Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Сибирский государственный аэрокосмический университет

имени академика  М. Ф. Решетнева 
 

Институт  машиноведения и инноватики 
 
 

Кафедра управления качеством и сертификации 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа

по дисциплине «Теоретические основы

прогрессивных технологий» 

Тема: «Стохастическая модель «хищник – жертва» и модель симбиоза» 
 
 
 
 
 

Выполнил: студент Э-01

     Кондратьева Т.Ю. 

     Проверил: доц., к.т.н.

Снежко  А. А. 
 
 
 
 
 

Красноярск, 2011 г.  

Содержание

 

Введение. 

         Во все времена  люди пытались понять, что такое  жизнь, почему существует живая и неживая природа, в чем причины особенностей растительных и животных организмов и неорганических тел, есть ли между ними что – либо общее. Однако только сейчас, с появлением единой для органической и неорганической природы атомно – молекулярной основы и становлением физики неравновесных процессов в открытых системах, проблема живого впервые обрела форму подлинно научной проблемы.

         Всего несколько  десятилетий назад в науке  считалось незыблемым положение  о причинной обусловленности  всех явлений. Любая случайность признавалась не более чем иллюзией, а вероятность трактовалась как неполное знание. Однако представление о мире исключительно как о стационарной, устойчиво функционирующей системе, в которой необходимость порождает только необходимость, оказалось несостоятельным и было опрокинуто напором многочисленных фактов из всех областей естествознания. Мир предстал многовариантным, темпоральным, полных случайных явлений и иррациональных непредсказуемых событий, в полной мере не поддающихся логическому познанию. Возникла убежденность, что вероятность и необратимость являются объективными реальностями, благодаря которым стало возможным научное объяснение эволюции как процесса усложнения и совершенствования структур и способности природы спонтанно конструировать порядок из хаоса. 
 
 

         1. Стохастическая модель  «хищник-жертва». 

         Стохастичность (гр. стохасис – догадка, стохастикос  – умеющий отгадывать) – случайность  процесса, характер хода которого во времени  точно определить невозможно, однако доступно предсказать вероятность возникновения или иного его течения. В моделировании, в том числе биологических процессов, нередко говорят об их контринтуитивности, невозможности их выведения из логики событий. Стохастичность, как правило, объясняется недостатком информации или реже абсолютной случайностью явлений. К стохастическим процессам относятся массовые выселения леммингов, белок и других животных. Более важна стохастичность процесса многих природных, ценных реакций, например, характер экологического дублирования (какой вид заменит другой исчезнувший, заранее предсказать невозможно, хотя эта замена может быть вредной или даже крайне опасной для людей).

         Хищничество, способ добывания пищи и питания животных (редко растений), при котором  они ловят, умерщвляют и поедают  других животных. Иногда под хищничеством понимают всякое выедание одних организмов другими, то есть такое отношение двух любых групп организмов, при котором одна использует другую в пищу (например, животные фитофаги и их кормовые растения, паразиты и их хозяева). Хищничество встречается практически среди всех типов животных от простейших до хордовых, а также среди грибов и насекомоядных растений. В ходе эволюционного развития животного мира хищничество способствует, как правило, морфофизиологическому прогрессу. У хищников обычно хорошо развиты нервная система и органы чувств, позволяющие обнаружить и распознать свою добычу, а также средства овладения, умерщвления, поедания и переваривания добычи (острые втягивающиеся когти кошачьих, ядовитые железы многих паукообразных, стрекательные клетки актиний, ферменты, расщепляющие белки у многих животных и другие).       По способу охоты хищников делят на засадчиков (подстерегающих жертву) и на преследователей. Иногда (например, у волков) встречаются коллективные формы охоты.   В некоторых группах животных (например, среди пиявок) можно найти разные степени перехода между хищничеством и паразитизмом. Встречаются также переходы между хищничеством и питанием трупами животных (некрофагия).

         Хищничеству в широком  значении термина принадлежит важная роль в регуляции численности организмов более низкого трофического уровня. Хищники используются в биологической борьбе с видами, нежелательными для человека. Например, повреждающий цитрусовые австралийский желобчатый червец, приникший в конце 19 века из Австралии в Северную Америку, а затем и в другие части света, практически везде был успешно ликвидирован с помощью его естественного врага – хищного жука, специально завезённого из Австралии. Снижая интенсивность конкуренции среди разных видов жертв, хищничество способствует тем самым сохранению их высокого видового разнообразия.

         Взаимодействия между  хищниками и их жертвами (так называемые отношения «хищник – жертва») приводят к тому, что эволюция хищников и жертв, происходит сопряженно, то есть как коэволюция: в процессе её хищники совершенствуют способы нападения, а жертвы – способы защиты. Следствием этих отношений являются сопряженные изменения численности популяций хищников и жертв. 

1. Взаимоотношения «хищник – жертва».

 

         Для изучения межвидовых взаимодействий можно создавать в лаборатории простые и легко контролируемые ситуации, рассчитывая на то, что они окажутся подходящими моделями реальных ситуаций.

         В качестве примера  приведем простую и часто используемую модель взаимоотношений «хищник – жертва», реализуемую в экспериментах с двумя клещами, один из которых хищный (Typhlodromus), а другой травоядный (Cotetranychus). Циклы этих двух видов несколько не совпадают по фазе друг с другом.

