Апории Зенона и их современная интерпретация

Это абсурдно, но логически (при соблюдении заданных условий) неизбежно. А условия заданы вполне определенно: даны два тела, движущиеся с различной скоростью, дано расстояние между ними в момент старта, дано отсутствие общей цели их движения: черепаха движется независимо от Ахиллеса к собственной цели, Ахиллес движется в зависимости от черепахи и должен последовательно пересечь все точки, пройденные ею, стремясь в каждой уменьшающейся части пути к новой цели. Поскольку он должен пройти на одну часть пути больше,  чем черепаха, - ведь та первую часть пути прошла еще до начала рассуждения, и эта «лишняя величина» делима бесконечно, то несмотря на превосходство в скорости, Ахиллес не сможет одолеть эту последнюю, все вновь и вновь уменьшающуюся, но не исчезающую величину.

Аристотель отмечает, что аргумент по существу тот же самый, что и  «Дихотомия», и действительно, доказательство в «Ахиллесе» также осуществляется на основе постоянного возобновления одного и того же несомненного условия и вследствие этого бесконечной делимости заданного расстояния. Но имеются между двумя аргументами и существенные отличия. Во-первых, в «Ахиллесе» не задан как в «Дихотомии» тот целый путь, который подвергается делению как конечный по своим границам. Наоборот, благодаря движению черепахи, постоянно продвигающейся вперед, он все время изменяется. Во-вторых, в отличие от «Дихотомии», где не было задано деление времени, здесь бесконечному делению в первую очередь подвергается именно время, и уже в зависимости от результата его деления, от его уменьшения получаются уменьшающиеся части пути: ведь Ахиллес благодаря превосходству в скорости, затрачивает на прохождение предыдущего расстояния меньше времени, чем черепаха, и соответственно этому меньшему времени уменьшается каждый раз следующая часть пути. В-третьих, в «Ахиллесе» задано не одно, а два тела, движение которых различно, и не только по скорости. Черепаха движется непрерывно, направление и цель ее движения, как уже говорилось, независимы от Ахиллеса: наоборот, направление и цель движения Ахиллеса полностью зависимы от движения черепахи. Целью его движения ни в коем случае не является ни одна точка впереди черепахи. Это исключено условием: он догоняет черепаху, а не соревнуется с нею в беге к одной и той же цели. Введение общей точки, к которой движутся и черепаха, и Ахиллес просто уничтожает заданную Зеноном задачу.  
В-четвертых, в «Ахиллесе» задано начало движения, которое было невозможно согласно первому тексту «Дихотомии», так как дихотомическим делением была исключена начальная неделимая величина. Во втором аргументе такая величина, наоборот, задана: это расстояние между двумя телами к моменту движения, которое, по условию, проходится полностью, без каких-либо делений. А поскольку прохождение этого расстояния Ахиллесом требует определенного времени, то оказывается задана и начальная величина времени. В «Дихотомии» же начальный момент времени не был задан, но поскольку в условие было включено указание на то, что половина должна быть пройдена прежде, и оно постоянно повторялось, то начальный момент незримо присутствовал, но был неопределенным, бесконечно делящимся. В «Ахиллесе» вопрос о начале движения не стоит, движение происходит: движется черепаха и пробегает заданные части пути Ахиллес. Таковы особенности второго аргумента. В условии заданы точные начальные координаты двух движущихся тел, на основе которых Зенон создает вполне строгое доказательство.

В третьей апории - "Стрела" - Зенон доказывает, что летящая стрела покоится. Каждое тело занимает свое положение, находясь против равного расстояния. Покоящееся занимает одно и то же положение, определяемое его собственной протяженностью. Движущееся же меняет свое положение и занимает поэтому не одно и то же, а многие положения, одно вслед за другим. Определить эти положения, как и сам факт движения можно благодаря указанию времени, в которое происходит движение. Происходит же оно всегда в настоящем времени. Зенон находит совершенно точное обозначение такого времени, когда вводит в условие «теперь». «Теперь» - это такое время, которое исключает прошлое и будущее; оно есть истинное настоящее, в котором только и может существовать тело. Таким образом, движущееся, пребывая в «теперь», находится в настоящем времени занимает соответствующее ему настоящее положение.

