Математические методы в иследовании экономики

Государственное образовательное  учреждение  
высшего профессионального образования

«Южно-Уральский государственный  университет»

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по курсу «математические методы в исследовании экономики»

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

Студент группы  ЗЭУ-344

Ф.И.О.  Терешко И.В.

Проверил:  Никифоров С.А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Копейск

2011

Задача

Вариант 44

Условие: На заводе организуется побочный цех для использования остающихся от основного производства материалов. Цех может освоить продукцию двух видов: книжные шкафы и письменные столы.

Задача состоит в  том, чтобы запланировать цеху ежемесячный  выпуск продукции, обеспечив при  этом наибольшую возможную сумму  прибыли.

Из этого многообразия ресурсов необходимо выбрать основные, которые будут определять объём выпускаемой продукции.

Эти виды продукции могут  производиться в любых соотношениях, т.к. сбыт заранее обеспечен, но количество рабочих и ресурсы основных материалов ограничен заданными пределами. При этом в задаче не требуется  обязательного использования всего  объема ресурсов, но необходимо, чтобы расход рабочего времени и материалов был не больше заданных пределов.

Таблица 1

Виды продукции	Нормы затрат за единицу  продукции			Прибыль за единицу продукции
	Рабочее время	Древесина	Стекло
Стол	55	79	-	59
Шкаф	77	53	64	54
Объём ресурсов в месяц	1000	800	600	-

 

Решение:

Программа 1

При составлении плана  выпуск продукции начнем с изготовления письменных столов, т.к. они обеспечивают более высокую прибыль за единицу.

Ресурсов рабочего времени хватит на изготовление следующего количества столов:

1000 : 55 = 18,18 ≈ 18

Ресурсов древесины  хватит на изготовление следующего количества столов:

800 : 79 = 10,1 ≈ 10

По условию ни один вид ресурсов не может быть перерасходован, поэтому  ресурс древесины, лимитирующий фактор и программа может включать только 10 столов.

Определим остатки ресурсов после изготовления столов:

Рабочее время: 1000 – 10 × 55 = 1 000 – 550 = 450

Древесина: 800 – 10 × 79 = 800 – 790 = 10

Определяем сколько  шкафов можно изготовить из остатков ресурсов:

Рабочее время: 450 : 77 = 5,8 ≈ 5

Древесина: 10 : 53 = 0,18 ≈ 0,1

Стекло: 600 : 64 = 9,3≈9

Лимитирующий фактор древесина, поэтому можно изготовить один шкаф. То есть рабочая программа будет составлять 10 столов и 0,1 шкаф.

Это принесет следующую  прибыль:

10 × 59 + 0,1 × 9 = 590,9≈590

Рассчитаем остатки  ресурсов после выпуска всего  объёма продукции

Рабочее время : 1000 – 10 × 55 – 0.1 × 77 = 442.3≈442

Древесина: 800 - 10 × 79 – 0.1 × 53 = 4.7≈4

Стекло: 600 – 0.1 × 64 = 593.6≈593

 

 

Программа № 2

Составление программы  начнем с изготовления шкафов.

Ресурсов рабочего времени  хватит на изготовление шкафов:

1000 : 77 = 12.9 ≈ 12

Ресурсов древесины  хватит на изготовление шкафов: 800 : 53 = 15.09 ≈ 15

Ресурсов стекла хватит на изготовление шкафов: 600 : 64 = 9.3≈9

Лимитирующим фактором является стекло.

Определим остатки ресурсов после  выпуска шкафов:

Рабочее время: 1000 - 9 × 77 = 307

Древесина: 80 - 9 × 53 = 323

Стекло: 600 – 9 × 64 = 24

Определим сколько столов можно изготовить из остатков ресурсов:

Рабочее время :307 : 55 = 5.5 ≈ 5

Древесина: 323 : 79 = 4.08 ≈ 4

Лимитирующий фактор рабочее время, поэтому можно  сделать 6 столов.