         Такие циклы можно  объяснить следующим образом: возрастание численности жертвы ведет к увеличению популяции хищника, что в свою очередь вызывает резкое снижение численности жертвы, а за ним неизбежно следует уменьшение популяции хищника; цикл замыкается, когда уменьшение числа хищников позволяет снова вырасти числу жертв. Каждый цикл включает несколько поколений. Выводы, основанные на изучении таких лабораторных моделей, можно лишь с большой осторожностью переносить на отношения «хищник – жертва» в природе, где могут действовать и другие факторы. Однако регулярные циклические колебания численности действительности характерны для популяций некоторых травоядных млекопитающих. Например, у леммингов в Северной Америке и Скандинавии наблюдается четырёхгодичный цикл. Поэтому также циклически колеблется и численность их врагов – песца и белой совы. Однако численность леммингов периодически сокращается, скорее всего, из – за истощения кормовых ресурсов, а не из – за хищников. Время от времени, когда популяции скандинавских леммингов достигают исключительно высокой плотности, они массами мигрируют, и многие при этом гибнут в фиордах или тонут в реках. На циклические изменения популяций других травоядных тоже может в большей степени влиять наличие корма, нежели хищники. Фактором, вызывающим колебания численности, могут быть также болезни. Этот фактор зависит от плотности популяций, так как вероятность распространения эпизоотий возрастает с её увеличением. 
 

2. Математическая  модель отношений

«хищник – жертва». 

         Одной из первых экологических  моделей была модель Вольтера –  Лотки. В любом биоценозе происходит взаимодействие между всеми его элементами: особи одного вида взаимодействуют с особями и своего вида, и других видов. Эти взаимодействия могут быть мирными, а могут иметь связь типа «хищник – жертва». Было замечено, что численность хищных рыб колеблется в обратной пропорции относительно колебаний численности мелких рыбешек, которые служат им пищей. Анализ этих колебаний позволил математику Вито Вольтера (1860 – 1940) вывести необходимые уравнения. Если бы в биоценозе было только два вида (очень большое упрощение), то даже и в этом случае динамика численности каждого из видов сильно отличалась бы от картины их независимого существования.

         Примером анализа  таких структур может служить  эволюция численности зайцев и волков, которая характеризуется колебаниями во времени. Абстрагируясь от различных обстоятельств, так или иначе влияющих на число зверей, можно проанализировать важнейшую зависимость: зайцы едят траву, а волки – зайцев. Если бы жили одни зайцы и корма было достаточно, то их численность росла бы по экспоненциальному закону, а если бы жили только волки, то они вымирали бы по тому же закону. Грубо можно подсчитать, что при их совместном существовании скорость изменения численности зайцев и волков связана с частотой их столкновений, то есть, пропорциональна количеству тех и других с некоторым коэффициентом. Уже эти соображения приведут к системе уравнений, и при определенных условиях системы «хищник – жертва» придет в равновесие. В случае неожиданной флуктуации (естественной смерти волка или зайца, отстрел во время охоты и так далее) равновесие нарушается, и система приходит в движение. Она ведет себя как колебательная система, когда численности «хищников» и «жертв» начинают колебаться синфазно с отставанием. Объяснение простое: рост численности зайцев приводит к увеличению питания для волков, но уменьшает количество травы, так что вскоре численность волков вырастает, а зайцев – уменьшается. Количество травы увеличивается, но запасы пищи для волков уменьшаются, и их численность падает. Тогда поголовье зайцев снова растет, и процесс повторяется. Режим колебаний с определенным периодом оказывается устойчивым.

         Математические модели, предсказывающие обычно колебания  обоих компонентов системы (устойчивые, затухающие или с возрастающей амплитудой), широко используются для описания функционирования сообществ. В природе колебания «хищник – жертва» в чистом виде (то есть обусловленные только взаимодействием этих двух компонентов) встречаются, по – видимому, очень редко, однако часто наблюдаются изменения численности хищника, следующие за изменениями численности жертвы. 

         С помощью моделирования  отношений в биосфере можно выбрать  наиболее рациональную стратегию и  тактику реализации исследовательских  программ, направленных на обеспечение  устойчивости биосферы. Интересные и важные для эволюции и экологии ситуации возникают при взаимодействии популяций разных видов или при изменениях внешних условий. В подобных ситуациях по численности Nt, возникают так называемые популяционные волны или волны жизни (по С. С. Четверикову) [1].

     Возможны  несколько типов взаимодействия двух популяций разных видов: (–, –) – конкуренция,  при которых  ухудшаются условия жизни для  обеих популяций; (+, +) –  симбиоз; (+, –) – хищник-жертва.

         Рассмотрим взаимоотношение  типа «хищник-жертва».  Проследим,  как изменится численность популяций хищника и жертвы, если поместить их в ограниченный объем с достаточным количеством пищи для жертв.

     Пусть х – численность жертвы; у –  численность хищника. Тогда для  моделирования можно воспользоваться уравнениями Лотки – Вольтерра:

     

     dt/dx=rx(1-Kmax)-cxy

     dt/dx=gxy-ty, 

         где ху  –  характеризует частоту   встречи   жертвы   и хищника в их ограниченном ареале совместного обитания; r –  скорость естественного увеличения популяции жертв (без учета влияния хищников); Кmax – предел увеличения численности жертв в ограниченном ареале (число хищников обычно гораздо меньше числа жертв); с – коэффициент успеха охоты; g – коэффициент рождаемости для хищников (скорость увеличения их численности зависит не только от х, но и у, точнее пропорциональна ху); f – коэффициент естественной смертности хищников.

         Решения этих уравнений  – волновые колебания численности  хищника и жертвы. Их форма и периодичность зависят от начальных условий (хо, уо), а также от констант с, f, r, g и Ктах.

         Возможно несколько  вариантов:

         - выход на стабильный  уровень. Такая ситуация наблюдается,  когда хищникам для Nty = const нужно приблизительно столько жертв, сколько их рождается сверх Ntx = const;

         - интенсивное поедание  жертв, а затем и гибель хищника от голода. Волны идут «вразнос» по амплитудам, пока х не станет равным 0;