеством, описываемым уравнением (2.39). Чтобы подчеркнуть сходство этого множества с плоскостью и отличие от нее, его называют гиперплоскостью. Базис плоскости  состоит из двух векторов, базис  гиперплоскости в четырехмерном  пространстве состоит из трех векторов. В частности, для гиперплоскости (2.39) базисом являются векторы  ,  ,  , входящие в состав ортонормированного базиса четырехмерного пространства Минковского. Поскольку длины этих трех векторов выражаются вещественными числами, приходим к заключению, что гиперплоскость (2.39) несет на себе собственно евклидову метрику, т.е. является хорошо знакомым нам трехмерным собственно евклидовым пространством.

Возьмем на оси OW какую-нибудь точку Р, отличную от точки начала координат О. Три первые координаты точки Р равны нулю, а четвертая отлична от нуля:  . Запишем координатный столбец радиус-вектора   точки Р:

Разность любого радиус-вектора  и радиус-вектора   есть связанный вектор, имеющий своим началом точку Р:

Те из векторов  , которые перпендикулярны к базисному орту  , удовлетворяют векторному уравнению

Оно выражается в координатной форме следующим образом:

 (2.40)

Как и в предыдущем примере, условие перпендикулярности векторов   к оси OW свелось к обращению в нуль их четвертой координаты  , а три первые координаты х, у, z этих векторов могут принимать любые значения. Точки, указываемые концами векторов , подчиненных условию (2.40), образуют трехмерное множество, которое тоже является гиперплоскостью, перпендикулярной к оси OW. В гиперплоскости (2.40) нет ни одной точки гиперплоскости (2.69), так как у всех точек гиперплоскости (2.39) четвертая координата w равна нулю и эти точки не могут удовлетворять уравнению (2.40). Значит, гиперплоскости (2.39) и (2.40) не пересекаются, и их следует назвать взаимно параллельными. Подобно тому как мы представляем трехмерное пространство состоящим из параллельных плоских слоев, или в виде бесконечного множества параллельных плоскостей, нанизанных на перпендикулярную к ним прямую, так следует представлять четырехмерное пространство в виде бесконечного множества взаимно параллельных гиперплоскостей (трехмерных пространств), нанизанных на перпендикулярную к ним ось OW.

Рассмотрим теперь множество  радиус-векторов, перпендикулярных к  базисному орту  , (к оси ОХ). В векторной форме это условие перпендикулярности выражается уравнением

а в координатной форме  принимает следующий вид:

 

 (2.41)

У радиус-векторов рассматриваемого множества первая координата равна  нулю, а три другие координаты могут  принимать независимо одна от другой произвольные значения от   до  . Множество всех линейных комбинаций

представляет трехмерное пространство (гиперплоскость), в котором  линейно независимые векторы  ,  ,   играют роль базиса. Так как длины векторов   и   выражаются вещественными числами, а длина вектора   – мнимым числом, заключаем, что гиперплоскость (2.41) несет на себе псевдоевклидову метрику, т.е. представляет такое же трехмерное псевдоевклидово пространство, как описанное в предыдущей главе.

Нетрудно показать, что  множество точек, у которых радиус-векторы  перпендикулярны к базисному  орту  , представляет псевдоевклидову гиперплоскость OXZW с базисом  ,  ,  , описываемую уравнением  . Уравнению z = 0 соответствует в четырехмерном пространстве Минковского псевдоевклидова гиперплоскость OXYW с базисом  ,  ,  , перпендикулярная к координатной оси OZ.

Рис. 5.

