Задача по "Медицине"

Задача

Врач-исследователь  выясняет зависимость площади пораженной части легких у людей, заболевших эмфиземой легких, от числа лет  курения. Статистические данные, собранные  им в некоторой области, имеют  следующий вид:

Число лет курения	25	36	22	15	48	39	42	31	28	33
Площадь пораженной части легкого, %	55	60	50	30	75	70	70	55	30	35

Для установления зависимости между  числом лет курения и площадью пораженного легкого рассчитайте  индекс корреляции, постройте уравнение  регрессии и дайте интерпретацию  полученных результатов. Если человек  курил 30 лет, то сделайте прогноз о  степени поражения его легких.

 

Решение

Начнем решение  задачи с составления  таблицы, которую будем заполнять в процессе решения:

 

Таблица №1

Число лет курения,	Площадь пораженной части легкого,
Х	%,Y
		Х	Х Y	Y	Y- Y	Y- Y
25	55	625	1375	43,99	4	81,18
36	60	1296	2160	58,4	49	29,16
22	50	484	1100	40,06	9	167,44
15	30	225	450	30,89	529	488,85
48	75	2304	3600	74,12	484	446,05
39	70	1521	2730	62,33	289	87,05
42	70	1764	2940	66,26	289	175,83
31	55	961	1705	51,85	4	1,32
28	30	784	840	47,92	529	25,81
33	35	1089	1155	54,47	324	2,16
319	530	11053	18055	530,29	2510	1504,86

 

 

Коэффициенты а₀ и а линейной регрессии                          

 определяем из системы:

 

 

где n – число наблюдений для построения функции регрессии

 

Таким образом, приходим к решению  системы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь можно определить расчетные  значения  Y     , а также рассчитать факторную и общую дисперсию. Факторную и общую суммы квадратов определяем в таблице №1. Для расчета применяем среднее значение результативного признака, которое составляет

 

 

 

Правильность определения коэффициентов  функции подтверждается совпадением  суммы фактических и расчетных  значений Y, незначительное отклонение  связано с применением приближенных расчетов.

 

Факторная дисперсия:

 

 

 

 

Общая дисперсия:

 

 

 

 

Индекс корреляции:

 

 

 

 

Таким образом,  линейная модель, описывающая  зависимость степени поражения  легких от времени курения получается следующая:

 

 

 

 

Из линейной модели следует, что  при увеличении продолжительности  курения на 1 год в среднем площадь  пораженной части легкого увеличится на 1,31 процентных пункта. При этом использование линейной  модели с ненулевым свободным членом, по- видимому не вполне корректно, поскольку в соответствии с данной моделью мы получаем, что и у некурящих людей имеется пораженная часть легких ,составляющая около 11%. Более грамотным является использование функции  

 

Однако, мы  можем сделать прогноз о степени поражения легких курильщика с 30-летним стажем. Площадь пораженной части легкого составит:

11,24+1,31*30=50,54%

 

Полученной значение индекса корреляции показывает, что существует тесная взаимосвязь между продолжительностью курения и площадью пораженной части  легкого.