Зенон в апории «Стрела» исходит из понимания времени как суммы дискретных (неделимых) моментов, отдельных "теперь", а пространства - как суммы точек. Он рассуждает так: в каждый момент времени стрела занимает определенное место, равное своему объему (ибо в противном случае стрела была бы "нигде"). Но если занимать равное место, то двигаться невозможно (движение предполагает, что предмет занимает место, большее, чем он сам). Значит, движение можно мыслить только как сумму состояний покоя, а это невозможно (ибо сумма нулей не дает никакой величины). Таков результат, вытекающий из допущения, что пространство состоит из суммы неделимых "мест", а время - из суммы неделимых "теперь".

Похожим образом можно было бы рассуждать, исходя из неделимости "моментов" времени: в каждый из моментов стрела должна покоиться, а значит, движение невозможно. Допустить движение значит предположить, что "момент" будет разделен.

Ясно видно, что доказательство невозможности движения основано на допущении дискретного континуума - пространство и время мыслятся как состоящие из актуального множества неделимых "единиц".

Апория "Стадий" по своим предпосылкам сходна со "Стрелой". Пусть по ристалищу, по параллельным прямым, с равной скоростью движутся навстречу друг другу два предмета равной длины и проходят мимо неподвижного третьего предмета той же длины. Пусть ряд А1, А2, А3, А4 означает неподвижный предмет, ряд В1, В2, В3, В4 - предмет, движущийся вправо, и ряд С1, С2, С3, С4 - предмет, движущийся влево:

 

 

А1 А2 А3 А4

В1 В2 В3 В4 --->

      <---С1 С2 С3 С4

 

По истечении одного и того же момента времени точка В1 проходит половину отрезка А1А4 и целый  отрезок С1С4, т.е. она пройдет мимо четырех точек на отрезке С1С4 и в то же время мимо только половины точек на отрезке А1А4.

А1 А2 А3 А4

В1 В2 В3 В4

С1 С2 С3 С4

Согласно предпосылке Зенона, каждому  неделимому моменту времени соответствует  неделимый отрезок пространства. Это значит, что точка В1 в один момент времени преодолевает разные части пространства в зависимости от того, с какого пункта вести отсчет: по отношению к отрезку А1А4 она в момент времени проходит одну неделимую часть пространства, по отношению к отрезку С1С4 - две неделимые части пространства. Неделимый момент времени оказывается вдвое больше самого себя. Значит, либо неделимый момент времени должен быть делимым, либо делимой должна быть неделимая часть пространства. Поскольку же ни того, ни другого Зенон не допускает, то вывод его гласит: движение невозможно мыслить без противоречия, а значит, движения не существует.

Таким образом, все четыре апории имеют целью доказать невозможность движения, поскольку его нельзя мыслить, не впадая в противоречие. Вывод Зенона парадоксален в том смысле, что, будем ли мы мыслить континуум делимым до бесконечности (апории "Дихотомия" и "Ахиллес и черепаха") или же, напротив, состоящим из неделимых моментов (апории "Стрела" и "Стадий"), мы не можем без противоречия мыслить движение ни в том, ни в другом случае. В первом случае в силу бесконечной делимости пространства никакой - даже самый малый - отрезок пути не может быть пройден. Более того, внимательно присмотревшись к апории "Дихотомия", мы увидим, что движение не может даже и начаться: ведь чтобы пройти половину отрезка, нужно сначала пройти половину этой половины и т.д. до бесконечности, а значит, невозможно пройти никакой конечный отрезок пути. В случае "Ахиллеса" - та же ситуация, только бесконечная последовательность направлена не в прошлое, а в будущее.

Во втором случае - "Стрела" и "Стадий" - никакое движение невозможно в силу того, что и время, и пространство состоят из неделимых элементов.

Парадоксы Зенона не раз квалифицировались  в истории как скептицизм и  даже "софизмы". Поводом к этому  служило, помимо прочего, и то обстоятельство, что эти парадоксы разрушают  определенные представления, в том числе не только теоретические установки (пифагорейцев или Гераклита), но и, казалось бы, неопровержимые факты опыта, к каковым относятся и множественность, и движение.

Апории Зенона действительно имеют  критическую направленность, и  будет видно ниже, к какому пересмотру теоретических предпосылок пифагореизма дала толчок критика Зенона.

Однако есть в этих апориях и  такая сторона, на которую до сих  пор обращалось недостаточно внимания, но которая сыграла важную роль в  развитии науки. В самом деле, в апориях Зенона предполагается обязательным при исследовании движения строго соотносить друг с другом точки пространства с моментами времени: все, что движется, должно иметь пространственную и временную "координаты". И хотя Зенон доказывает, что в действительности движение не соответствует и не может соответствовать этому требованию (потому оно и немыслимо), но требование, само требование от этого своей силы не теряет. А это, в сущности, есть работа над прояснением необходимых логических предпосылок определения понятия движения. Зенон сформулировал задачу для науки. И, хотя сам он счел ее неразрешимой, другие ученые могли теперь пытаться ее решить хотя бы путем обхода тех парадоксов, которые вскрыл Зенон.