То есть рабочая программа составит 9 шкафов и 4 столов. Это принесет следующую прибыль: 9 × 59 +9× 54 =722

Рассчитаем остатки  ресурсов после выпуска продукции:

Рабочее время: 1000 – 4 × 55 – 9 × 77 = 87

Древесина : 800 – 4 × 59– 9× 53 = 87

Стекло: 600 – 9 × 64 = 24

 

 

Программа № 3

Ни одна из предложенных программ не является оптимальной, поэтому  необходимо применить экономико-математическое моделирование.

Обозначим через х, искомую  величину столов, а через х₂ количество шкафов.

Выразим математически  те ограничения, которые связаны  имеющимся количеством рабочего времени и материалов:

55 × х₁ + 77 × х₂ ≤ 1000

79 × х₁ + 53 × х₂ ≤ 800

60 × х₂ ≤ 600

Целевая функция должна стремиться к максимуму.

59х₁ + 54 х₂ → max

Представим на графике  условия примера. В прямоугольной  системе координат выберем ось  абсцисс для значений х₁ (столов) ось ординат для значений х₂ (шкафов). На графике проведем прямые соответствующие уравнениям. Прямые определим по методу «двух точек».

55 х₁ + 77 х₂ = 1000

Если х₂ = 0,    то х₁ = 1000: 55 = 18,18 (max)

Если х₁ = 0,    то х₂ = 1000:77 = 12,9

79 × х₁ + 53 × х₂ = 800

Если х₂ = 0,    то х₁ = 800: 79 = 10,1

Если х₁ = 0,    то х₂ =800: 53 = 15,09 (max)

64 × х₂ = 600

х₂ = 600: 64 = 9

 

График 1

   х₂

                     шкафы

  

 

   15,09

 

  

 

 

  

  12,9

    9    А        В            С

 

 

  

                                                                                                       столы

                                          D

         О                            10,1                                 18,18            х₁

 

В результате пересечения  прямых область которая является областью допустимых решений, т.е. внутри этого пятиугольника любая производственная программа не вызовет перерасхода ресурсов.

Однако на графике  необходимо определить оптимальную  точку, которая обеспечит максимальную прибыль и рациональный выпуск продукции.

Необходимо построить  «прямую прибыли»

59 х₁ + 54 х₂ = 500

х₂ = 0 → х₁ = 500:54 = 9,2

х₁ = 0 → х₂ = 500:59 = 8,4

Чтобы найти оптимальную  точку прямую прибыли необходимо переместить параллельно самой  себе таким образом, чтобы получить единственную точку пересечения «прямой прибыли и области ОАВСД» Такой точкой является точка С. Она лежит на пересечении прямых

55 × х₁+ 77 × х₂ = 1000         и         79 × х₁+ 53 × х₂ = 800

Решаем систему двух уравнений:

55 × х₁+ 77 × х₂ = 1000

79 × х₁+ 53 × х₂ = 800

х₁ = 2,7

х₂ = 11,05

То есть оптимальная  программа выпуска предусматривает производство 11 столов и 2 шкафов. Это обеспечит прибыль:

11 × 59 + 2 × 54 = 757

Рассчитаем остатки  ресурсов:

Рабочее время : 1000 – 2 × 59 – 11 × 77 = 35

Древесина : 800 – 2 × 79 – 11 × 53 = 59

Стекло : 600 – 11 × 64 = -104

Итоги: экономико-математическая модель позволила получить оптимально-максимальную прибыль и рациональный выпуск продукции. Кроме того полученная модель позволяет оперативно вмешиваться в производственный процесс и не только планировать, но и прогнозировать выпуск продукции при изменении объёмов ресурсов.

Таблица 2

Производство	Продукция		Прибыль	Остатки ресурсов
	Стол	Шкаф		Рабочее время	Древесина	Стекло
Программа 1	18	0,1	1067	2,3	-627	593
Программа 2	4	9	722	87	87	24
Программа 3	2	11	712	35	59	-104