Содержание 

1.1. Постановка задачи статической игры Курно. 2

1.2. Конъюнктура рынка. 3

1.3. Особенности максимизации прибыли фирмами в модели Курно 3

1.4. Поведение фирм в статической игре 4

1.5. Объем выпуска фирмы. 5

2.1. Понятие конкурентоспособности фирм. 6

2.2. Равновесное решение Курно. 7

Результаты 8

 

     В работе 1838 г. А. О. Курно [13] впервые рассмотрел аналитический подход к взаимодействию фирм, конкурирующих объемами выпуска на рынке однородной продукции. Курно исследовал состояние «стабильного» равновесия рынка, когда каждая фирма максимизирует собственную прибыль, предполагая, что объем выпуска конкурентов «фиксирован», и другим фирмам не выгодно отклониться от равновесия для получения «мгновенной прибыли», т.е. в современных терминах — статичное равновесие при полной информации или в терминах теории игр — некоалициоонное (некооперативное) равновесие Курно-Нэша в статической игре. Курно рассматривал обобщенное выражение убывающей функции рыночного спроса и обобщенное выражение функции издержек фирм, выделяя для анализа симметричного равновесия случаи нулевых и ненулевых, одинаковых предельных издержек. Он показал на примере двух фирм, как фирмы рассматривают предполагаемый выбор конкурента и корректируют собственный выбор в поиске равновесия, используя условия первого порядка, а также показал, что изменение числа фирм (при одинаковых издержках) позволяет рассматривать монополию и совершенную конкуренцию как предельные случаи равновесной структуры рынка олигополии. Идеи, заложенные в основание подхода Курно, определили отправную точку исследований взаимодействия фирм на олигополистических рынках.

     1.1. Постановка задачи статической игры Курно.

     Краткий перечень предпосылок модели статической  игры:

     1. Линейные функции рыночного спроса и полных издержек фирм;

     2. Однородность продукции;

     3. Конкуренция объемами выпуска;

     4. Единая рыночная цена;

     5. Отсутствие ограничений мощности фирм;

     6. Отсутствие коалиций;

     7. Максимизация прибыли каждой фирмой;

     1.2. Конъюнктура рынка.

     Рассматривается рынок однородного продукта, где  спрос определен линейной функцией (обратной функцией спроса в зависимости  от совокупного выпуска N фирм):

     (1) P(Q) = a-bQ.

     На  рынке присутствуют фирмы, конкурирующие объемами выпуска однородной продукции. Условия конкуренции таковы, что каждая из фирм независимо и конфиденциально предлагает Аукционеру (назовем его Аукционером Курно) продать произведенный ею выпуск qi по единой рыночной цене. Считается, что если суммарный объем превышает емкость рынка (Q > а/b), фирмы несут потери в объеме полных издержек. Полные издержки фирм имеют вид:

     (2) TCi(qi) = crqi+Fi,   1 = 1,2, ...и,

     где qi - объем выпуска; q - предельные издержки;   Fi - фиксированные издержки фирмы N.

     Аукционер определяет рыночную цену в соответствии с (1), исходя из суммы объемов выпуска фирм: Q = Х/N- Конъюнктура рынка определяется параметрами спроса и издержек фирм, а также числом конкурирующих фирм, и эта информация полностью доступна всем фирмам при «входе» на рынок до подачи заявок Аукционеру.

     1.3. Особенности максимизации  прибыли фирмами в модели Курно

     Фирмы рациональны в том смысле, что  используют полную информацию о конъюнктуре  рынка и не только знают все  условия окружения, но знают, что  все фирмы об этом знают и используют это для максимизации собственной  прибыли. Каждая фирма максимизирует прибыль при отсутствии (явных) соглашений об объеме выпуска (коалиций) и ограничений мощности. Рыночная цена и прибыль фирмы с номером i зависит от неизвестного суммарного объема выпуска

     конкурентов q^e_A = q_j = Q-q_r Поэтому мы анализируем поведение фирм в условиях неизвестных, ожидаемых значений выпуска конкурентов и уровня прибыли, которые маркируются верхним индексом «е». Прибыль фирмы i приведена к технически удобному виду.

     Тождественное преобразование выражения прибыли (3) позволяет выразить связь (ожидаемого) выпуска конкурентов и (управляемого) собственного выпуска фирмы. Эта связь обобщает для случая п фирм представление кривых постоянной прибыли Штакельберга на специфических «плоскостях».

     где Tf = nf+Fi - валовая прибыль, т.е., прибыль без учета фиксированных издержек.

     Кривые  Штакельберга (4) - это эквивалент целевой функции прибыли фирмы i в условиях неопределенности выпуска конкурентов. Ситуация неопределенности требует предположений о поведении фирм.

     1.4. Поведение фирм  в статической игре

     Решения фирмы рассматриваются в n-мерном пространстве выпуска фирм, малодоступном графической интерпретации выбора. Однако, задавая различные значения параметра прибыли, можно рассмотреть обобщение карты кривых постоянной прибыли Штакельберга для фирмы i, где представлены все возможные сочетания суммы выпуска конкурентов и фирмы i.

     Кривые Штакельберга маркированы значениями прибыли фирмы г¹⁵' при нулевых фиксированных издержках Fj. Если F_{ > 0, то характер кривых Штакельберга не изменяется, но маркировка кривых уменьшается на величину фиксированных издержек Fj).