 

Теперь понятно, почему условное изображение координатной системы OXYZW в виде четырех осей (рис. 5) практически бесполезно для создания наглядного представления о четырехмерном пространстве. Такой рисунок не помогает нам увидеть какую-либо гиперплоскость как трехмерное пространство, вне которого существуют другие трехмерные пространства. Мы сможем увидеть в лучшем случае лишь четыре плоскости OXY, OYZ, OZW, OXW, а не координатные гиперплоскости. Каждая из указанных плоскостей представляет лишь пересечение двух координатных гиперплоскостей. Например, гиперплоскость   (OXYZ) пересекается с гиперплоскостью   (OYZW) по плоскости OYZ. Действительно, гиперплоскости   принадлежат все радиус-векторы, являющиеся линейными комбинациями вида

,

где х, у, z – любые вещественные числа. Гиперплоскость х = 0 представляет множество радиус-векторов, являющихся линейными комбинациями вида

,

где у, z, w – любые вещественные числа. Обеим гиперплоскостям принадлежат лишь те радиус-векторы, которые являются линейными комбинациями вида

Но множество таких  радиус-векторов и есть плоскость, параллельная базисным ортам е₂, е₃ и проходящая через точку О, ч. е. плоскость OYZ.

Рис. 5 демонстрирует замечательную черту четырехмерного мира, о которой мы не имеем представления в мире трехмерном. Плоскости OYZ и OXY, изображенные на рис. 5.пересекаются по прямой OY, что для нас привычно. Но плоскость OYZ пересекается с плоскостью OXW в одной-единственной точке О. Представить наглядно этот удивительный факт мы не можем, но в справедливости его легко убедиться аналитическим путем. Различие этих двух случаев пересечения плоскостей связано с тем, что плоскости OYZ и OXY принадлежат одному и тому же трехмерному пространству (гиперплоскости OXYZ), а плоскости OYZ и OXW не умещаются в одном трехмерном пространстве (принадлежат различным гиперплоскостям).

Согласно (2.36) длина радиус-вектора (2.37) равна

 (2.42)

Она обращается в нуль, если координаты радиус-вектора удовлетворяют  условию

, или  . (2.43)

Соотношение (2.43) определяет в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса 1 геометрическое место точек, радиус-векторы которых  являются изотропными. Что представляет собой это геометрическое место  точек?

Прежде всего, замечаем, что  уравнение (2.43) по своей структуре  похоже на уравнение (2.24) изотропного  конуса в трехмерном псевдоевклидовом пространстве. За формальным сходством  этих уравнений обнаруживается глубокое геометрическое родство описываемых  ими объектов. Рассмотрим пересечение  геометрического места точек (2.43) с координатной гиперплоскостью UYZW:

. (2.44)

Гиперплоскость OYZW является трехмерным псевдоевклидовым пространством, а уравнение (2.44) представляет изотропный конус этого пространства. Аналогичным  образом пересечения геометрического  места точек (2.43) с двумя другими  псевдоевклидовыми координатными  гиперплоскостями OXYW и OXZW являются изотропным конусами этих гиперплоскостей:

.

Но с собственно евклидовой координатной гиперплоскостью OXYZ множество  точек, удовлетворяющих уравнению (2.43), пересекается в одной-единственной точке:

Это точка начала координат, служащая вершиной трех рассмотренных  выше изотропных конусов в псевдоевклидовых координатных гиперплоскостях.

Естественно считать множество  точек, удовлетворяющих уравнению (2.43), обобщением конической поверхности  на случай большего числа измерений  и назвать его изотропным гиперконусом. Гиперконус представляет трехмерное множество точек в четырехмерном пространстве, аналогичное двумерной конической поверхности в трехмерном пространстве.

Продолжая аналогию между  изотропным конусом и изотропным гиперконусом, назовем внутренней областью гиперконуса (2.43) множество точек, координаты которых удовлетворяют условию

 или  .

Согласно (2.42) длина радиус-вектора  любой точки внутренней области  изотропного гиперконуса выражается мнимым числом. Недостаток наглядности в представлении о четырехмерной внутренней области изотропного гиперконуса мы можем частично восполнить, рассматривая пересечения этой области с псевдоевклидовыми координатными гиперплоскостями:

Оказывается, внутренняя область  изотропного гиперконуса пересекается с каждой псевдоевклидовой гиперплоскостью, проходящей через вершину гиперконуса, по внутренней области изотропного конуса этой гиперплоскости.

Рис. 6.