Таким образом, Зенон в ходе своей  критически-отрицательной работы подготовил почву для создания важнейших понятий точного естествознания: понятия континуума и понятия движения. Стремление впоследствии положительно решить задачу, условия которой дал Зенон, привело к созданию новых программ научного исследования - с одной стороны, программы Демокрита, с другой - преобразованной (не без помощи Платона) пифагорейской программы и, наконец, программы Аристотеля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Современная трактовка апорий Зенона

Очень часто появлялись (и продолжают появляться) попытки математически опровергнуть аргументы Зенона и таким образом «закрыть тему». Например, построив ряд из уменьшающихся интервалов для апории «Ахиллес и черепаха», можно легко доказать, что он сходится, так что Ахиллес обгонит черепаху. В этих «опровержениях», однако, подменяется суть спора. В апориях Зенона речь идёт не о математической модели, а о реальном движении, и поэтому бессмысленно ограничить анализ парадокса внутриматематическими рассуждениями — ведь Зенон как раз и ставит под сомнение применимость к реальному движению идеализированных математических понятий.

Д.Гильберт и П. Бернайс в монографии «Основания математики» (1934) замечают по поводу апории «Ахиллес и черепаха»:

«Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждениями о том, что сумма  бесконечного числа этих временных  интервалов все-таки сходится и, таким  образом, дает конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле все-таки должна завершиться».

Серьёзные исследования апорий Зенона рассматривают физическую и математическую модели совместно Р. Курант и Г. Роббинс полагают, что для разрешения парадоксов необходимо существенно углубить наше понимание физического движения. С течением времени движущееся тело последовательно проходит все точки своей траектории, однако если для любого ненулевого интервала пространства и времени нетрудно указать следующий за ним интервал, то для точки (или момента) невозможно указать следующую за ней точку, и это нарушает последовательность. «Остаётся неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать её основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие».

Гильберт и Бернайс высказывают  мнение, что суть парадоксов состоит в неадекватности непрерывной, бесконечно делимой математической модели, с одной стороны, и физически дискретной материи, с другой: «мы вовсе не обязательно должны верить в то, что математическое пространственно-временное представление движения имеет физическое значение для произвольно малых интервалов пространства и времени». Другими словами, парадоксы возникают из-за некорректного применения к реальности идеализированных понятий «точка пространства» и «момент времени», которые не имеют в реальности никаких аналогов, потому что любой физический объект имеет ненулевые размеры, ненулевую длительность и не может быть делим бесконечно.

Близкую точку зрения можно найти  у Анри Бергсона:

«Противоречия, на которые указывает  школа элеатов, касаются не столько  самого движения как такового, сколько  того искусственного преобразования движения, которое совершает наш разум».

 

 

 

и у Николя Бурбаки:

«Вопрос о бесконечной делимости  пространства (бесспорно, поставленный еще ранними пифагорейцами) привел, как известно, к значительным затруднениям в философии: от Элеатов до Больцано и Кантора математики и философы не в силах были разрешить парадокса – как конечная величина может состоять из бесконечного числа точек, не имеющих размера».

Замечание Бурбаки означает, что  необходимо объяснить: каким образом  физический процесс за конечное время  принимает бесконечно много различных  состояний. Одно из возможных объяснений: пространство - время в действительности является дискретным, то есть существуют минимальные порции (кванты) как пространства, так и времени. Если это так, то все парадоксы бесконечности в апориях исчезают. Дискретное пространство-время активно обсуждалось физиками ещё в 1950-е годы — в частности, в связи с проектами единой теории поля, — однако существенного продвижения по этому пути добиться не удалось.

С. А. Векшенов считает, что для решения  парадоксов необходимо ввести числовую структуру, более соответствующую интуитивно-физическим представлениям, чем канторовский точечный континуум. Пример неконтинуальной теории движения предложил Садео Шираиши.

Морис Клайн в своих комментариях по поводу апорий Зенона пишет: «Важно отчётливо сознавать, что природа и математическое описание природы — не одно и то же, причём различие обусловлено не только тем, что математика представляет собой идеализацию… Природа, возможно, отличается несравненно большей сложностью, или структура её не обладает особой правильностью».