     

     Рис. 1. Карта кривых постоянной прибыли  Штакельберга и совокупность стратегий  фирмы

     1.5. Объем выпуска  фирмы.

     при неопределенности выбора объема выпуска  конкурентов.

     Из  анализа карты кривых постоянной прибыли фирмы i следует, что при объеме выпуска конкурентов, превышающем «совершенно конкурентный объем» ожидаемый уровень валовой прибыли фирмы N будет отрицательным, и не следует участвовать в конкуренции (q_i = 0). При условиях q^e-t < Q и отсутствии ограничений мощности для фиксированного (заранее неизвестного) выпуска конкурентов фирма получит максимальный уровень прибыли, если выберет собственный объем  q^  в точке касания кривой Штакельберга горизонтали.

     Таким образом, определено компактное множество  допустимых стратегий (ходов) каждой фирмы  I и (если оно существует) компактное множество равновесных исходов статической игры в Rⁿ⁺ с соответствующими платежами согласно (3).

     При изменении q^e-i в интервале q^e-i < Q_ci точки касания определяются условием равенства нулю производной кривой Штакельберга, или условием нулевых предположительных вариаций Курно.

     В математической форме приведенные  выше рассуждения фирмы («производить или не производить, и если производить, то «каким образом») могут быть получены подстановкой в выражение прибыли (3), что дает произведение двух сомножителей равных нулю и определяет полную функцию реакции (для каждого N).

     Первое  из двух выражений может быть получено из условий первого порядка. «Производить» означает равенство нулю первого сомножителя (7) при ожиданиях q^e- < Q, где объем выпуска фирмы зависит от функции реакции q_i = ((2 - q-f)/2. «Не производить» означает q_i = 0, поэтому производная полной функции реакции имеет неустранимый разрыв в точке q-f = Q. 

Равновесие  Курно-Нэша и особенности равновесного решения.

     2.1. Понятие конкурентоспособности  фирм.

     Если  существует совершенное знание и  стратегическое поведение всех фирм соответствует рассмотренным поведенческим  предпосылкам, то оптимальные стратегии  фирм (объемы выпуска) могут быть определены как решение системы линейных уравнений для п фирм при условии  q_i > 0.

     В случае произвольного сочетания  предельных издержек п фирм математическое решение системы уравнений (9), каждое из которых соответствует «функции реакции фирмы», может привести к отрицательным или нулевым значениям выпуска некоторых фирм. С точки зрения экономических ограничений это означает, что некоторые фирмы не конкурентоспособны в равновесии Курно (qi < 0). Предположение q_t > 0 позволяет определить путем суммирования (по всем i) уравнений вида (9) оптимальный суммарный объем в равновесии Курно, оптимальный объем каждой фирмы из (9) и ограничение на предельные издержки фирм из условия q > 0. Ограничение на предельные издержки является необходимым условием экономического равновесия.

     Фирмы называются в совокупности конкурентоспособными в равновесии Курно в классе линейных функций спроса и издержек фирм, если для каждой из п фирм выполняется ограничение на предельные издержки (10). В этом случае каждая фирма называется конкурентоспособной.

     2.2. Равновесное решение Курно.

     Теорема 1 (существования и единственности равновесия). При выполнении условий 1—9 подраздела 1.1 и ограничений на предельные издержки (10) равновесие в чистых стратегиях статической игры Курно существует и единственно, а равновесные стратегии определяются выражениями оптимальных объемов:

     Система линейных условий первого порядка  максимизации прибыли фирм (9) может  быть записана в матричной форме. По методу Крамера решение может  быть представлено как отношение  определителей, где определитель соответствует матрице коэффициентов при неизвестной матрице, полученной из матрицы коэффициентов при неизвестных путем подстановки столбца свободных членов вместо г-го столбца. Для упрощения выкладок рекомендуется предварительно проделать тождественные преобразования системы (9), вычитая их каждой строки предыдущую, начиная со второй строки. Разложением определителя по первой строке можно показать, что он не равен нулю, т.е. решение единственное, и равен знаменателю в выражении объемов (11). Достаточно доказать справедливость (11) для i = 1, так как симметрия индексов позволяет распространить справедливость решения для первой фирмы на остальные фирмы, изменяя нумерацию фирм. Доказательство того, что определитель Ai(n), равен числителю в (11), может быть получено методом математической индукции по размерности определителя п. Решение удовлетворяет требованию неотрицательности объемов q > 0, так как эквивалентно необходимому условию теоремы (10), что можно показать тождественными преобразованиями неравенств q > 0, подставляя выражения Q из (3). Таким образом, для конкурентоспособных фирм решение существует и единственное. Неконкурентоспособные фирмы выбирают нулевой выпуск. 

     Результаты работы по сходимости процесса стратегических рефлексивных игр в классе линейных функций спроса и издержек фирм показали, что:

• Процесс последовательного порядка всегда сходится к статическому равновесию независимо от числа неконкурентоспособных фирм;
• Процесс  одновременного  порядка  расходится  при общем  числе  фирм больше двух, а иначе сходится к статическому равновесию;
• Процесс последовательно-группового порядка сходится, если в каждой группе имеется хотя бы одна конкурентоспособная фирма или число фирм в группе не больше двух, а иначе, в зависимости от начального выбора фирм первой группы, или совершает колебания относительно равновесия, амплитуда и период которых стабилизируются,  или  (в исключительных случаях)  сходится к статическому равновесию.