Здесь будет полезна наглядная  иллюстрация с понижением размерности: вместо четырехмерного псевдоевклидова  пространства индекса 1 рассмотрим трехмерное псевдоевклидово пространство индекса 1, а вместо псевдоевклидовой гиперплоскости – псевдоевклидову плоскость. Как видно на рис. 6, внутренняя область изотропного конуса пересекается с плоскостью по внутренней области, мнимых секторов плоскости. Если не выходить из псевдоевклидовой плоскости, то за пределами мнимых секторов можно найти только вещественные секторы. Но, выйдя из плоскости в трехмерное пространство, мы найдем вне мнимых секторов плоскости внутреннюю область изотропного конуса (в частности, мнимые секторы другой плоскости). Аналогичным образом, оставаясь в трехмерном пространстве, мы обнаруживаем за пределами внутренней области изотропного конуса только его внешнюю область. Но если выйти из трехмерного пространства в четырехмерное, то вне внутренней области изотропного конуса найдется внутренняя область изотропного гиперконуса (в частности, внутренняя область изотропного конуса другой гиперплоскости).

Аналогичное сравнение можно  провести для внешних областей изотропного  гиперконуса четырехмерного пространства Минковского, изотропного конуса трехмерного псевдоевклидова пространства и вещественных секторов псевдоевклидовой плоскости. Внешняя область изотропного гиперконуса состоит из точек, координаты которых удовлетворяют условию

или

 (2.46)

Все векторы четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса 1 независимо от точки их приложения можно разбить на три класса по признаку их принадлежности к одной  из трех областей. Мы будем говорить, что произвольный вектор

принадлежит внутренней области  изотропного гиперконуса, если его координаты удовлетворяют условию

аналогичному условию (2.45) для радиус-векторов, длина (модуль) всякого вектора внутренней области  выражается мнимым числом (см. (2.37)). Мы будем говорить, что произвольный вектор а принадлежит внешней области изотропного гиперконуса, если его координаты удовлетворяют условию

,

аналогичному условию (2.36) для радиус-векторов. Длина (модуль) всякого вектора внешней области  выражается вещественным числом. Наконец, если координаты вектора а удовлетворяют условию

то вектор а является изотропным и коллинеарным некоторому радиус-вектору, принадлежащему изотропному гиперконусу (2.43).

Рассмотрим в четырехмерном  пространстве Минковского множество всех радиус-векторов  , перпендикулярных к ненулевому вектору а. Это множество определяется уравнением

 (2.47)

которое в координатной форме, согласно (2.36), принимает вид

 (2.48)

Уравнение (5.16) линейное (все  переменные входят в него только в  первой степени), как и уравнение  плоскости (2.29), но в уравнении (2.48) больше переменных, причем три из них могут  принимать независимо друг от друга  любые значения. Это говорит о  том, что уравнение (2.48) определяет в  четырехмерном пространстве трехмерное множество точек, аналогичное плоскости, т.е. гиперплоскость общего положения (проходящую через начало координат). Вектор а в уравнении (5.47) называют нормалью к гиперплоскости, потому что всякий радиус-вектор, принадлежащий этой гиперплоскости, перпендикулярен к вектору а.

Проводя такие же рассуждения, но уже для четырех переменных, нетрудно доказать, что если нормаль  а к гиперплоскости (2.48) принадлежит  внутренней области изотропного  гиперконуса, то гиперплоскость несет на себе собственно евклидову метрику, т.е. является трехмерным собственно евклидовым пространством. Можно также доказать, что гиперплоскость, нормаль к которой принадлежит внешней области изотропного гиперконуса, несет на себе псевдоевклидову метрику, т.е. является трехмерным псевдоевклидовым пространством такого же типа, как рассмотренное выше. Наконец, гиперплоскость, перпендикулярная к изотропному вектору, содержит в себе этот вектор и обладает специфическими метрическими свойствами, отличными от собственно евклидовых и псевдоевклидовых свойств. Такую гиперплоскость называют изотропной. В ней содержатся векторы вещественные длины, но нет ни одного вектора мнимой длины и имеется только одно изотропное направление. Это значит, что изотропная гиперплоскость не проникает во внутреннюю область изотропного гиперконуса и имеет с ним только одну общую прямую, т.е. является касательной гиперплоскостью к изотропному гиперконусу.